Синхронизация и захват частот в системе двух связанных осцилляторов реверсивных станов холодной прокатки

На многоклетьевых станах холодной прокатки при больших скоростях могут возникать автоколебания [1–3]. Как правило, это происходит на двух последних клетях, третьей, четвертой или четвертой, пятой. Скорость прокатки при этом должна быть больше 1000 м/мин. Возникновение автоколебаний сопровождается фазовой синхронизацией виброперемещений клетей стана [4–6]. Высокоскоростная прокатка, как правило, производится с использованием гибридной системы смазки. Источником колебаний являются неконсервативные силы в зоне контакта рабочих валков стана. При колебаниях толщины полосы на входе многочастотные внешние воздействия прокатного стана существенным образом влияют на вибрационные характеристики. Вибрационные модели при прокатке разрабатываются с учетом нестационарной смазки [7–9]. Модели строятся с использованием методов конечных элементов, учитываются неконсервативные силы трения. Прогноз технического состояния проводится с использованием спектрального анализа вибрационного сигнала. При параметрическом возбуждении крутильных колебаний главного привода используют отрицательную обратную связь по скорости и усилию прокатки [10–13]. Двухклетье-вой реверсивный стан холодной прокатки приведен на рис. 1, система мониторинга для управления процессом прокатки – на рис. 2. На схеме видны клети с рабочими и опорными валками. Левая реверсивная моталка выполняет функции разматывателя и моталки, правая – только моталки.

Рис. 1. Двухклетьевой реверсивный стан холодной прокатки

Fig. 1. Two-cell reversible cold rolling mill

Рис. 2. Система онлайн-мониторинга для управления процессом прокатки

Fig. 2. Online monitoring system to control the rolling process

Известно, что клеть стана представляет собой автоколебательную систему, поэтому моделью двухклетьевого стана может быть выбрана система, состоящая из двух осцилляторов, соединенных упругой связью. Это классическая задача [14, 15], в которой связь, как правило, считается малой. Синхронизация двух осцилляторов может происходить как на частоте основной гармоники, так и кратной трем [16, 17].

Численное и экспериментальное исследование внешней синхронизации, синхронизация и многочастотные колебания, динамика осцилляторов, упруго связанных друг с другом, описаны в работах [18–20]. Методы решения уравнений Ван дер Поля и системы двух осцилляторов с упругой связью определены работами [21, 22]. Цифровой двойник стана получен с использованием пакета MathCAD. Условия возникновения автоколебаний, бифуркации рождения предельного цикла, рассмотрены в широком диапазоне величин упругой связи между осцилляторами.

Построение численной модели синхронизации клетей стана холодной прокатки

Упрощенную структурную схему стана можно представить в виде двух автоколебательных систем, установленных на массивном фундаменте. Параметры жесткости и демпфирования приведены на рис. 3.

Рис. 3. Принципиальная схема

Fig. 3. Schematic diagram

На массивном фундаменте установлены два осциллятора, колебательных звена. Эти колебательные звенья представляем в виде массы на пружине с учетом сил демпфирования. Колебательные звенья клети стана холодной прокатки нелинейны, описываются уравнениями Ван дер Поля и связаны упругой прокатываемой полосой. Уравнения, описывающие движения колебательных звеньев, приведены ниже.

Правая клеть (клеть 2)

X 1(t) = ^-xo{ t),

^x 1(t) j + [d1+ (bl (хо^)) ) x1(t) + d (xo(t)) + к (yo(t) — xo()) ) — F(t) + F1( t). (2)

Левая клеть (клеть 1)

y i^(t) = Ttyom

M 2^y1(t)) +

[d2 + f ( 22 (yo(t)) ) ²

y 1(t) + c2 (yo(t)) + к (xo^t)

— yott) ) — 0.

