В работах [1–3] были изучены однородные системы интегральных уравнений типа свертки со степенной нелинейностью в различных конусах пространства непрерывных функций C [0, то ). Такие уравнения возникают при описании процессов инфильтрации жидкости через стенки цилиндрического резервуара в изотропную однородную пористую среду [4, 5], распространения ударных волн в трубах, наполненных газом [6], остывания тел при лучеиспускании, следующем закону Стефана — Больцмана [7], возбуждения и торможения нейронов в нейронной сети [8] и др. (обзор полученных в этом направлении

• ^# Работа выполнена в рамках государственного задания в соответствии с соглашением № 075-032021-071.

( 2022 Асхабов, С. Н.

результатов приведен в [3]). В данной статье рассматриваются вопросы, касающиеся существования, единственности, поиска и свойств решений неоднородной системы нелинейных интегральных уравнений типа свертки вида nx ua(x) = ^2 / kij(x — t)uj(t) dt + fi(x), a > 1, x > 0, i = 1,..., n, j=1 0

где ядро k(x) = {k ij (x){ ^.=1 и неоднородность f (x) = {f i (x) ^=1 удовлетворяют на [0, to ) условиям:

k ij (x) не убывают и k ij (0) = p j > 0;

f i e C[0, to ), f i (x) не убывают и f i (0) = 0.

В связи с указанными выше приложениями, решения системы (1) будем разыскивать в конусе

Q o ,n = {u : u = { u i } n =₁ , u i e C[0, to ), u i (0) = 0 и u i (x) > 0 при x > 0}.

Исследование основано на методе весовых метрик, являющимся аналогом известного метода А. Белицкого (подробнее см., например, [3, 9, 10]). Получены точные априорные оценки для решений системы (1) в конусе Q 0 _,n , на основе которых доказана глобальная теорема о существовании и единственности решения и показано как его можно найти. При более общих, чем (2), предположениях относительно ядра доказано, что в случае 0 < a < 1 система (1) при f i (x) = 0 может иметь лишь тривиальное решение u = 0.

Следует отметить, что система интегральных уравнений вида (1) при f i (x) = 0 методом весовых метрик ранее исследовалась в работе [1], в которой априорная оценка снизу не отражает в явном виде зависимость решения от n, вопрос об априорной оценке сверху, необходимой для корректности введенной метрики, не рассматривается и фактически накладывается жесткое условие α > n (см. [2, замечания 4, 5 и 7]). Интегральное уравнение вида (1) впервые было изучено этим методом в [4] при a = 2. В отличие от данной работы, при построении метрики в [4] использовалась не нижняя априорная оценка, а разность между верхней и нижней априорными оценками решения, причем для корректности введенной метрики потребовалось вместо известной точной априорной оценки сверху использовать более грубую оценку (подробнее см. [3, 5]).

2.    Априорные оценки решения

В этом параграфе приводится существенная для получения основных результатов информация о свойствах решений системы (1) в классе Q 0 _,n .

Лемма 1. Пусть выполнены условия (2) и (3) . Если u ∈ Q 0 _,n является решением системы (1) , то u(x) не убывает на [0, то ) .

• <1 Нужно доказать, что u i (x i ) С u i (x 2 ) при x i < x 2 для любого i = 1,..., n. Используя тождество (1), условия (2) и (3), имеем

n ua(x2) — unxi) = ^

j =1

x 1

j(kjj (x 2 — t) — k ij (x i — t) ) u j (t) dt

+

x 2

j k ij (x 2 — t)u j (t)

x 1

dt

+ f i (x 2 ) — f i (x i ) >  0.

Следовательно, u i (x i ) С u i (x 2 ) и, значит, u i (x) не убывает на [0, то ). >

При доказательстве основных результатов важную роль будет играть следующая лемма.

Лемма 2. Пусть выполнены условия (2) и (3) . Если u G Q o ,n является решением системы (1) , то L n (x) С u i (x) С R n (x) для любых x G [0, то ) и i = 1,..., n , где

L n (x) —

R n (x) —

(а — 1) np

α

1 / ( a- 1)

x ^1/(a— 1) ,

p = min p ij , 1 C i,j C n

x n               / n \ (a-1)/a n J Ё kij (t) dt + (^Ё fi(x)j

1/(a-1)

< Обозначим Z n (x) = —"- i . U i (x), K n (x) = ^^=1 k ij (x), F n (x) = Zn -1 f i (x). Так как f i (x) ^ 0 и, в силу условия (2), p С k ij (x — t) при t < x, то из тождества (1) имеем

x

x

u ^a (x) » p Ё j (t)dt + f i (x) » p U U U j (t)dt j^-1 o                        o j - ¹

или

x p zn (t) dt

o

После суммирования из (5) получаем

1 /a

.

