Системы управления с тиристорными преобразователями

CC BY 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите

В работе рассмотрена задача стабилизации программных движений систем, в контур управления которых включены тиристорные преобразователи. Класс систем, названных системами переменной структуры (СПС), включается в класс вызывающих в настоящее время все возрастающий интерес так называемых трансформирующихся систем, которые можно трактовать как системы переменной структуры.

Толчком к появлению теории систем с переменной структурой послужило предложение использовать нелинейную коррекцию, в соответствии с которой в зависимости от состояния системы управления параметры обратной связи скачкообразно менялись [1–3]. Идея оказалась крайне плодотворной и стала систематически применяться для улучшения качества регулирования при решении самых разнообразных задач управления [4–9]. Для систем второго порядка С.В. Емельяновым вводятся основные режимы работы СПС: движение по вырожденным траекториям, режим переключений и режим скольжения по прямой переключения структур. Были предложены критерии орбитальной устойчивости и метод синтеза стабилизирующих управлений. Рассматривалась задача построения режима автоколебаний. Для структурнолинейных систем были приведены примеры построения автоколебаний [10]

В работах [9–16] для структурнолинейной системы, описывающей с достаточной степенью точности поведение системы, в контуре управления которых содержатся транзисторные ключи (своего рода системы прямого регулирования), рассматривалась задача построения режима автоколебания.

Подобные системы можно рассматривать как примеры использования общей теории, они представлены в [17–28]. В настоящей статье рассмотрен еще один пример использования теории для построения автоколебаний в системе, описывающей поведение электротехнических устройств, содержащих в контуре управления особые тиристорные преобразователи.

Будут выписаны условия существования орбитальной асимптотической устойчивости и устойчивости по Ляпунову для периодических решений с заданным периодом и осуществлен синтез контура управления, обеспечивающего наличие таких решений. Обращение к этой задаче объясняется тем, что в качестве элементной базы для устройств частотного управления электродвигателями используются силовые тиристоры и транзисторы.

Сферой применения преобразователей на тиристорах являются мощные электроприводы с высокими требованиями к перегрузочной способности. Благодаря способности выдерживать ток на порядок выше номинального значения, устройства широко используются в приводах механизмов при высоких напряжениях, например, в грузоподъемных машинах, высокоинерционном промышленном оборудовании. Элементная база тиристорных преобразователей стоит значительно дешевле силовых быстродействующих транзисторов. Мощность преобразователей с непосредственной связью практически не ограничена. Такие электроприводы можно легко модернизировать путем подключения дополнительных тиристорных модулей.

Исследование управляемых систем переменной структуры

Рассмотрим электротехническое устройство, в контуре управления которого имеются два тиристорных преобразователя, а именно: проанализируем систему, поведение которой с достаточной степенью точности описывается соотношениями

^= Лу + b (11 - / 2 ),     (1)

^ = С ^-1 (1 1 - / 2 ), ‘^ = Mi , (2)

Ui e {0,1} ,i = 1,2;

Ф 1 = L -1 (E - U - d * у),

Ф 2 = L -1 ( U+ d * у).

Здесь y – n -вектор фазовых переменных объектов управления; U, I 1 , I₂ (напряжение, токи) – переменные, описывающие поведение двух тиристоров; А (А Е Z - ), b,d - постоянные матрица и векторы размерностью соответственно пхп и п; L 1 ,L 2 ,C,E (индуктивности, емкость, ЭДС источника питания) – связанные с тиристорами положительные константы; U i - управления, которые зависят как от управляющих сигналов V i = V i (y, U,I 1 ,I₂), так и от особенностей тиристоров, именно: если и i — 0, то I i — 0. Переход со значения и i — 0 на значение и i — 1 осуществляется в момент, когда впервые одновременно выполняются два условия:

v i > 0, Ф i > 0.

Переход со значения и i — 1 на значение и i — 0 осуществляется в момент, когда наступает равенство:

I_i = 0.

Задача построения автоколебания в системе (1)–(4): необходимо выбрать параметры L1,L2,C,E и управляющие сигналы Vi в виде линейных функций переменных y,U,I1,I2 таким образом, чтобы у системы (1)–(4) существовало орбитально асимптотически устойчивое и устойчивое по Ляпунову периодическое решение с заданными периодом и амплитудой. При решении задачи построения автоколебаний в системе мы ограничим себя классом Т —периодических программных решений, для которых на периоде Т каждый тиристор включается и выключается только один раз. При этом мы рассмотрим два типа этих решений, отличающихся друг от друга структурой программного управления wp(t), имеющего соответственно один из видов wp(t) — w1(t), w1(t) =

w ² (t) =

М^Е^^Х 1J 2J/

^W3,^tE[t2j,^t3j⁾, w^lt^jy, w ^p (t) — w ² (t), ^[[t?^ ^W 4 '^tE[^t l/2j ^{y w}2,^tE^[t2’j,^t3’j⁾, w^tltl^

t^ — t i +jT,

t4 — t0 + Т,

i = 0,1.....4, J = 0,1,2,...