Здесь масса осцилляторов – М1; М2, жесткость осцилляторов – c1; c2, малый член уравнения Ван дер Поля – d1; d2, демпфирование осцилляторов – b1; b2, натяжение полосы – k. Частота и амплитуда вынуждающих сил: частота силы, генерируемая рабочими валками клети справа – Ω1, амплитуда силы – U1. Частота силы, генерируемая АСУ ТП стана, – Ω, амплитуда – U. Вынуждающая сила: сила, генерируемая рабочими валками клети справа, - F1(t) — U1 • sin (П1 • t), сила, генерируемая АСУ ТП стана, F(t) = U-sin (П ■ t). Начальные условия: виброперемещение правой клети - o0(t), виброскорость правой клети - x1(t), виброперемещение левой клети - y0(t), виброскорость левой клети - y1( t).

Численный эксперимент с использованием цифрового двойника

Возникновение автоколебаний осцилляторов происходит под действием ненулевых начальных условий либо внешнего воздействия. В качестве внешнего воздействия могут выступать силы, генерируемые рабочими валками при прокате полосы металла.

Автоколебания под действием ненулевых начальных условий

Параметры цифровой модели стана в безразмерном виде приведены в табл. 1.

Таблица 1

Параметры системы

Table 1

System parameters

М1	М2	С1	С2	d1	d2	b1	b2	Ω	U	Ω1	U1	F
10	10	10	12	–0,1	–0,1	0,1	0,1	1	0	0	0	0

В качестве ненулевых начальных условий приняты значения виброперемещений левой и правой клети, равными 0,1. Внешние силы, действующие на стан, принимаем равными нулю. Упругая связь между двумя колебательными звеньями (осцилляторами) изменяются в диапазоне от 0 до 6. Распределение частот и амплитуд автоколебаний на левой и правой клети приведены на рис. 4. Пунктирными линиями обозначены безразмерные частоты, сплошными линиями – безразмерные амплитуды. Зеленый – правая клеть, красный – левая клеть. Весь диапазон изменения натяжений К разделен на 4 зоны.

Первая зона – нулевая. В этой зоне отсутствует связь между осцилляторами. И если возбуждение автоколебаний происходит под действием ненулевых начальных условий и начальные условия заданы на двух осцилляторах, то и автоколебания возникают на осцилляторах независимо друг от друга с частотами, определяемыми параметрами осцилляторов – жесткостью и демпфированием.

В зоне 2 безразмерное натяжение К изменяется в диапазоне от 0 до 3. Осцилляторы совершают связные колебания, но на разных частотах синхронизация отсутствует. Амплитуды виброперемещений также не равны друг другу. В зоне 3 происходит синхронизация колебаний, в зоне 4 колебательная система становится апериодической.

Рис. 4. Распределение частот и амплитуд автоколебаний. Пунктирные линии – безразмерные частоты, сплошные линии безразмерные амплитуды. Зеленый – правая клеть, красный – левая клеть

Fig. 4. Distribution of frequencies and amplitudes of self-oscillations. Dotted lines represent dimensionless frequencies, solid lines represent dimensionless amplitudes. Green is the right box, red is the left box

Зона 1. Натяжение равно нулю

На рис. 5 приведены виброперемещения, а на рис. 6 – спектральная характеристика и предельный цикл правой клети стана при отсутствии натяжения и при наличии ненулевых начальных условий. Колебания системы растут до некоторого предельного значения, образуя предельный цикл. Безразмерная частота правой клети равна 0,16406, амплитуда – 0,284 (рис. 6).

Рис. 5. Виброперемещение правой клети

Fig. 5. Vibration displacement of the right crate

Рис. 6. Спектральная характеристика и предельный цикл правой клети

Fig. 6. Spectral characteristic and limit cycle of the right cage

На рис. 7, 8 приведены виброперемещения, спектры частот и предельный цикл осциллятора левой клети стана. При отсутствии связи – колебания гармонические с частотами собственных колебаний осцилляторов. Безразмерная частота колебаний левой клети равна 0,17969 и амплитуда – 0,258.