или

x           1/a p / zn(t) dt         (Vx > 0)

o

t p j Zn(s) ds

• — 1/a

• ^ np ( V t >  0).

o

Интегрируя последнее неравенство в пределах от 0 до x, имеем

' x          \ ^(a-1)/a

α

Z n (t) dt \         ^ —

o

-

α

np x.

Следовательно,

' x           \ 1/a p j Zn(f) dt I >

o

(а

-

- 1) np l ^1/(a-1)

α

— L n ^{( x )}-

Таким образом, доказываемая оценка снизу U i (x) ^ L n (x) вытекает из неравенства (5).

Докажем теперь оценку сверху. Так как для любого x > 0

nx ua(x) — ^2 / kij (x — t)uj (t) dt + fi(x), a> 1, i = 1,...,n, j-1 o то в силу леммы 1

x

x

u a (x) С £ U j (x) [ k ij (t) dt + f i (x) С I K n (t) dt £ u (x) + F n (x). j =1       _{0                      0}            j =1

Значит,

x                        1/a f                             1

Z n (x) / K n (t) dt + F n (x)

.

Из (6), суммируя по i, получаем x                        1/a f                             1

Z n (x) / K n (t) dt + F n (x)

или

x

x

Z n (x) j K n (t) dt + F n (x) С n j K n (t) dt I Z n

x                     \ ^1/a

(x) j K n (t) dt + F n (x) I     + F n (x),

или

_x                        ( a - 1) /a       _x

Zn(x) j Kn(t) dt + Fn(x) j С nj Kn(t) dt + (Fn(x))(a-1)/a , откуда x                      \ 1/a     / x                                  \ 1/(a-1)

Z n (x) j K n (t) dt + F n (x) j С | n j K n (t) dt + (F n (x)) ^(a-1)/a j = R n (x).

Используя это неравенство, из неравенства (6) сразу получаем оценку U i (x) С R n (x). >

Пример 1. Если k ij (x) = C >  0 (а тогда p = C ) и f i (x) = 0, то u(x) = { u i (x) } n =1 , где

α

U i (x) = L n (x) = C —

I !1 / ( a- 1)

α

x ^1/(a-1) ,

является решением системы (1), т. е. априорная оценка снизу из леммы 2 неулучшаема.

3.    Теорема существования и единственности решения

Запишем систему (1) в операторном виде: u = Tu, где T = { T i } n =1 ,

1 /a n ^x

Y 1 k ij (x ~ t)u j (t) dt + f i (x) I , j =1 0                           )

a >  1, x >  0, i = 1,... ,n.

Из леммы 2 следует, что решение системы (1), т. е. уравнения u = Tu, естественно разыскивать в конусном отрезке

P n = (u :

u = {u i } n =1 , u i (x) G C [0, то ) и L _n (x) С u i (x) С R _n (x), V i = 1,.

n.

Лемма 3. Пусть выполнены условия (2) и (3) . Тогда класс P _n инвариантен относительно оператора T .

• < Пусть u Е P n . Очевидно, что свертка (T i u)(x) есть функция непрерывная на [0, то ). Далее, поскольку u i (x) >  F n (x), f i (x) >  0 и k ij (x — t) >  p при t < x, имеем

  [( T i u ) (x) ] ^a >  p • —

  
  

  _-

  
  

  1) pn l ^1/(a-1)

  α

  
  

  it / 1 ¹/^ dt _s [l,,(<, j =^1J0

  
  

т. е. (T i u)(x) >  L n (x).

С другой стороны, так как u i (t) С R n (t) С R n (x) при t < x и n ^ 1, имеем

[(T i u(x)] ^a С

x

x

R n (x) t j k ij (t) dt + F n (x) = R n (x) j ^{j =1} 0                                L0

n

MD dt + Ftt

R _n (x)

x

С

R n (x) n j K n (t)dt + (F n (x)) ^(a-1)/a 0

= R n (x) R a^-1 (x) = R a (x),

• т. е. (T i u) (x) С R n (x). >

Далее к системе (1) мы будем применять принцип сжимающих отображений. Для этого нам понадобится, в частности, построить полное метрическое пространство. Введем в связи с этим следующий класс функций:

Pb,n = |u : U = {ui}n=1, Ui(x) € C[0, b] и Ln(x) С Ui(x) С Rn(x), Vi = 1,... ,n|, где b > 0 — произвольное число, а функции Ln(x) и Rn(x) определены в лемме 2.

