Сингулярно возмущенное уравнение со скачком в решениях

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928                                        

Для построения и решения задач использовали работы ряда авторов [1-9}. Рассмотрим следующую задачу:

(x + eu)^ + q(x)u(x) = r(x),                                (1)

u(1) = u0,                                                (2)

где 0 < £ « 1 - малый параметр, x G [0,1], u⁰ — известная постоянная, q(x),r(x) G C “ [0,1] .

Требуется методом параметризации исследовать скачок решения в начальной точке x = 0. В уравнении (1) введем параметр f G f0[(s), 1], где f0(e)- пока неизвестно, и f0(0) < 0. Если выполняется следующее неравенство

x(f) + £U(f) ^ 0,                                          (3)

то уравнение (1) эквивалентно следующей системе уравнений f^ = r(x(O)-q(x(f))u(f),     u(1) = u0                      (4.1)

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №7. 2023

(4.2)

f^ = x( f) + M o, a s

x(1) = 1

Исследуем решение системы уравнений (4.1) и (4.2). Решение будем искать в виде рядов:

(5.2)

(5.1)

u(0 = MO + £u 1 (O + £2МО + ••• X = f + £X 1 (f) + £ 2 X 2 (0 + •

Здесь

Ml) = U 0 ,

u j (f) (/= 0,1,2,3, . ),   x_fc(f)(k = 1,2,3, . ) пока неизвестные функции и

MD = 0 , x_k(1) = 0, (k=1,2,3...).

Подставляя (5.1), (5.2), соответственно, в (4.1) и (4.2) получаем:

f&)^£ ‘ = ^r® ⁺ b(^f)(^£x i + £ ²^ k=1                   j=1

+ [q⁽f) + ^4 j ⁽<>⁽£X 1 + £ 2 X 2 + -^)j] [U o (f) + eu , + -^], f + S =i e;|*«) = f + S ,“i Xj- «)£^j + en=i U j (f)s ^j .

Отсюда, если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, то имеем r‘(f) = Й

1 d ^k

7(f)

df ’

_ 1 d^jq(f) ^9j(f)   ;! df j .

f 75 r = -q(f)u o (f) + r(f),  « о (1) = <

M(f) ^:= f ^ + M)Mf) = Г 1 (0X 1 (0 + Mf)x i (O^u o (f). df

u 1 (1) = 0.

MX 1 (O ^ f ^tP-XiCO = Mf),          X 1 (1) = 0

^a S

M(f) = X 1 X₂ + r₂X 2 + 4 1 X₂Mf) + U 1M f)X 1 = = 7- 1 X 2 + 9 1 7 2 ^ 0 + AMuO , M1) = 0

Mx₂ = u₂(f),x₂(1) = 0,..........................

^m(f) = 71X2 + q1XmUo + MX1,X2, ...,Xm-1,U1,U2, .. ,um+1),

^•m(1) = 0.

(6.0)

(6.1)

(7.1)

(6.2)

(7.2)

(6.m)

^Mx m    ^u m-1 (^f),    ^x m ^{(1)   0},                                 ⁽7.^m)

Функция /m(x1,x2, .,xm-1,u0,u1, .,um-1) - (6.0) — решение, зависящее только от функций, состоящих из собственных аргументов u0(f) = u0exp{-fJqCOMds+ P(f) /J^MM-MOds},              (8)

Здесь

Р^) = exp

[- J q(s~)s ⁱ ds] =

tq(s)-qo\ s q°exp{ — J --------}ds

Мы считаем

Q o = Q(0) > 0.

Тогда (8)

UoU)^. ^q Q(0) = C^q ° ,  <  ^ 0.     (щ = Q(0))                          (9)

Другими словами

^ ^ 0 при

u₀ ^ ^.

a₀ = a(0) [u⁰ + J s ^i+q ° ] Q ⁱ (s)r(s)ds

Теперь из (7.1)

Xi(O = < Cs^2uo(s)ds ~ Juos-q°-2ds ~ — /П q ,   ^0,   P = -0^- i                  i                                              1 + Qo

Другими словами

X i (O~-№ ^-q ° ,   <^0

Теперь из (6.1).

