Система задач по математической логике : формирование интеллектуальной компетентности студентов

Задачный подход в настоящее время является одним из ведущих направлений в методике обучения математике и предполагает организацию образовательного процесса посредством включения в него сконструированных в зависимости от дидактических целей систем задач. На важность решения задач в системе, выработку принципов составления систем задач указывали психологи А.Ф. Эсаулов, Н.А. Менчинская, Л.М. Фридман, В.И. Зыкова, педагоги Д. Пойа, М.И. Зарецкий, методисты Ю.М. Колягин, П.М. Эрдниев, Г.В. Дорофеев, И.Г. Шарыгин, Г.И. Саранцев и др. Они отмечали, что правильно сконструированная система задач дает обучающимся полноту представлений, облегчает математическое обобщение, способствует гибкости, глубине и осознанности знаний. Организация обучения посредством решения систем задач позволяет повторить, обобщить и систематизировать ранее изученный материал, увидеть взаимосвязи отдельных тем курса математики, вооружить обучающихся различными методами решения задач.

Систему задач можно использовать для подготовки понимания нового материала, «открытия» определения или факта теоремы, для совершенствования навыков решения задач, при организации контроля и коррекции знаний студентов, для обобщения и систематизации изученного материала, для формирования у студентов как ключевых, так и профессиональных компетентностей. В конкретном случае необходима соответствующая система задач. В связи с этим остро встает вопрос о конструировании систем задач в зависимости от поставленных целей.

Не рассматривая в данной статье дефиниций термина «задача», приведем следующие основные типы общего определения данного понятия, выделенные Г.И. Саранцевым [4], рассматривавшим задачу как:

• – объект, относящийся к категории цели действий субъекта, требование, поставленное перед субъектом;

  – ситуацию, включающую цель и условия ее достижения;

  – словесную формулировку такой ситуации.

Первые два типа характеризуются также подходом к задаче как к системе.

Задачи в обучении студентов выполняют различные функции, которые выделены в педагогической литературе. Однако на первом месте должен быть следующий вопрос: как нужно организовать решение задач, чтобы эти функции на самом деле находили отражение в обучении, позволяя студентам овладевать полноценными знаниями и формировать необходимые компетентности? Ведь цель не в том, чтобы студент решил задачу (т.е. получил ответ), а в том, чтобы он получил от этой задачи

пользу, т.е. продвинулся на ступеньку в своем профессиональном развитии.

Исследования психологов (А.Ф. Эсаулов, Н.А. Менчинская, Л.М. Фридман, В.И. Зыкова и др.) показали, что для достижения какой-либо цели учения требуется определенный набор задач. В этом наборе каждая задача характеризуется не только сама по себе, но и с учетом ее вклада в достижение заданной цели. Педагоги, психологи и методисты сходятся во мнении, что ни одна задача, решаемая изолированно, не даст желаемого результата, не позволит добиться общей цели. Так, Г.И. Саранцев указывает на то, что решение задач вызывает определенную умственную деятельность, которая не только обусловлена их содержанием, но и зависит от последовательности их решения, количества однотипных задач, комбинаций их с другими задачами.

Исследования многих ученых (Ю.М. Ко-лягин, П.М. Эрдниев, Г.В. Дорофеев, А.Ф. Эса-улов, И.Я. Машбиц, Г.И. Саранцев и др.) показали, что необходимо учитывать не только особенности каждой задачи, но и ее место среди других задач, выявлять вклад данной задачи в достижение поставленной цели, иными словами, необходимо организовывать задачи в систему.

Так, И.Я. Машбиц отмечает, что в учебной деятельности одна и та же задача вносит вклад в достижение различных целей, а одна и та же цель требует решения ряда задач [3]. Следовательно, соотношение между задачей и целью учебной деятельности более точно можно представить в виде формулы «система задач – система целей».

Ю.М. Колягин указывает на то, что задачи имеют большие возможности, которые могут быть в большей мере использованы в учебной практике, если задачи представлены в педагогически и методически обоснованной системе [2].

В данной работе под системой задач мы будем понимать совокупность упорядоченных и подобранных в соответствии с поставленной целью, действующих как одно целое задач, взаимосвязь и взаимодействие которых приводит к заранее намеченному результату. В соответствии с этим определением выделим характерные черты, являющиеся существенными для системы задач: 1) перед системой задач стоит вполне определенная цель; 2) система задач должна обеспечивать получение ожидаемого результата; 3) избирательность элементов (т.е. задачи включаются в систему с учетом их взаимодействия, а вне этой системы конкретная задача может не отвечать поставленным целям); 4) упорядоченность элементов (переставление каких-либо задач системы приводит к ее разрушению).

