Сингулярные интегро-дифференциальные уравнения с ядром Гильберта и монотонной нелинейностью

1.    Введение и основные результаты

Интерес к сингулярным интегро-дифференциальным уравнениям вызван их многочисленными и разнообразными приложениями в гидро и аэродинамике (уравнение Прандтля «крыла, самолета»), в теории упругости и автоматического управления, в области устойчивых процессов с независимыми приращениями и др. [10]. В работах X. М. Когана. [7, 8] в связи с решением одной вариационной задачи был изучен сингулярный интегро-дифференциальный оператор с ядром Коши

(Tu)(x) = -¹   u(s) ds

π s - x

-1

как оператор, действующий из L2( —1,1) в L2(—1,1), с областью определения

D(T ) =

u(x) : u(x) G AC [—1,1], u(—1) = u(1) = 0,

j p1 — x² u02(x)

-1

dx < ∞

где AC[—1,1] — множество всех абсолютно непрерывных на. отрезке [—1,1] функций. В T скалярного произведения (Tu, u) получено неравенство

1 /    1 0    \          12

(Tu, u) = )--[ —— ds u(x) dx > I         dx (V u(x) G D(T )).

n J s — x                  1 — x²

-1       -1                         -1

Эти результаты допускают обобщение на случай сингулярного интегро-дифференциального оператора вида

1                     о

(Bu)(x) = -bds,   b(x)₆ AC[-1, 1],

π s-x

-1

рассматриваемого в пространстве Лебега Lp(%), p > 2, с весом %(x) = (1 — x²) ^1/2 и областью определения D(B) = {u(x) : u(x) Е AC [—1,1], u(±1) = 0, u⁰(x) Е Lpo (ст)}, где p⁰ = p/(p — 1)- a(x) = (1 — x²)^(p0^-1)/2. При этих угле>внях оператор B является симметричным и положительным, причем (см. [2])

hBu.u) = ¹ — bM ¹ IbMuM! ds u(x) dx > f фН^ dx

(V u(x) Е D(B)).

П J s — x                      1 — x²

-1          -1                               -1

В работах Л. Вольферсдорфа [10] и автора [2] установлена максимальная монотон-TB ственности решения для различных классов нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядром Коши, содержащих эти операторы. Некоторые другие классы таких уравнений были ранее рассмотрены в [9].

В данной работе изучается сингулярный интегро-дифференциальный оператор с яд ром Гильберта

π

(Gu)(x) =

-

2п / u0(s) *

s-x

ds

π как оператор, действующий из пространства вещественных 2п-периодических функций Lp(—п,п). 1 < p < то. в сопряженное с ним пространство Lpo(—п,п). с областью определения

π

Z¹ u^{0 (}x^{r- dx}< - -

-π

D(G) =  u(x) : u(x) Е AC[—п,п], u(—п) = и(п) = 0, где AC[—п, п] — множество всех абсолютно непрерывных на. отрезке [—п, п] функций.

Применяя методы теории тригонометрических рядов [3], установлено, что G является симметричным, потенциальным, строго положительным и максимальным монотонным оператором. Используя эти свойства, методом максимальных монотонных операторов [5] доказаны глобальные теоремы о существовании и единственности решения для различных классов нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядром Гильберта, содержащих оператор G. Приведены следствия, иллюстрирующие полученные результаты.

Всюду в работе будем придерживаться принятых в монографии [5] обозначений и определений, касающихся теории монотонных операторов. Пусть X — вещественное рефлексивное банахово пространство, X* — сопряженное с ним пространство и оператор Л действует из X в X*. т. е. Л Е (X ^ X*). Осознаним через; hy,x) значение линейного непрерывного функционала y Е X * на эле менте x Е X. В частности, если X — гильбертово пространство H, то hy,x) совпадает с обычным скалярным произведением (y, x), где x,y Е H. One}затор Л е линейной об.таетьто определения D(Л) С X называется .монотонным, если для любых u, v Е D(Л) выполняется неравенство hЛu — Лv, u — v) > 0

и строго монотонным, если hAu — Лv,u — vi > 0 пр и и = v. Монотонный оператор Л Е (D(Л) ^ X*) называется максимально монотонным, если из выполнения неравенства, hf — Лv, u — vi > 0 для лтобого v Е D(Л) следует. что u Е D(Л) и Ли = f. Если Л — линейный оператор, то определение монотонного и строго монотонного оператора совпадает с определением положительного и строго положительного оператора, соответственно.

