Сингулярно возмущенная задача Дирихле для кольца с сингулярными границами

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928                                        

Исследуем задачу Дирихле [1–7]

εΔ u ( ρ , ϕ , ε )–(2– ρ )( ρ –1) u ( ρ , ϕ , ε )= f ( ρ , ϕ , ε ), ( ρ , ϕ ) ∈ D ,                                             (1)

u (1, ϕ , ε )=0, u (2, ϕ , ε )=0,                                                                            (2)

где f (1, ϕ ,0)≠0, f (2, ϕ ,0)≠0.

Подобные задачи исследованы в работах [1–7]. Здесь исследуется особый случай.

Решение задачи (1), (2) будем искать в виде

u ( ρ , ϕ , ε )= V ( ρ , ϕ , ε )+ W ( τ , ϕ , µ )+ Q ( η , ϕ , µ ),

где У⁽р,ф,£) = Х к=о ^{£ к} ^ к ⁽Р,Ф)  ,   Ш⁽т,ф,р) ^^-^ы^т.ф)  ,   0⁽р,ф,р) =

% к=-1 ! ^к Я к (Л> ф) т =(2- р )/ ц , П =( Р -1)/ Ц , £ = Ц 3 . Из граничных условий (2) имеем W (0, ϕ , µ )= – V (2, ϕ , µ ³), Q (0, ϕ , µ )= – V (1, ϕ , µ ³).

Подставляя соотношение (3) в уравнение (1), получим

εΔ V ( ρ , ϕ , ε )–(2– ρ )( ρ –1) V ( ρ , ϕ , ε )= f ( ρ , ϕ , ε )– h ( ρ , ϕ , ε ), ( ρ , ϕ ) ∈ D ,

д2W   р дW р дт2   2 — тр дт +

р² д ² W (2 — тр) ² 2дф ²

— т(1 — тр)w) =

= □ 1(2

—

тр,(р,р ³ ), (т,(р) е D_x,

^р(дд ^{2 +}

р2

d2Q

Р dQ !

1 + др дд (1 + др) ² дф

— ^(Х — дрУо) =

= с2(1 + др,ф,р3),(д,ф) е Dv, где W=W(τ,ϕ,µ), Q=Q(η,ϕ,µ).

Из соотношения (5) определим функции v k ( ρ , ϕ ), здесь h k ( ρ , ϕ ) выбраны так, чтобы выполнялись условия: v_k g C ^ ( D ) , Нт w_к-1(т,ф) = 0, Нт д_к-1(д,ф) = 0, к g N ₀ .

k            Т^ +от                  V^+от

Пусть gk(ρ,ϕ)=fk(ρ,ϕ)–Δvk–1(ρ,ϕ), k∈N0, v–1(ρ,ϕ)≡0, тогда vk ∈ C∞(D), k∈N0, когда с к(р,ф) = ^—-дк +^д% ,где дк = дк(ь,ф),дк = дк(^,ф).

Теперь перейдем к определению ^(т,ф,р) = X OT=- ₁H ^{к w} к (т,Ф) ,   Q(P^,P) =

Е ОТ= _- 1 Н ^к Я к (д, ф) Соотношения (6) и (7) запишем в виде (далее w_k = w_k ( т , ф ), q_k = q_k ( п , ф ))

+от

S-'(

к=0    х

d²w_k —i     dw_k —i

дт2

—

р^т

+ р2

d²w_k -i

дф2

— т⁽с — рт⁾W к-1 ) =

+от

= ^р ^3к (д к к=0

—

ь\     + от рТс) + ^ (Ak,°(Ф) + ртАк,1 (ф^ !3k, (т, ф) е DT,

'   k=1

Z +^ОТ   к (^д2-*-^ , ^д^ к-1 ,  ₂d ² q--!

^р\ддг^+р~ддг^+р ^ф-^{—д(—рд)}' '1 )

+ от

= ^P^3k (д ^- к=0

—

a     +ОТ m^+ ^(в*,о(ф} + №вы^^^        е D^

Здесь в соотношениях (8) и (9) мы ввели еще вспомогательные асимптотические ряды

Х +ОТ1_£ ^к (А к,о (ф)+А к,1 (ф)(Ь — р))   ,

^ к^от1 ^{£ к (в} к,о ^(ф) + ^в к,1 ^(ф)(Р ^— я))   , где

A k,j , B k,j ∈ C ^∞ [0,2 π ], j =0,1.

