Сингулярно возмущенные уравнения с нулями и полюсами и задержка решения

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928                                     

Обьект исследования и постановка задачи

Основным обьектом исследования является уравнение следующего вида

ex' = A(y)X + f(X),                                  (1)

У ' = 1,                                                   (2)

где 0 - малый вещественный параметр; x = (x1, ...,x₄),x = (x1 — y,x₂,x₃—

y,x4),A(y) = diag(A1(y),A2(y)), A1(y),A2(y) некоторые матрицы второго порядка; f(0) = 0.

Уравнения вида (1)-(2) называются сингулярно возмущенными. В данной работе рассмотрим следующий случай:

( 2y       2  \

y2 + 1    y2 + 1]

2         2y I’

y2 + 1 y2 + 1 I

Особенность рассматриваемого случая заключается в том, что нули и полюса собственных значений матрицы A(y) попарно совпадают.

Система (1) называется системой быстрых движений [1, 2] и она в точке (y, 0, y, 0) имеет положение равновесия, причем положение равновесия устойчива при y < 0 и неустойчива при y > 0 т.е при переходе значения y = 0 устойчивость положения теряется.

Задача. Исследовать реешение системы (1) на (3 Р).

Такие задачи исследованы в [3-9]. Для решения задачи используем метод разработтанный в [5, 10].

Решение задачи.

• 1.    Матрица A(y) имеет собственные значения

^1,2 (y) = 2(y ± 0, ^3,4(y) = —.

Решение уравнения (2) возьмём в виду y = t и для решения системы (1) рассмотрим задачу

HX(to,e)H < 0(e), to е R и to < 0. В                              (3)

введем новые функции следующим образом

х1 — t = u1, х2 = и2, x3 — t = u3, x4 = u4.

Имеем систему уравнений

eu1 = 2tu1 — 2u2 + f1(u1, u2, u3, u4) — e, eu'2 = 2u1 — 2tu2 + f2(u1,u2,u3,u4), 2t          2

Eu'3 =12^1^ —^~[u4+f3(u1,u2,u3,u4) — E, 2          2t

£u = 12 + 1 u3 — 12 + ^4 + f4(u1, u2, u3, u4).

В (4) второе уравнение умножив на (i) и сложим с первым уравнением (затем проведем вычитание в том же порядке), четвертое уравнение умножив на (—i) и сложим с четвертым (затем проведем вычитание в том же порядке).

В результате проведенных действий получим систему

Ez1=A1(t)Z1—E + f11(Z1,Z2,Z3,Z4),                              (5)

Ez2 = ^(С^ —Е + f21(Z1,Z2,Z3,Z4),

ez3 = A3(t)z3 —e + f31(Z1,Z2,Z3,Z4),

Ez4 = 14(t)Z4 — E + f41(Z1,Z2,Z3,Z4),

с начальным условием

1№о,Е)|| < C1E,

где ^1,2(t) = 2(t±i),A3,4(t) =-^-e z = (Z1,Z2,Z3,Z4),  fj1= f1 +(—1У ^2,] = 1,2;

fj1=fз + (-VJ-1f4'J = 3'4.

Здесь и далее буквами c₁,c₂,^ будем обозначать положительных постоянных не зависящих от ε. Пусть выполняются условия:

• У1. f(z) G Q(H) - пространство аналитических функций в области

Н = {(t,z),t G D, \\z\\ < C2},

где D = {t G С — множество комплексных чисел, |t| < r0 G R];

f1(z) = (fn(z),f21(z),f31(z),f41(z)).

У2. V((t,Z), (t,zy G H(\\f1(Z') — f1(Z)\ < C3^Z — Z\max{\\Z\\, \Z\}.

Задачу (5)-(6) заменим следующим

t

Zj = Zjoexp -^— +  ^[—e + fj1 (Z1, Z2, Z3, Z4)]exp  ---^---di,

^t 0

где Fj(t) = £o AjtydrJ = 1, 2, 3,4.