RN ных чисел соответственно, а через p0 = p/(p — 1) — сопряженное с p число.

2.    Строгая положительность сингулярного интегро-дифференциального оператора с ядром Гильберта Пусть 1 <р < то i1 p0 = p/(p — 1). Обозначим через Lp(—п, п) множество всех измеримых по Лебегу на отрезке [—п, п] вещественных 2п-периодических функций с конечной нормой ||ukp = (Jnn |u(x)|pdx)1/p. Норму в сопряжеином пространстве Lpo(—п,п) обозначим через: || • |ро. Поставим в соответствие функции u(x) Е Lp(—п,п) ее тригопомет- рический ряд Фурье ∞ где a0 π =      u(x) dx, π -π u(x) an ~ "20 + ^^ (an cos nx + bn sin nx), n=1 π — J u(x) cos nxdx, π -π bn π =     u(x) sinnxdx, n Е N, π -π

u(x)

Следуя монографии H. К. Бари [3], определим сопряженную с u(x) функцию u(x):

u(x) =

π

—п / 0

u(x + s) — u(x — s) 2ti]

ds.

Известно [3, с. 573], что сопряженная функция u(x) представима в виде

u(x) =

π

—п /

-π

-EsE ds = 2 tg s-x

π

— ^ / u(s) 2п

π

ctg

s-x

ds,

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши — Лебегу, и соответствующий ей тригонометрический ряд Фурье имеет вид [3, с. 568]

∞

u(x) ~ — У^ (bn cos nx — an sin nx),                          (4)

n=1

an bn

Рассмотрим теперь сингулярный интегральный оператор H с ядром Гильберта:

(Hu)(x) =

π

2^ У u^(s)ctg s-—x ds,

-π

где, как и выше, интеграл понимается в смысле главного значения по Коши — Лебегу. Сравнивая (3) и (5), замечаем, что (Hu)(x) = —u(x). Значит, в силу (4)

∞

(Hu)(x) ~ У^ (bn cos nx — an sin nx).

n=1

Пусть u(x) E Ь_р(—п,п), v(x) E Lpo (—п, п). Обозначим коэффициенты их рядов Фурье через an, bn и cn, dn, соответственно. Тогда [3, с. 218] справедливо равенство Парсеваля

1 П              a c ~

u(x)v(x) dx = — - +     (ancn + bndn) .

п                  2    ^z—'

n =1

- π

Используя равенство Парсеваля (7), с учетом соотношений (1) и (6) для любого u(x) E L2(—п,п) получаем

∞

(Hu)(x) • u(x) dx = УУ (bnan — an bn) = 0 или (Hu, u) = 0 (V u(x) E L2(— п,п)), (8) n =1

π и - π

H в пространстве L2(—п, п), но не является строго положительным оператором, так как не удовлетворяет условию: (Hu, и) > 0, если u = 0.

Рассмотрим теперь в пространстве Lp(—п, п), 1 < p <  то, сингулярный интегро-

G

(Gu) (x) =

π

—2п /u0(s)ctg

- π

ds,

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши — Лебегу, с областью определения

D(G) =

u(x) : u(x) E AC [—п,п], u(—п) = u(п) = 0,

π

УI u (x^)|p- dx<.

- π

,

где AC [—п, п] — множество всех абсолютно непрерывных на. отрезке [—п, п] функций.

Теорема 2Л. Пусть 1 < p <  то. Сингулярный интегро-дифференциальный оператор G с ядром Гильберта действует из D(G) в L_po (—п, п) и является строго положительным, симметричным и потенциальным, причем

∞ hGu,ui = пXn(an+ tn) (Vu(x) e D(G)), n=1

где коэффициенты an и bn определяются по формулам (2).

• <1 Так как сингулярный интегральный оператор H с ядром Гильберта действует [3. с. 566] непрерывно из Lpo (—п,п) в Lpo (—п, п) при лтобом p G (1, то). то очевидно.