Рис. 7. Виброперемещение левой клети

Fig. 7. Vibration displacement of the left crate

Рис. 8. Спектральная характеристика и предельный цикл левой клети

Fig. 8. Spectral characteristic and limit cycle of the left cage

Зона 2. Натяжение К = 1

Натяжение изменяется в диапазоне от 0 до 3 (см. рис. 4). Осцилляторы совершают связные колебания, но на разных частотах, синхронизация отсутствует. Амплитуды виброперемещений также не равны друг другу. На рис. 9 и 10 приведены виброперемещения, спектральная характеристика и предельный цикл правой клети.

Рис. 9. Виброперемещение правой клети при К = 1

Fig. 9. Vibration displacement of the right crate at K = 1

Рис. 10. Спектральная характеристика и предельный цикл правой клети при К = 1

Fig. 10. Spectral characteristic and limit cycle of the right cage at K = 1

Рис. 11. Виброперемещение левой клети при К = 1

Fig. 11. Vibration displacement of the left crate at K = 1

Рис. 12. Спектральная характеристика и предельный цикл левой клети при К = 1

Fig. 12. Spectral characteristic and limit cycle of the left cage at K = 1

Зона 3. Диапазон изменения натяжения от 3 до 5

В этой зоне происходит синхронизация системы. Осцилляторы совершают колебания с равными частотами. Причем частоты не равны стартовым. Если в нулевой зоне, когда отсутствует связь между осцилляторами, частоты равны 0,16406 и 0,17969 (см. рис. 6 и 8), то в зоне 4 частота автоколебаний равна 0,1719 (рис. 13, 14).

Рис. 13. Виброперемещение правой клети для К = 4

Fig. 13. Vibration displacement of the right crate at K = 4

Рис. 14. Спектральная характеристика и предельный цикл правой клети для К = 4

Fig. 14. Spectral characteristic and limit cycle of the right cage at K = 4

В четвертой зоне колебательная система становится апериодической. В начале при постоянной частоте уменьшается амплитуда, затем колебания затухают полностью. Критическое натяжение К равно 6,0 (см. рис. 4).

Автоколебания под действием внешней гармонической силы

Параметры цифровой модели стана при учете внешнего гармонического воздействия в безразмерном виде приведены в табл. 2. Собственные частоты правой и левой клети (осцилляторов) равны между собой, так как отношение массы к М к жесткости С равно единице.

Таблица 2

Параметры системы

Table 2

System parameters

М1	М2	С1	С2	d1	d2	b1	b2	Ω	U	Ω1	U1	F
10	10	10	10	–0,1	–0,1	0,1	0,1	1,0	1,0	0	0	1,0

В качестве нулевых начальных условий приняты значения виброперемещения и виброскорости левой и правой клети, равные 0,0. Внешние силы, действующие на стан, принимаем равными безразмерной единице F = 1. Частота внешнего воздействия равна частоте собственных колебаний стана (осцилляторов). Упругая связь между двумя колебательными звеньями (осцилляторами) изменяется в диапазоне от 0 до 5. Частота колебаний осцилляторов постоянна и не меняется при изменении натяжения К. Зависимость амплитуд автоколебаний на левой и правой клети от натяжения К приведена на рис. 15. Пунктирными линиями обозначены безразмерные частоты, сплошными линиями – безразмерные амплитуды. Зеленый – правая клеть, красный – левая клеть. Весь диапазон изменения натяжений К разделен на 3 зоны.

При натяжении, равном нулю, связь между осцилляторами отсутствует и внешнее возбуждение действует только на клеть, к которой приложена, то есть на правую клеть. Поэтому амплитуда колебаний правой клети – максимальная, левой – равна нулю.

При увеличении натяжения от нуля до некоторой критической величины амплитуда плавно растет на левой клети и снижается на правой (рис. 15, зона 1). При дальнейшем увеличении натяжения колебания продолжаются с одинаковой амплитудой (рис. 15, зона 2).