Из леммы 3, как прямое следствие, получаем, что оператор T действует из P _b,n в P _b,n . Найдем условия, при которых он является сжимающим. Для этого предположим, что ядро системы (1) удовлетворяет дополнительному условию:

n

( 3 n ij € (0,b)) max 'V'kij(n ij )

1 < i < n ^z—'

j=1

Замечание 1. В случае k ij (x) = C >  0 условие (7) означает, что а > 1.

Следующая лемма доказывается аналогично [4, лемма 7].

Лемма 4. Пусть выполнены условия (2) и (7). Тогда для любого x Е [0, b] и любых i,j = 1,... ,n справедливо неравенство kij (x) e

j x С k ij (n ij ),    e ij    ¹ sup    k ij ^{( x )}

p n ij E x E b       ^x

- p

.

<1 1) Пусть 0 С x С n ij . Тогда, учитывая, что k ij (x) не убывает и e ij ^ 0, имеем k ij (x)e - ^{eij x} С k ij (x) С k ij (n ij )• Что и требовалось доказать.

• 2)    Пусть, наконец, n ij С x С b. В этом случае

k ij (x) = p + px- ^{ij ( x )} —p С p [1 + xe ij ] С pe ^{e iix} px

.

Следовательно, k ij (x) C pe ^e i ^j x C k ij (n ij )e ^e i ^j x , откуда k ij (x)e ^e i ^{j x} C k ij- (n ij ). ▻

Обозначим в = max eij •                                   (8)

1 < i,j < n

Тогда из леммы 4 вытекает

Следствие 1. Пусть выполнены условия (2) и (7) . Тогда для любого x Е [0, b] и любых i,j = 1, • • •, n справедливо неравенство

k ij ^{( x )} e       ^C k ij ^{( n} ij )•

Далее нам понадобится следующее дополнительное условие на неоднородность:

1  / n        \ (a-1)/a sup - I V fi (x) ) 0

< ∞.

Введем теперь в классе Pb_,n расстояние ̺b, положив

Qb(u, v) = max sup ¹<i<n Q^b

|ui(x) - Vi(x)| x^1/(a-1)e^ex

где u(x) = {u_i(x)}n=₁, v(x) = {vi(x)}n₌₁, а число в определено равенством (8). Так как

|ui (x) — Vi (x)|C x1/(a-1)eex

n            1 /n       \(a-1)/aГ/(а1)    ra —1 T1/(a-1) nZ: kij(x) + x      fi(x)J                   [ a np]

то, в силу условия (10), величина (11) конечна.

Выполнимость аксиом метpики для ̺_b очевидна. Докажем полноту пpостpанства P_b,n . Пусть {u^[n]} есть пpоизвольная фундаментальная последовательность из Pb,n. Тогда, (VЕ > 0) (3N = N(е) > 0) (Vm,n ^ N) выполняется неpавенство рь(и^[т], u^[n]) < е, т. е.

|^uim^](x)

-

[n] u_i

x^1/(a-1)e^ex

^(x)|

< е (V m,n > N, V x Е (0, b], V i = 1, • • •, n)

Так как x1/(a 1) eex C b1/(a 1) eeb = M, то из (12) имеем |uim](x) — uin](x)| < Me (V m,n ^ N, V x Е [0, b]) (здесь учли, что uim] (0) = uin] (0) = 0) и для любого i = 1, • • •, n, т. е. {u[n]} является фундаментальной последовательностью в C[0, b]. В силу полноты метрического пространства C[0, b] существует функция u = {ui}n=1, Ui Е C[0, b] такая, что lim u[n] (x) = u^x) n→∞ i

Покажем, что u Е Pb,n. Так как {uin^]} Е Pb,n, то для любого n и всех x Е [0, b], i = 1, • • •, n, имеем

Ln(x) ^ uin^](x) < Rn(x)•

Пеpеходя в последнем неpавенстве к пpеделу пpи n → ∞, с учетом pавенства (13), получаем L_n(x) < ui(x) C R_n(x), т. е. u Е Pb,_n.

Осталось доказать сходимость последовательности {u[n]} к u по метрике рь,п. Переходя в неравенстве (12) к пределу при m → ∞, с учетом равенства (13), имеем т. е.

|ui^(x)- ^uin^](x)|

x^1/(a-1)e^ex

< e (V n > N, V x E (0, b], i = 1,..., n),

Pb(u^[n],u) < E для любого n ^ N. Что и требовалось.