G из D(G) в Lpo(—п,п). поею>льку u'(x) G Lpo(—п,п)

Докажем, что оператор G является строго положительным. Пусть u(x) G D(GY Так как функция u(x) абсолютно непрерывна на отрезке [—п, п], то справедливо соотношение [3, с. 87]

∞ u'(x) ~ УУ n (bn cos nx — an sin nx) .

n=1

В силу (4) имеем

∞ u'(x) ~ УУ n (an cos nx + bn sin nx) .

(Ю)

n=1

Используя равенство (10), с учетом того, что в силу (3) u' (x) = (Gu)(x), на основании равенства Парсеваля (7) получаем

π

- π

-

π

2п /«м

s - x

-

π

∞ ds u(x) dx = У/ n (аП

)          n=1

+bn),

• t. e. справедлива доказываемая формула (9). Из формулы (9) непосредственно вытекает, что оператор G является по.тожнтс.тьным. т. е. hGu, — > 0 (Vu(x) G D(G)). Кроме того, из формулы (9) следует, что hGu, ui = 0 тогда и только тогда, когда an = bn = 0 (V n G N). Но в этом случае. в с илу соотношения (1). u(x) ~ ад/2. т. е. u(x) = C = const (Vx G [—п, п]). Поскольку u(—п) = u(п) = 0. то C = 0 и. зыаннт. hGu, ui = 0 лишь в случае u(x) = 0, т. е. G — строго положительный оператор.

Докажем теперь, что оператор G является симметричным. Пусть u(x) G Lp(—п,п), v(x) G Lpo (—п, п). Обозшгчим коэффнтщенты их рядов Фурье через an. bn 11 c_n. d_n. соответственно. Тогда, с учетом (10) и равенства u'(x) = (Gu)(x), имеем

∞∞

(Gu)(x) ~ УУ n (an cos nx + bn sin nx), (Gv)(x) ~ У/ n (cn cos nx + dn sin nx).

n=1n=1

Поэтому в силу равенства Парсеваля (7) получаем

1 п“

• —    (Gu)(x) v(x) dx = У/ n (anCn + bndn) ,

• п —пn=1

i п

• —   u(x)(Gv)(x) dx = yyn (ancn + bndn) .

пn=1

- π

Значит, ππ j(Gu)(x) • v(x) dx = j u(x) • (Gv)(x) dx, -π                  -π t. e. hGu, vi = hu, Gvi (Vu(x),v(x) G D(G)).

Из равенства (11) вытекает, что оператор G является симметричным, G = G = G*, где G* — сопрязкепный с G оператор.

G примеру 5.3 из [4, с. 63], квадратичный функционал f (u) = hGu,^. Так как множество D(G) плотно в щюстраистве Lp(—п, п) при лтобом p G (1, то). G = G* ii D(G) = D(G*).

то [4, с. 63]

gradf (u) = Gu + G* u = 2 Gu или Gu = 2 gradf (u),

• t. e. линейный оператор G. действующий из D(G) в Lpo(— п,п). p⁰ = p/(p — 1). является потенциальным. B

3. Теоремы существования и единственности в Lp(—п, п)

В этом пункте доказываются теоремы о существовании и единственности решения для различных классов нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравне-G

Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции (так называемый оператор Немыцкого). Пусть вещественнозначная функция F(x,u) определена при x G [—п,п], u G R, имеет период 2п по x и удовлетворяет условиям Каратеодори: она из-x                           u∈R                u x G [—п, п]. Осознаним через: F оператор суперпозиции. порожденный функцией F(x,u): (Fu)(x) = F(x,u(x)), а через L+(—п,п) — множество всех неотрицательных функций из Lp(—п,п).

Нам понадобится следующая теорема Ф. Браудера, приведенная с доказательством в монографии [5, с. 98].

