Сингулярно возмущенные уравнения с особенностями в комплексных областях

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928                                       

Постановка задачи

Асимптотическое поведение решений сингулярно возмущенных уравнений сводится к исследовании функций [1-6]. Пусть рассматривается уравнение:

гх' =

a'(t) a(t)

х + E(b(f) + f(t,X,)),

с начальным условием

x(to,£) = X0,

где 0 < £-малый вещественный параметр; t Е D ^ С и -некоторый открытый круг, С — комплексная плоскость. Пусть выполняются условия:

У1. a(t),b(t) Е Q(D) — пространство аналитических функций в D

У2. Э!Т0Е D(a(T0) = 0,a'(T0) Ф 0).

У3. f(t,x) Е Q(H), Н = {(t,x),t Е D, |x| < Ci },f(t,x) = 0.

У4. V(t,X),(t,x) Е H(|f(t,X) -f(tj)| < C2IX -Xi| ).

Здесь и далее буквами  С1,С2,... будем говорить, что уравнение (1) имеет логарифмический полюс.

Задача. Исследовать асимптотическое поведение решение задачи (1)–(2) и влияние логарифмического полюса.

Решение задачи

Задачу (1)–(2) заменим следующее:

t

x = x°exp-ln ——7 + I (Ь(т) + f(T,x)’)exp-ln—^dT. £   a(t0)                          £ a(r)

^t 0

в (3) проведем преобразование:

и = a(t).

Согласно У1 и У2 преобразование (4) конформно и взаимнооднозначно. Из (4) определяем

t = ^(u).

Теперь (3) можем записать так

u

у = x0exp ln— + l(b0(u) + f0(U,y)~)exp ln — dU, £  и0                         £ и u0

где

y(u,£) = X(^(u),£),uo = a(to),bo(u) = b(^(u)) • ^'(й), f0(fi,y) = f^UXx^U),^).

При отображении (5) некоторая замкнутая окрестность точки Т0 отображается в некоторый замкнутый круг H плоскости и с центром в точке (0; 0). Точка Т0 отображается в точку (0; 0).

Таким образом поставленную задачу будем решать для уравнения (6) в круге H.

Заметим,

линиями уровня

функции

|u| = |Vu2 +U2 | ,

в круге H являются

концентрические окружности с центром в точке (0; 0).

Пусть границей H будет окружность радиуса г₀ . Проведем круг H 1 с радиусом г 1 = I^r 2 + slns^.

Введем обозначение H\H 1 = H_f, причем будем считать, что граница H 1 не принадлежит

Hf (Рисунок).

Рисунок. Области H 1 , H_£, H 23 , H₂₁, H_1£, H 11

Верхниюю границу (содержащегося в полуплоскости и₂ > 0) H обозначим 1 1 , а нижные части H_2f, H₂₁. (Рисунок).

За и₀ возьмём г₀ т.е. и₀ = г₀ .

Для удобства проводимых вычислений в (6) перейдем к полярным координатам:

и = ге1а,0 < а < 2п.

Теперь (6) перепишем так:

_ia 1     (г; ^а                                            1

У = х° (—) + J (Ь0(ге1а) + f0(reia,y)) х (~е1(а~а))£ d(reia).

V 0 7   oi)

(7) рассмотрим в H. Сначала рассмотрим следующие случай:

1. (г; 0)^1 1 , 2. (г; a)EH_1£ , 3. (г; a)EH₁₁.

К (7) применим метод последовательных приближений, которые определим следующим образом:

_ia 1     ( ^r ;a)                                                    1

Ут=х0(-е—) + J (Ь0(Ге1“}+Ъ(Ге1аут_1)}х(ге1(^

⁰        (Г о 0

У0 = 0,т = 1,2,....

Для (8) определим пути интегрирования. Для всех у_т и случаев 1, 2, 3 путь идёт от точки (г₀; 0) до (г₀; а) по 1 1 , затем по лучу проходящего через точки (0; 0) и (г₀; а) от точки (г₀; а) до точки (г; а) (г < г₀). Теперь переходим к оценке (8). Сначала рассмотрим случай 1. Имеем:

1а

У 1 = х°е £ +

^а        _   1(а-а)    _

I Ь0(г0,е1а)е   £   iгoeladа.

Отсюда переходя к модулю получим |у 1 | < С₃.

Далее ^| < |yil + С2Сза < Сз(1 + С2Сза).