Приступим теперь к доказательству основной теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (2), (3), (7) и (10). Тогда система нелинейных интегральных уравнений типа свертки (1) имеет в конусе Qg,n (и в пространстве Pb,n при любом b > 0) единственное решение u*. Это решение может быть найдено в пространстве Pb_,nметодом последовательных приближений по итерационной формуле

un = Tun

1, n E N, которые сходятся к точному решению по метрике Qb при любом b > 0,

причем справедлива оценка скорости их сходимости

Pb(un,u*) < I

µⁿ

-

- Pb(Tug,Ug), ^µ

где

ц = (a pn)

¹max

1<i<n

n

У2 kij ⁽nij ) < 1, j=1

а ug E Pb,n есть произвольная функция (начальное приближение).

<1 Запишем систему (1) в операторном виде u = Tu.

• 1)    Покажем сначала, что система (1) имеет единственное решение в P_b,n при любом b > 0 и что это решение может быть найдено методом последовательных приближений. Для этого достаточно, в силу леммы 3, показать, что T — сжимающий оператор. Докажем это. По теореме Лагранжа, для любых z1, z2 > 0 имеем

  ~^1/а z₁

  
  

  _-

  
  

  z₂^1/a= ¹ 0^1/a-1(z1 2_a

  
  

  _-

  
  

  ^z2),

  
  
  
  

где 0 лежит между zi и Z2. Поэтому, если zi ^ zg и Z2 ^ zg, где zg > 0, то 0 ^ zg и

Iz^1/a -^|z1

1/a I z2 |

-

< 1   |z1 - z2| a {zg}(a-1)/a ‘

Пусть u, v ∈ P_b,n — произвольные функции. Применяя последнее неравенство, в котором роль zg играет L^(x), с учетом, что в силу леммы 3 (Tiu)(x) ^ L_n(x) и (Tiv)(x) ^

Ln (x), для любого i = 1,.

.

. , n имеем

|(Tiu)(x) - (Tiv)(x)|

/ n x

= 152 / kij(x - t)uj(t) dt + fi(x)

\ j⁼¹g

1/a

n^x

- 152 / kij (x - t)vj (t) dt + fi(x) \ j⁼¹g

1/a

< !(Ln(x))^(1-a)/a αⁿ

n Xn X

У^ / kij (x — t)uj (t) dt — УУ / kij (x — t)vj (t) dt j=1g

< (a — 1)Pnx 52 J kij(x - t) |uj(t) -vj(t)| dt- v             j=vg

Поскольку, в силу неравенства (9), nxn

^ / kij(x — t) |uj(t) — Vj(t) | dt < pb(u, v) ^ / kij(x - t) eet t1/(a-1)dt j=10

n x                                                  1

= Pb(u,v)eex ^   kij(x - t)e-e(x-t)t1/(a-1)dt ^ pb(u,v)-----eexxa/(a-1) ^ kij(nij), j=10                                       a то из (17) вытекает, что

|(Tiu)(x) — (Tiv)(x) ^-----eex x1/(a-1) ^ kij(nij) Pb(u,v), apn~ откуда

8b(Tu,Tv) ^ Д 8b(u, v), (18)

где число ^pопределено равенством (15) и ^р Е (0,1), в силу условия (7), т. е. оператор T является сжимающим. Следовательно, в силу принципа сжимающих отображений, система (1) имеет единственное решение u^∗∈P_b,n и это решение можно найти методом последовательных приближений пикаровского типа (по формуле u_n= Tu_n-1, n Е N), для которых справедлива оценка скорости сходимости (16).

• 2)    Осталось показать, что система (1) имеет единственное решение во всем классе Qo,n. Положим P^,_n = Ub>a Pb,n, т ^e- P^,n есть множество функций, определенных на полуоси [0, то), сужения которых на отрезок [0, b] принадлежат Pb,_n. Так как система (1) имеет единственное решение в Pb,_n при любом b > 0 и коэффициент сжатия в (18) не зависит от b, то система (1) имеет единственное решение u*(x) в P^n- Поскольку всякое решение системы (1) из Qo,_nудовлетворяет априорным оценкам, полученным в лемме 2, то решение u*(x) будет единственным решением уравнения системы (1) и в Qo,_n. >

Замечание 2. Пример 1 показывает, что при а > 1 однородная система (1) может иметь нетривиальное решение. Если же 0 < а < 1 и ядра kij (x) (i, j = 1,..., n) непрерывны и неотрицательны на [0, то), то согласно [3, лемма 24.6] система (1) при fij(x) = 0 имеет лишь тривиальное решение и = 0 в классе всех неотрицательных непрерывных на [0, то) функций.

В заключение отметим, что следуя работам [9, 10], аналогично можно исследовать системы соответствующих интегро-дифференциальных уравнений и системы интегральных уравнений с переменными коэффициентами.