Теорема 3.1. Пусть X — рефлексивное бан ахово пространство, Л G (D(Л) ^ X *) — радиально непрерывный максимальный монотонный оператор с линейной областью определения D(Л) С X и A G (X ^ X*) — радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда при любом f G X* уравнение

Лu + Au = f

имеет решение u G D(Л). Если, кроме того, оператор A является строго монотонным, то уравнение (12) имеет точно одно решение.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Заметим [5, с. 143], что теорема 3.1 была сформулирована Ф. БраЛ сти его определения D(Л). Достаточно, чтобы оператор Л был линейным максимальным монотонным оператором с плотной в пространстве X областью определения D(Л) [6]. Легко видеть, что для единственности решения в теореме 3.1 достаточно, чтобы хотя бы один из операторов Л и.th A был строго монотонным.

Теорема 3.2. Пусть p >  2 и f (x) G Lpo (—п, п). Если для почти всех x G [—п,п] и всех u G R выполняются условия

• 1)    |F(x,u)| 6 a(x) + d₁ • |u|^p-1. г,те a(x) G L+(—п,п), d₁ > 0;

• 2)    F(x,u) не убывост no u;

• 3)    F (x, u) • u > d₂ • |u|^p — D(x). г те D(x) G L+ (—п, п), d₂ > 0,

то при любых значениях параметра X >  0 уравнение

π

А • F (x, u(x))

-

2п у u м =t^g

s^-- ds = f (x)

π

имеет единственное решение u(x) G D(G).

<1 Запишем уравнение (13) в операторном виде:

XFu + Gu = f.

F

Lp(—п, п) в Lpo (—п, п). монотонен и коэрпитивон. причем для любого u(x) G Lp(—п, п) выполняются неравенства ||Fukpo 6 ||а|_ро + dikukp^-1 и hFu, ui > d₂|ukp — ||Dki-

Рассмотрим теперь сингулярный интегро-дифференциальный оператор G. По теоре-G               D(G) L_p0 (-п, п)

G является максимальным монотонным оператором, так как не допускает строго монотонного расширения (ср. [10, с. 258]).

Таким образом, для операторов G = Л и XF = A выполняются все требования теоремы 3.1. Следовательно, уравнение (14), а значит и уравнение (13), имеет единственное (см. замечание 3.1) решение u G D(G) B

Следствие 3.1. Пусть p > 2 — любое четное число, f (x) G Lpo(—п,п). Тогда урав нение

π up-1(x) - 2Л У u0(s) ctg s

-π

-

x

— ds = f (x)

имеет единственное решение u(x) G D(G)

Следующие две теоремы отличаются от теоремы 3.2 как по характеру ограничений на нелинейность, так и по структуре доказательства.

Теорема 3.3. Пусть p >  2 и f (x) G L_p(—п, п). Если для почти всех x G [—п, п] и всех u G R выполняются условия:

• 1)    |F(x,u)| 6 g(x) + d3|u|^1/(p-1). г,те g(x) G L⁺(—п,п), da > 0;

• 2)    F (x,u) не убывост no u;

• 3)    F (x, u) • u > d₄ |u|^p/(p-1) — D(x). г те D(x) G L+ (—п, п), d₄ > 0,

то при любых значениях параметра X >  0 уравнение

π

XF (x,u0(x)) + -!-2п

j u(s) ctg s-x ds = f (x)

π

имеет единственное решение u(x) G L_p(—п, п) c u⁰ (x) G Lpo (—п,п) и u(±п) = 0.

< Полагая в уравнении (15) u⁰(x) = v(x) и учитывая, что тогда u(x) = J_x_n v(t) dt + u(—п) = J_x_n v(t) dt, приходим к операторному уравнению

XFv + Vv = f,

где v G Lpo (—п,п) и

(Vv)(x)

πs

v(t) dt

ТпН$

s ctg-

x

ds = (Hu)(x).

-π -π

Поскольку сингулярный оператор H, в силу теоремы М. Рисса [3, с. 566], действует непрерывно из Lp(—п,п) в Lp(—п, п). то из р;шеиства Vv = Hu ввгтекает. что оператор V действует из Lpo(—п,п) в Lp(—п,п), причем, в силу формулы М. Рисса перестановки регулярного и сингулярного интегралов [3, с. 568], равенства Vv = Hu и равенства (9), с учетом. что u(x) G Lp(—п, п). u'(x) G Lpo(—п,п) 1i u(±п) = 0. имеем hVv,vi = hHu, u'i = -hu, Hu'i = hu, Gui = hGu, ui > 0 (V v G Lp.(—п,п)).      (17)

Итак, оператор V действует из Lpo( — п,п) в Lp( — п,п) и является строго положительным оператором, что вытекает из (17), поскольку hGu, ui > 0 пр и u = 0 по теореме 2.1. Кроме V непрерывным.