Эти вспомогательные асимптотические ряды должны овладеть таким свойством, что сумма их тождественно должно равняться к нулю, т. е.

E +=1 £ ^k (A_k ,o (ф)+A_k ,1 (ф)(b-p)) + E +=1 ^ ^k (В k,o (Ф)+В k,1 (ф)(p-            ⁽¹⁰⁾

a))=0^

, N А^Ак’^{оф) + bA} k,1 ^(ф) + ^В k,o ^{(ф) -} аВ^ф) = 0,

^V k    [-А_к 1 (ф) + В_кл(ф) = 0.

Асимптотические ряды с таким свойством не влияют на внешнее регулярное решение. Эти вспомогательные асимптотические ряды введены для того, чтобы с помощью них получить соотношения lim w_k-1(r, ф) = 0, lim q_k-1(q, ф) = 0, k e N₀ .

r^+ /               V^+^

Из соотношения (8), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях µ , получим рекуррентную систему уравнений

Lw -i = ^1   CTW -i = g ^ , ( т , ф ) е D T	(11)
Lw o = dT1   ^ 2 w —i    cg % , (T^) e D T ,	(12)
dw0   d 2 w Lw i = dr   дф2    T 2 w 0, ^^ D T ,	(13)
Lw 3k-1 =  дт      дф2    ^ w 3k-2 + g k + A k,0 (ф) , ( T , ф ) e D T ,	(14)
Lw 3k =   32 1    дф22   T 2 w 3k-i   c9 k+Ak,i(№, ( TW ) £ D T ,	(15)

Lw₃ k ₊ i =^-^-T 2 w₃ k , (M»e D t ,                             ⁽¹⁶⁾

Из первого соотношения (4) следует, что решения уравнений (11)-(16) должны удовлетворять условиям, соответственно:

w 3 k –1 (0, ϕ )=0, w 3 k (0, ϕ )=– v k ( b , ϕ ), w 3 k +1 (0, ϕ )=0.	(17)
Дополнительно потребуем выполнения условий
w k –1 ( τ , ϕ ) → 0 при τ→ + ∞ , k ∈ N 0 .	(18)
Аналогичные задачи получаются из соотношения (8):
Lq —i = ^21   cqq —i = g % , ( п , ф ) е D n ,	(19)
Lq o =     ^1   9 2 q —i   ^ 9 o ,( П , ф ) е D n ,	(20)
^q i =    1 0    d^1  ^qo , ( П , Ф ) е D n ,	(21)
'Lq 3k-i =    a^      дф2     9 q 3k-2 + gk + В k,o (ф),( n , ^ ) ^ D n ,	(22)
Lq 3k =   ^21    д3ф22   92q 3k-i  ^ gk+^^vA^^D n ,	(23)
Lq 3k+1 =    drl       дф2      9 q 3k , ( n , 9 ) e D n ,	(24)

Из второго соотношения (4) следует, что решения уравнений (19)-(24) должны удовлетворять следующим условиям, соответственно:

q 3 k –1 (0, ϕ )=0, q 3 k (0, ϕ )=– v k ( a , ϕ ), q 3 k +1 (0, ϕ )=0, k ∈ N 0.                                        (25)

Дополнительно потребуем выполнения условий qk–1(η,ϕ)→0 при η→+∞, k∈N0.                                                    (26)

При n =1 следует существование, единственность и бесконечно дифференцируемость решений уравнений (11)-(16) и (19)-(24) удовлетворяющих соответственно условиям (17) и (25) в классе функций, растущих не быстрее какой-либо степени τ и η соответственно.

Теперь перейдем к доказательству существования функций A k,j , B k,j ∈ C ^∞ [0,2 π ] j =0,1 при которых решения уравнений (14)-(19) и (22)-(27) удовлетворяющих соответственно условиям (17) и (25) принадлежать классу функций убывающих степенным ростом по τ и η , соответственно.

Существуют такие функции A k,j , B k,j ∈ C ^∞ [0,2 π ] j =0,1, k ∈ N удовлетворяющие равенствам (10) и при этом справедливы соотношения:

W з _k +s (т,ф) = Z j ₌ 1™ ^3£+3j——^⁾ , s =0,1,2, k=-1,0,1,..., т^ + да ,                           ⁽²⁷⁾

q зк+s ⁽n,Ф) = Z y =1^ +^— “^ , s =0,1,2, k =-1,0,1,., n^ + « ,                     ⁽²⁸⁾

где w k,j , q k,j ∈ C ^∞ [0,2 π ].