Рассмотрим вопрос о предъявлении требований к системе задач. По нашему мнению, целесообразно рассматривать две группы требований: 1) к содержанию, 2) к структуре системы задач. Такой подход обеспечивает доступность и успешность практики конструирования систем задач, поскольку появляется возможность ответить на два главных вопроса: какие задачи необходимо включить в систему и как их расположить.

При рассмотрении первой группы выделим следующие требования: 1) адекватность содержанию образования, 2) полнота.

К структуре системы задач предъявляются пять требований: 1) целевая достаточность; 2) нарастание сложности; 3) рациональность объема; 4) возможность осуществления индивидуального подхода; 5) иерархичность. Поясним, какой смысл мы вкладываем в каждое из этих требований.

Под требованием адекватности содержанию образования понимается типичность задач системы для изучаемой темы, отражение в них теоретических вопросов, направленность на осуществление обучающих функций и функций по формированию интеллектуальной компетентности обучаемых. Полнота системы предполагает наличие в ней задач на все изучаемые понятия и факты. Система является полной, если она обеспечивает реализацию как общих, так и конкретных целей обучения. Понятие полноты системы слишком сложное и относительное, и требуются специальные теоретические исследования для уточнения его сущности. Необходимы также поиски критериев измерения полноты, удобные для практики составления систем задач.

Под целевой достаточностью системы мы понимаем наличие в ней задач и для тренажа, и для самостоятельного решения, иногда и индивидуальных задач. В системе также должны сочетаться задачи на формирование компетентностей с задачами на понимание и повторение. Требование нарастания сложности задач согласуется с одним из главных принципов обучения – от простого к сложному – и выделяется почти всеми исследователями. Рациональность объема задач предполагает, что их должно быть достаточно для усвоения материала всеми обучающимися, и в то же время недопустимо, чтобы из-за избыточного числа задач студенты потеряли интерес к изучаемо- му материалу. О возможности осуществления индивидуального подхода с помощью системы задач говорилось выше. Нужно лишь отметить, что при конструировании системы учитель должен представлять, каким способом он будет осуществлять индивидуализацию.

Система задач должна быть иерархична, т.е. должна состоять из нескольких подсистем, которые в свою очередь обладают всеми признаками системы. Перечисленные требования являются необходимыми условиями функционирования системы задач, их следует учитывать при ее конструировании.

Рассмотрим пример системы задач по теме «Операции над высказываниями. Формулы алгебры логики» на предметном содержании дисциплины «Математическая логика», разработанной для формирования интеллектуальной компетентности будущего учителя. Данная система построена в соответствии с пониманием структуры интеллектуальной компетентности (языковая, алгоритмическая, дедуктивная и индуктивная компетентности).

Языковая компетентность

• 1.    Даны высказывания: A ≡ «Я сдам этот экзамен», B ≡ «Я буду регулярно посещать занятия», C ≡ «Я буду регулярно выполнять задания». Запишите в символьной форме следующие предложения:

  • 1.1.    Я сдам этот экзамен в том и только том сучае, если я буду регулярно выполнять задания.

  • 1.2.    Я буду регулярно посещать занятия, и я сдам этот экзамен.

  • 1.3.    Я буду регулярно посещать занятия, или я буду регулярно выполнять задания, и я сдам этот экзамен.

  • 1.4.    Если я буду регулярно выполнять задания, то я сдам этот экзамен.

  • 1.5.    Я не сдам этот экзамен, если я не буду регулярно выполнять задания, или я не буду регулярно посещать занятия.

  • 1.6.    Из того, что я не буду регулярно выполнять задания и я буду регулярно посещать занятия, то я не сдам этот экзамен.

  • 1.7.    Если я буду регулярно выполнять задания, и я не буду регулярно выполнять задания, или я буду регулярно посещать занятия, и я не буду регулярно посещать занятия , то я не сдам этот экзамен.

• 2.    Даны высказывания A ≡ «Я студент», B ≡ «Я отлично сдал сессию», C ≡ «Я получаю степендию». Запишите в виде предложений сложные высказывания:

  • 2.1.    A л B ; 2.2. ( A v B ) ^ C ;

  • 2.3.    B л A ^ C ;  2.4. A v A л B v B ^ C ;

  • 2.5.    B v A о C ; 2.6. C ^ ( A v B ) л ( B v A ) ) ;

  • 2.7.    ^АииААиЫ'^ОАП

• 3.    Пусть A: « x есть простое число», B: « x есть действительное число», C: « x меньше y ». Запишите следующие утверждения, используя кванторы:

  • 3.1.    Каждое рациональное число есть действительное число.