F мер. [1. §2]). что оператор F действует непрерывно из Lpo(—п, п) в Lp(—п, п). монотонен и коэрцитивен.

VF что оператор A = XF + V действует из пространства Lpo (—п, п) в сопряженное с ним пространство Lp(—п,п) и является непрерывным, строго монотонным (как сумма монотонного и строго положительного операторов) и коэрцитивным. Следовательно, по теореме Браудера — Минти [5, с. 95] уравнение (16) имеет единственное решение v(x) G Lp0 (-п, п)                                                     u0(x) = v(x)

решение u(x) G Lp(—п,п). B

Следствие 3.2. Пусть p > 2 — любое четное число, f (x) G Lp(—п,п). Тогда уравне ние

π

1               s

(u'(x))(p-1) + —   u(s) cts -

-π

-

x

— ds = f (x)

имеет единственное решение u(x) G D(G)-

Доказательство следующей теоремы, в отличие от теорем 3.2 и 3.3, основано на обращении оператора суперпозиции и установлении коэрцитивности обратного оператора.

Теорема 3.4. Пусть p > 2 и f (x) G D(G) Если для почти всех x G [—п,п] ив cexu G R выполняются условия 1)—3) теоремы 3.3. причем в условии 2) F(x,u) строго возрастает по u. то при любвзх значениях X >  0 уравнение

π

u(x) + XF

x,

-

2п J«'ta-»g

s

-

x

ds

= f(x)

-

π

имеет единственное решение u(x) G D(G).

• <1 При X = 0 утверждение данной теоремы очевидно, поэтому считаем далее, что X > 0. Запишем уравнение (18) в операторном виде:

u + XFGu = f.                             (19)

Введем новую неизвестную функцию v(x), обозначив f(x) — u(x) = Xv(x). Ясно, что v(x) G L_p(—п, п). v(±п) = 0 11 v'(x) = X^-1 (f'(x) — u'(x)) G Lpo (— п,п). т. e. v(x) G D(G)-Подставив u = f — Xv в уравнение (19). получим

FG(f — Xv) = v.                                (20)

F рывно из Lpo(— п,п) в Lp(— п,п), строго монотонен и коэрцитивен, причем для любого u(x) G Lp0 (—п, п)

p kFukP 6 kgkp + dakukp0, hFu,ui > d! Iu| p. 1 — kDki.

Значит, по теореме 2.2 из [5] существует обратный оператор F -1, действующий из Lp(- п, п) в L po (—п,п) и являющийся строго монотонным, ограниченным и радиально непрерывным, поскольку для монотонных операторов понятия радиально непрерывный и деминепрерывный совпадают в силу [5, лемма 1.3]. Кроме того, оператор F ^-1 является коэрцитивным (см. [1, лемма 2.1]).

Применив оператор F ^-1 к обеим частям уравнения (20). приходим к уравнению Gf — XGv = F ^-1v или

F ^-1 v + XGv = Gf,                            (21)

• t. e. получили уравнение вида (12).

Заметим, что по теореме 2.1 Gf Е L po (—п, п) и, как было установлено при доказа- G

Таким образом, операторы XG = Л и F ^-1 = A удовлетворяют всем требованиям теоремы 3.1. Следовательно, уравнение (21) имеет решение v Е D(G) и это решение единственно в силу строгой монотонности оператора A = F ^-1. Но тогда, в силу связи u = f — Xv, уравнение (19), а значит и данное уравнение (18), имеет единственное решение u Е D(G). B

Следствие 3.3. Пусть p > 2 — любое четное число и f (x) Е D(G) Тогда уравнение p π                          p-1

u ( x ) +

j u'(s) ctg s-x ds ^j    = f (x)

-π имеет единственное решение u(x) Е D(G)

p =2

чай линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения с ядром Гильберта.