Как отметили выше, смысл равенств (10) состоит в том, что при таких функциях, которые являются решениями (10) не могут влиять на регулярное внешнее решение V ( ρ , ϕ , ε ), так как ∀ k ∈ N: A k, 0 ( ϕ )+ A k, 1 ( ϕ )( b – ρ )+ B k, 0 ( ϕ )+ B k, 1 ( ϕ )( ρ – a ) ≡ 0.

Применяя лемму 2 при n=1 к уравнениям (11)-(13) и (19)-(21), получаем w—1,3j+1(ф)                       w0,3j+3(ф)                       w1,3j+2(ф)

W -1 ⁽T,^ф) = ^j о— , ^ 0 ⁽^^,ф) = Z j о —, ^ 1 (т,^ф) = Xj =0“^— , $ — 1,3j+1^(ф)                         $ 0,3 j+3 ^(ф)                         $ 1,3 j+2 ^(ф)

Я-1(9, Ф) = Ej=0^3j+T—, Яо(9,ф) = lj=0-^j+r-, Ц1(9, ф) = Zj=0  -ф+Г-, т> ■ да, П^+®, где wk,j, qk,j∈C∞[0,2π].

Допустим, что ∀ k ∈ N справедливы соотношения (27), (28). Тогда, при k = s +1, имеем

^Lw 3s+2 = ^^i ^- ^^ ^- T 2 W 3S+1 + д %+1 + A_s +i,o ⁽^),

^Lw 3s+3 = d™ ³^^{2 - S} j™^ ^- T ² W 3s+2 ^- ^ d s+1 + A s+1,1 ⁽^)T,

L™ 3s+4 = ^ - ^--— - T²W 3s+3 ,

] n      _   -$3s+1 d2q3S     2

^Lq 3s+2 =-- ^{- n q} 3s+1 ⁺ 9 s+1 ⁺ ° s+1,o ^(ф),

_   d$3s+2   d2q3S+1     2

^Lq 3s+3 =-----^2-- ^{n q} 3s+2 ^- ~ s+s+ i ⁺ ^+1,1 ^(ф)п,

_   -$3s+3   d2$3s+222^

^Lq 3s+ ⁴ =ъ—^{- n q} 3s+3 .

Отсюда имеем

_ ™35+1,2^(ф)- д 5+1^(ф)-А$+1,0^(ф) I Y¹ ®   ^W3S+23j+1

W3s+2 =       -       + Л;, —, w3s+3 = Тд=0 ™3;+3+з+3 если As+1,о(ф)=w3s+1,2(9)-cAs+1,1(9), а также от w3S+43j+2     ..

^w 3s+4 = ^E j=o   ^Tj+2  , ^т>^Л -

Аналогично,

_ Q3s+1,2 (0) ^— 5 s+1 (0) ^— £ s+1,0 (0) , у ⁷    4 3S+23J+1

^ ^3s+2                 cr                 2=j=i r ^{3J+1  ,}

4 3s+3 = 2 7 =0 ^Jlr³ , если B s +1,о ( ф )= q 3 s +1,2 ( 9 )- cB s +1,1 ( ф ), при этом

Z / Q 3S+4,3j+2       .

j = 0   _r 3j+2  , ⁿ^ + “ .

В результате получаем систему уравнений с двумя неизвестными А s +1,0 ( ϕ ), B s +1,0 ( ϕ ): w 3 s +1,2 ( ϕ )– c A s +1,1 ( ϕ )+ bA s +1,1 ( ϕ )+ q 3 s +1,2 ( ϕ )– cB s +1,1 ( ϕ )– aB s +1,1 ( ϕ )=0, – A s +1,1 ( ϕ )+ B s +1,1 ( ϕ )=0.

Система имеет единственное решение:

A s +1,1 ( ф )= B s +1,1 ( ф )= ^3S+1,2 (^)^ ^q 3^S+1,2 (^) , A s +1,0 ( 9 )=- q 3 s +1,2 ( 9 ), B s +1,о ( ф )=— w 3 s +1,2 ( 9 )-

Следовательно, при A s +1,1 ⁽ ф )= ^B s +1,1 ⁽ ф)-- з^¹-²^)^³^^1,2^) , A s +1,0 ⁽ ф)-- q 3 s +1,2 ⁽ ф ), B s +1,0 ⁽ ф ) =

– w 3 s +1,2 ( ϕ ) для ∀ k ∈ N справедливы соотношения (27), (28), т.е. имеют место соотношения (18), (26). Лемма доказана.