LU i (<)~Air ^{2q 0 -a} , <^0

Здесь мы пишем A_i = const, то из (11).

ui

(O~r^qo J

s ^q ° ⁱ dsD_i~< ^2q ° B_i,

< ^ 0. Bi = const.

Теперь найдем асимптотику x₂(<)- из (7.2).

Х2Ю  U_} s^Asfds-U ' B 2 ^{q 2}ds^C-      <  ^ 0.

Теперь из (6.2)

Из этого

Lu 2 (^~A 2 < ^-iq ° ,      <^0.

u 2 (<)~r ^q ° tfs ^2q ° ^-i dsB i ~B2r ^q ° '    <^0.

Далее по полной математической индукции xdO~-|M-kqo■udO~B1l;-k'^o, < ^ 0.

Значить, асимптотика решения системы уравнений (4.1) и (4.2.) примет вид:

u(<)~e ^-q ° [a₀ + B_i< ^-q ° c + B₂(<- ^q ° E) + ••• + B_k(< ^-q ° c) + -] x(o~0[<+P i e ^-1^ + д₂(f ■’⁰ ^)² + •■■+ 0 „ (< ^-q s) " + ■■■]

Из (12) этот ряд является асимптотическим рядом. Если

< e { _£ ^q °^ y , 1}

Если (0 <  1).

Теперь

%(f) = f—га0^-4^0^2)

^{1 +} 4 0

Если мы найдем, какое значение ( соответствует % = 0 из уравнения

<о(г)~(£ ^-)’°'+‘ > 0. f ^ 0

1 + q1

Тогда из (12.1)

и(0)~(е-^)ч°+°1

1 + 91

Следовательно, (16) есть скачок решения в точке x=0. Таким образом, мы получили формальное доказательство следующего уравнения. Теперь проверим, когда уравнения (1) и (4) эквивалентны.

x(f + ги(()) = f — е-—0—f-q° + eaof-q° + О(е2) = f + ef-q°a0—90--+ О(г2),    е ^ 0

1 + 90                                      1 + 90

Это выражение будет нулен, если

f~(—Жо)1^. a0 > 0 оно мнимое.

1+qo          ⁰

Таким образом %(() + eu(f) Ф 0 если а₀ > 0 , то есть системы (1) и (4) эквивалентны при а₀ > 0.

Теорема. Если

ао = Q(0) [u0 + J s 1+q°Q(s)r(s)ds] > 0

То решение задачи (1) существует на отрезке [0,1] и в точке % = 0 будет скачок (16). Полное доказательство теоремы доказывается методом мажорант. Случай*, когда 9(0) = 0, г(0) = г0 < 0. В этом случае:

Будем считать, что

u0 (x)~r0lnx

r0 = r(0) < 0

Тогда из уравнений предыдущего случая*

%1(f) = f J s 2u0(s)ds~f J s ~fr0lnS(—s-1)|^ + f jJ lnS • S-1ds ~ ■

u = lnS

■ ^r 0 ^/nSds|d„ = S -2 ds^{K = —S} " ^{l =} ~

— r0lnf, f ^ 0 т.е.

%1(f)~ — r0lnf

Теперь определим u 1 (f). Из предыдущего пункта (6.1).

u1(f)~P(f) J P 1(s) ln2(s)r02s 1ds~B1ln3fds,    f^0

B1 = 91(0)r0 > 0

Отсюда

В1 = const > 0

Теперь определим х2(5).

Х2(О = 5 f^s 2u1(s)ds~ - р11п3^,      @2 = —@i<0

Если u2(5) — функция u2

(О~-Р(О f

ln4(s) s

1ds~B2ln55,

5^0

B2 = const

По принципу индукции

Хт(^~Рт1п2т+Ч,  5^0.   (m>1)

ит(^~Рт1п2т+1^  5^0. VmE N

х(5) = 0^5 + @11п35я2 = 0 ^ 50~£-2in3£-2B1 > 0

В интервале [ξ_0 (ε),1] ряд (23) сходится.

Теперь

x(5) + cu(5)~5 + roin5 ^ 0,5e [5o, 1]

Поэтому (1) и (2) эквивалентны в точке х = 0 u(5o)~roln5o и будет скачком.