  • 3.2.    Существует число, которое является простым.

  • 3.3.    Для каждого числа x существует такое число y , что x.

• 4.    Докажите тождественную истинность (ложность) следующих формул, используя необходимые и достаточные условия истинности (ложности) логическ и х операций:

  • 4.1.    A о A ; 4.2. A о A ;

  • 4.3.    A л ( A ^ B ) ^ B ;

  • 4.4.    ( A ⇔ B ) ⇔ ( B ⇔ A ) .

Определите, какие из данных предложений будут высказываниями.

Установите, ложным либо истинным будет определенное вами высказывание.

Установите, какие из даных высказываний ложны, а какие истинны.

Алгоритмическая компетентность Составьте таблицы истинности для следующих формул:

• 1.1.    A ^ ( B л C ); 1.2. ( C о A л D ) v ( B л C );

• 1.3.    (( D ⇒ ( A ∧ B )) ⇒ ( C ∨ A ) ⇔ D .

• 2.    Докажите, что высказывание ( A ⇔ B ) ⇒ ( A ⇒ B ) тождественно истинно, а ( A ⇔ B ) ⇒ ( A ∨ B ) – нет.

• 3.    Постройте таблицы истинности следующих составных высказываний и расположите их в таком порядке, чтобы из каждого высказывания следовали все стоящие после него:

  • 3.1.    A о B ; 3.2. A ^ B ;

• 3.3.    A ⇒ ( B ⇒ A ) ; 3.4. A ∨ B , A ∧ B .

• 4.    Установите, какие из высказываний A , B , C должны б ыть ис тинны, а какие ложны, что

• бы формула (A v A л B) ^ C была истинна.

Дедуктивная компетентность

• 1.    В каких случаях приведенные ниже данные противоречивы?

  • 1.1.                              ;    1.2.

• 2.    Известно, что A ⇒ B имеет значение И. Что можно сказать о значениях следующих выражений?

  • 2.1.    C ^ (A ^ B);

  • 2.2.    ( A ⇒ B ) ⇒ B ; 2.3. ( A ⇒ B ) ⇒ C .

• 3.    Проверьте, не составляя таблицы истинности, являются ли следующие формулы тождествен но исти нными:

  • 3.1.    A ^ A ;        3.2. ( A v A ) ^ A ;

  • 3.3.    A ⇒ A ∧ ( A ⇒ A ∧ A ) .

• 4.    Докажите, что

  • 4.1.    Если формулы A ∨ B и A ∨ C тождественно истинны, то формула B ∨ C тождественно истинна.

  • 4.2.    Если формулы A ∨ B и C ∨ B тождественно истинны, то формула A ⇒ C тождественно истинна.

  • 4.3.    Если формулы A ∨ B , A ⇒ C , B ⇒ D тождественно истинны, то формула C ∨ D тождественно истинна.

; 1.3.                                .

Индуктивная компетентность

• 1.    Предположив, что высказываниям A, B, C, D приписаны соответствующие значения И, Л, Л и И, найдите значение для каждого из следующих высказываний:

  • 1.1.    ( A v B ) л C ; 1.2. ( A v B ) л ( C v D );

• 1.3.    ( B ⇒ D ) ⇒ ( A ⇔ C ) ∧ D .

• 2.    Постройте формулу от трех переменных, которая

  • 2.1.    Истинна в том и только том случае, когда две переменные ложны;

  • 2.2.    Принимает такое значение, как и большинство (меньшинство) переменных.

• 3.    Сколько имеется различных (т.е. отличающихся истинными таблицами) двуместных логических операций?

• 4.    По данному набору значений постройте конъюнкцию, истинную для данного набора значений.

В настоящей статье интеллектуальная компетентность рассматривалась как «особый тип организации знаний, обеспечивающий возможность принятия эффективных решений в определенной предметной области» [1, с. 112]. В заключение хочется отметить, что любая система задач, построенная каким-либо автором, не всегда может быть успешно использована преподавателем на занятиях. Необходимо учитывать специфику и уровень подготовки студентов, их индивидуальные особенности, трудности изучения предыдущих тем. Готовые системы задач могут служить лишь каркасом для их дальнейшего преобразования в соответствии с поставленны- ми целями. В большинстве же случаев педагогу необходимо учиться самостоятельно конструировать системы задач.