Теперь основная задача заклячается в исследовании асимптотического поведения решения системы (7).

Для решения этой задачи к (7) применим метод последовательных приближений. Последовательные приближения определим следующим образом

t

Zjm = Zjoexp-^—+  j [—e + fj1(Z1m-1,Z2m-1,Z3m_1,Z4m-1)]exp----^-^dr,

^t 0

Zjo = 0,m= 1,2, ...

Определим область в комплексной плоскости. Для этого рассмотрим функции

Fjo(t) = (t ± i)2,    ) = 1.2; Fjo(t) = 2ln(t±i),    ; = 3.4.

Fj(t) = Fjo(t) — Fjo(to).

Для определения области используем функции

ReFjo(t) (j = 1,2, 3,4).

Заметим, что функции ReF10(t)и ReF2o(t); ReF3o(t) и ReF4o(t) в симметричных точках, относительно действительной оси, принимают равные значения. Далее симметрию будем понимать, только относительно действительной оси.

Возьмём функцию Fio = t2 + (t2 — 2)2

и определим линию уровня t2 + (t2 — 2)2 = 9.

Отсюда определяем функцию

(K_1 )

^t2 = ^{2 — j9 —} 7.

Функции ReF_i и ReF₄ рассмотрим на кривой (K_i) , причем будем считать, что —75 < t_i <  0.

При таком условии (Ki) соединяет точки (—75; 0) и (0; -1).

ReFi = t2 — (t2 + 1)2 = t2

^- ( ^3-J9—t^ ) •

Определим монотонность ReF_i. Имеем (ReF^ = 2t i —2(3— Ji—²) 25

ti

= 2ti

79 — tl — 4t2

= 2ti (2-=Ц) =

79 — ti /

79 — tl (279 — t2 + з)

Отсюда следует при (—75 < ti < 0 функция ReFi строго убывает по (Ki).

Теперь проверим на монотонность ReF4 на кривой (Ki) . Для этого достаточно рассмотреть функцию

^F4o = ^{t 2 + (t}2 ^{— 1) 2}.

Имеем

^F40 = ^t 1 ^{+ (1 — J9—}^2 ) .

Отсюда

(f40)' = 2ti+ 2(1 —Jg — t^)^

^ 1

2ti

79 -t2   79 - t2 .

Следовательно при —75 < t_i< 0 функция F₄₀, а также ReF₄ убывают.

Возьмём

t2 = ti — 1 + 5 (0 < 5 — не зависит от г)

(K_2 )

Как и в предыдущем случае установим монотонность функций ReF_i(t) и F_4o на кривой (K₂). Имеем ReF_i(t) = t² — (t₂ + 5)², (ReF_i) = —25 < 0. ReF_i(t)- строго убывает по (K₂).

Далее F4o = t2 + (ti — 2 + 5)2, F4o = 4 (ti — ^).

2-5

Согласно полученного выражения для F 40 , если t 1 < — , то F₄₀ -убывает по (К 2 ). (К 2 ) пересекает ось t 1 в точке t₁₀ = 1 — 5 и 1 — 5 <  2^^ . Таким образом F₄₀ строго убывает по (К 2 ). Определим (К 1 ), (К₂) симметричные к (К 1 ), (К 2 ).

Функции ReF 1 и ReF 2 ; ReF₃ и ReF₄ в симметричных точках принимают равные значения. Тогда по (К 1 ) U (К₂) функции ReF 2 и ReF₃ также убывают. Область ограниченный (К 1 ), (К 2 ), (К 1 ), (К 2 ) обозначим D₀ (Рисунок).

Рисунок. Область D ₀

Последовательные приближения (8) рассмотрим в области D₀ . Определим пути интегрирования для (8). Путь для z_1m,z_2m состоит из части (К 1 ) U (К₂) соединяющего точки t₀ = —V5 и t; прямолинейного отрезка соединяющего точки t = t 1 + it₂, t = t 1 + it₂.