Продолжив процесс имеем

|Ут1 <Сз (1 + С2Сза + - +

Из (9) следует оценка:

(С2С3а)т-1 (т — 1)!

■ ),т = 1,2,...

|Ут| < С4,С4 = С:!ег'гЛ(Г; а) е Zr

Докажем равномерную сходимость (8) для случая 1. Оценим |ут — ут-1|.

|У1| < С4;

|У 2

—

|У з

у1| < С4Сза; а2

—

У21 <С4СзСз— = С4

(Сза)2

2!    ;

,            ,      (Сза)т-1

|Ут—Ут-1| <С4 ^-^I ,т = 1>2>-

Из оценки (11) вытекает равномерная сходимость (8) к некоторой функции у(Г, а, е),

которая является решением (7) для (г, а) G 1 1 и для этого справедлива оценка

решения, согласно (10),

\у\ < С4,(г; а) е 11.

Случай 2. В (7) проведем следующее преобразование (с интегрирования):

учетом выбранных путей

у=(Г-)" ке1а

S3

а

)f + \ С(ЫГое1а) + /0(

1(а-а)

Г0е1а,У) хе  f d(Гe

1а)] +

Г а

+ J (й0(Г, е1а) +/0(Ге1а,У) х (-)f eiadr.

Г

В (13) выражение, содержащееся в скобке [...] даёт решение (7) на 1 1 . Таким образом (13) можем переписать так:

У = У(Гое1а, е) (^ + J (Ьо(Г, е

Г

. л

. л

1а) + f0(yeia

,У)) х(-)"е1а^Г.

К (14) применим метод последовательных приближений, которые определим так

1     Г а

. л

Ут = у(гое1а,£

)(Г)£ + / (йо(Г,е1а) +fo(re

. л

1а,Ут-1)) х (J)f е1а^Г.Уо = 0,т

Г

= 1,2, -

Оценим (15).

1      Г а

|У11<С4(Г-)£+|/

л \Ь0(Г, eia

Ш^ЧЭ"^

По условию ф 0 + sZm < г < г₀. Таким образом

(т)г < 1, тогда |у1| < С4 + С5£ < Сб;

|у2| < |у1| + Сб • С5£ = Сб(1 + Сб^;

|уз| < |у1| + Сб • (с5£ +

(С5£)2 2!

■) = С6 • (1 + С5£ +

(С5£)2 2!

)■

Продолжая оценку получим

т-1 ,    _ ,

V (С5£)к

ут < Сб ^ к[ < Сбе%рС5£ < С7, ут < С7, (г, а) £ Н1£. к=0

Сходимость {ут} доказывается как и в преыдущем случае. Имеем оценку:

|у| < Су,(г; а) £ Н1£.

Пусть (г; а) £ Н 11 . В рассматриваем случае, г < г₀ и

1                           1

(^)£ ^ 0 при £ ^ 0 т.е. (^)£ = 0(£n),ne^■

Учитывая это и повторяя предыдущие процедуры оценки |ут| получим

|Ут| < С8^,(г; а) £ Ни.

Сходимость {ут} доказывается как и в первом случае. Для решения у получается оценка (на основе (18)):

|у| < С8£,(г; а) £ Ни.

Объединив оценки (12), (16), (19) получим:

1у1 < С9^

1, (г; а) £ Z1 U Н2£;

£, (г; а) £ Н11.

Аналогичная оценка имеет место для 1 2 , Н 2 _£, Н₂₁ т.е.:

1у1 < С9^

1, (г; а) £ Z2U Н2£;

£, (г; а) £ Н21.

Объединив оценки (20), (21) получим

• 1,    (г; а) £ Z U Н3;Z = Z1 U 12;

  
  

  1у1 < С 9 ^

  
  

  £, (г; а) £ Н 1 .

  
  

Заметим, из проведенных операций вытекает, что логарифмический полюс на асимптотическое поведение решения никакого влияния не оказывает. Теперь вернемся к задаче (1)-(2). Из (22) вытекает, что в окрестности точки Т₀ (эта окрестность отображается на Н) существуют погранслойная область и область притяжения и логарифмический полюс Т₀ на асимптотическое поведение никакого влияния не оказывает.

Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть рассматривается задача (1)-(2) и выполняются условия У1, У2, У3, У4.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 11. №11 2025

Тогда решение задачи (1)-(2) существует в некоторой окрестности точки Т₀ и эта окрестность разделяется на погранслойную область и область притяжения. Логарифмический полюс на асимптотическое поведение решения не влияет.