При достижении критического уровня натяжения система двух осцилляторов, соединенная упругой связью, превращается в апериодическую систему (рис. 15, зона 3). При работе прокатного стана реальное натяжение может изменяться в пределах от 100 до 170 кН. Максимальный уровень натяжения не превышает 220 кН. Изменяя уровень натяжения, можно предположить возможность стабилизации вибрационного состояния прокатного стана.

Безразмерное натяжение К

Рис. 15. Распределение амплитуд вибрации правой клети (зеленая) и левой клети (красная)

Fig. 15. Distribution of vibration amplitudes of the right cage (green) and the left cage (red)

В качестве примера на рис. 16 и 17 показано формирование предельного цикла правой и левой клети в зоне 2: натяжение К = 3,0, устойчивое формирование предельного цикла.

Рис. 16. Правая клеть. Виброперемещение. Предельный цикл

Fig. 16. The right cage. Vibration displacement. Limit cycle

Рис. 17. Левая клеть. Виброперемещение. Предельный цикл

Fig. 17. The left cage. Vibration displacement. Limit cycle

В зоне 3 при натяжении К = 5 существенно снижается амплитуда колебаний. Меняется форма предельного цикла (рис. 18, 19). При дальнейшем увеличении натяжения уже при значении К = 5,1 колебательная система становится апериодической. Виброперемещения как правой, так и левой клети практически не совершают колебаний (рис. 20, 22). На виброскорости можно заметить затухающие колебания. Предельный цикл вырождается в точку (рис. 21, 23).

Рис. 18. Правая клеть. Виброперемещение. Предельный цикл

Fig. 18. The right cage. Vibration displacement. Limit cycle

Рис. 19. Левая клеть. Виброперемещение. Предельный цикл

Fig. 19. The left box. Vibration displacement. Limit cycle

Рис. 20. Правая клеть. Виброперемещение

Fig. 20. Right cage. Vibration. Displacement

Рис. 21. Правая клеть. Виброскорость. Предельный цикл

Fig. 21. The right box. Vibration velocity. Limit cycle

Рис. 22. Левая клеть. Виброперемещение

Fig. 22. The left cell. Vibration displacement

Рис. 23. Левая клеть. Виброскорость. Предельный цикл

Fig. 23. The Left Box. Vibration velocity. The limit cycle

Заключение

• 1.    Возникновение автоколебаний осцилляторов происходит под действием ненулевых начальных условий либо внешнего воздействия. В качестве внешнего воздействия могут выступать силы, генерируемые рабочими валками при прокате полосы металла. Независимо от частоты возмущения частота автоколебаний соответствует собственной частоте осциллятора.

• 2.    Влияние прокатываемой полосы на условия возникновения автоколебаний проведено в широком диапазоне изменения сил натяжения. При нулевых начальных условиях и отсутствии внешних гармонических сил автоколебательная система находится в покое. Задавая начальное отклонение, мы получаем классическую бифуркацию рождения предельного цикла. Амплитуда предельного цикла определяется не начальными условиями, а соотношением возбуждающих и демпфирующих сил.

• 3.    При увеличении натяжения от нуля до некоторой критической величины амплитуда плавно растет на разматывателе и снижается на клети стана. При дальнейшем увеличении натяжения осцилляторы, стан и разматыватель совершают колебания с одинаковой амплитудой. При внешнем воздействии гармонической силой, формируемой клетью стана, автоколебания происходят с установившимся предельным циклом.

• 4.    При достижении критического уровня натяжения система двух осцилляторов, соединенная упругой связью, превращается в апериодическую систему. При работе прокатного стана реальное натяжение может изменяться в пределах от 100 до 170 кН. Максимальный уровень натяжения не превышает 220 кН. Изменяя уровень натяжения, можно предположить возможность стабилизации вибрационного состояния прокатного стана.