Пусть для z_2m, z_3m выбирается симметричным к путьям для z_1m, z_4m.

Переходим к оценке и доказательству равномерной сходимости (8) в области D₀ .

Пусть

Ilzm.lI — am(£),  ^t ^ D0, где am(£)-некоторая положительная функция от г. Если т = 1, то ||z1| — а1(г).

Исходя из выбранных путей интегрирования имеем  Hz-JI — c 1 (£)|E(t₀, t, £)| +

\/^Е(т, t,£)dr\, где E(r, t, £) = diag (exp1(F1(t) — F1(r)'), .^,exp1(F4(t) — F4(r))).

По выбраным путьям ReF j (t) строго убывают. Тогда lE(t₀,t,£)l — 1. и интегралы _г t     FjW-Fjtf)

J_t exp ——— dr можно интегрировать по частьям.

Учитывая сказанное получим Iz1I — c1£ + c11£ = c4£,c4 > c1. Далее, учитывая У1, У2 имеем Hzm+1N — c4£ + у H^Hzm1!2^^, t^Hd-rH — c4£ + ^am(£)£ = c4£ + c5a2(E), £ t0                                                   8

l|zm+1H — c4£ + comics > c4.

Таким образом а_т+1(г) = с₄г + с₅а т (г).

Если т = 1, то а2(г) = с4г + с5а2(Е) < с4г + с5с2г2 = г(с4 + с5с|г). Пусть с4 + с5с2г < с5 или г < с5 ^4. При таком условии а2(г) < с5г. Также а3(г) < с4г + с3г2 = г(с4 + с5с4

с3г). Пусть г < ^5^4. Условия наложенные на е, при малых значениях £ выполняются. Тогда 5

а3(г) < с5г. Итого получим ат+1(г) < с5^,т = 0,1,2,...

Учитывая (11) оценку (10) можем записать в виде

1кт+1Н < с5г,т = 0,1,2,...; t е Dо.

Докажем равномерную сходимость (8).

Пусть справедлива оценка llzm - zm-1H < ^т(г), f е ^0, где Рт(г)-некоторая положительная функция от £. Если т = 1, то Р1(г) < с5г. Далее имеем П^т — 2т-1Н < Ц^сзНгт -Ят-11|тах{||гт11, ||гт-11|}- ||E(T,t,f)|||dT|| < уатО) • с5г|^011£’(ТЕг)||Нт|| < сзс5(г) • соЕ = сосзс5£Рт(Е) Рт+1(г) = сосзс5гРт(г)

Отсюда имеем: если т = 1, то Р₂(г) = с_ос₃с₅гР₁(г) < с_ос₃с₅г • с₅г = с_ос₃(с₅г)²; если т = 2,тоР з⁽ г) < с о с з с 5 г£ 2⁽ г ⁾ <  ⁽ с о с з^{) 2 (} с 5 Е ^{) 3}.

Таким образом   Рт+1(г) < (сос3)т(с5г)т+1 =—(сос3с5г)т+1.  При условии т                                   С0С3

(с_ос₃с₅г) < 1, ряд S m= ₁(z_m — z_m-1) равномерно сходится, в ^_о, к некоторой функции z(t, е) , которая является решением (7). Если учесть (12), для этого решения справедлива оценка

М <  с₅е^ еD о .                                 ⁽¹⁴⁾

Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть рассматривается задача (5-6) при условии У1-У2. Тогда существует область D_о е D и z(t, г) - решение этой задачи определенное в D_о и для этого решения справедлива оценка (14).

Следствие. Если оценку (14) рассмотреть на действительной оси, то для решения систем (1)-(2) получим

||%|| < с₅г, t₀ = —V5 < t < 1 — 5.                                  ⁽¹⁵⁾

Оценка (15) показывает, когда положение равновесия становится неустойчивым, то решение системы (1) не сразу покидает возникщее неустойчивое положение равновесия, а остается в близи него на отрезке [0; 1 — 5] времени t.