Общим для этих управлений является то, что в начальный момент t₀ включается первый тиристор. Кроме того, для простоты будем строить периодические решения, обладающие свойством центральной симметрии, правда, для смещенного центра не для всех фазовых переменных. Для этого будем считать, что L 1 — L 2 — L, т. е. тиристоры одинаковы.

Управляемую трансформирующуюся систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением, можно записывать в общем случае так:

^ — 9 (t,y,^w),

где w - принимающее m разных значений Wi кусочно-постоянное управление верхнего уровня, которое определяет изменение струк- туры трансформирующейся системы: и

–

управление нижнего уровня, которое является истинным управлением и выбирается с учетом дополнительных условий или определенных соображений. При таком описании трансформирующихся систем здесь рассматриваются подобные системы с уже выбранным управлением и .

Решать задачу построения автоколебания в системе (1)–(4) будем по той же схеме, а именно сформулируем аналоги утверждений для управления в системе тиристорными преобразователями. Выпишем системы соответствующего вида и условия перехода от одного значения управления w ^p (t) к другому применительно к управлениям (5)–(7), причем в принятой ранее форме, а затем докажем аналоги теорем работы [10].

Для решения задачи построения автоколебания в системе (1)–(4) положим

-1        -1

^l1* — ^L 1 , ^l 2* — ^l2 , 1 3* — 1 1* + 1 2* , l₄ * — 0, I * — L ^-1 ,     c * — C ^-1 ,

E * — l 1* l 2* l -*1 E,

^y n+1 — и

-1

2*   * ,

^y n+2 ^{— I} 1

—

^I 2 ,

У п + 3 ^— 2^ 3* ^{( l} 2* ^I 1 + ^ 1* ^I 2 ⁾.

Тогда систему (1)–(2) можно переписать так:

dy       .      .   .

— — АУ + ьУп+2, dyi+1 -       _ dt — c*yn+2>

dy_n+ 2 dt

!

■ E* -l i* (d * У+У п+1 ), W=W 1 , E * -l 2* (d * У+У п+1 ⁾, W=W 2 ,

-1

-

■ l3*(d *y+yn+i),   w=W3, l4Ad *У+Уп+1),  W=W3;

dy n+3 dt

■{

2l 2* l 3 ^-1 [E , -l i,, (d * У+У п+1 )1, W=W 1 , 2l 2* l - ¹ [E * -l 2* ⁽d * y+y n+1 ⁾], W=W 2 , (13)

2E„            W=W 3 ,

-EAd * У+У п+1 ),  W=W 3 ;

Чтобы записать систему (10) в векторной форме, введем обозначения, полагая

A~(w) ■ К UWJ,

a ;

-L

A 0 17 ■ li* d *

0n1

/.

^ I*

b

C *

)■

i ■ 1,2,3,4,

A ^- w) ■ {A -

^{J   1 1} W=W [

A -

A -

■{

A - 2l 2* l -*1 (A - ) n+2 A . 2l 1* l -1¹ (A ~ )_n +2

}, 0 n+2,1 0

^b 1 ■

гЦ гЦ

A - 0 1,71+2 A ~ 0 1,n+2

0 n+2,1 0 0 n+2,1 0

' n+2,1

}

},

}, }

b(w)■{bilw=wi}, b2 ■ VE+T+2, bз■b4■ on+2,1, b~(w) ■ {b^w,},

b 1~* ■ {b -* ,2l 2* l -*¹

}, b 2~*

■ {b -* ,2l 1* l -1] ,

bГ * ■{b -* ,2 },

У * ■ {у ,У п+1 ,У п+2} ,

^* ■{^ * ,0},

У ~* ■{У ~* ,У п+з },

г ■ E-'y - ,

г ■ E^y ^- ,

Тогда данную систему можно переписать так:

dy"

—— ■ A ~ (w)y ~ + E * b ~ (w) at

а вектор-функция % ~ будет удовлетворять уравнению

dr ■ f i (^.

Таким образом, в нашем случае система примет вид

г d^■f(Г~)■A"i r + b"i, ,   (14)

i ■ 1,2,3,4.

Учтем теперь условие (8), в силу которого выполняется 1 1* ■ l₂ * ■ l * .

Тогда параметр E * , последний элемент вектор-функции b ~ (w) и последние строки матриц A ~ (w), A ~ w) запишутся так:

1 E * ^~l * E,

Г 1 ) п+3 ■ Г) п+з ■ 1, ^■2, (b₄) n+3 ■ 0,

(A - ) [п+2 _]■(A - ) [п+2 _]■ | (A - ) [п+2 _]■ {-l * d * ,-l * ,0}, (A ~ ) [n+2] ■ 0 1,п+2 ,

(A ~ ) [n+3] ■ (A ~ ) [n+3] ■ {(A ~ ) [n+2] , 0}, ~Y        -Л-Л.

^(A 3 ) [n+3] ■ ^(A 4 ) [n+3] ■ ⁰ 1,n+3 .

Прежде чем обратиться к соотношениям (2)–(4) учтем также то обстоятельство, что мы будем искать T -периодические решения систем (12)–(13), обладающие центральной симметрией      для      вектор-функций

У ^p (t), ^ ^V (t), т.е. удовлетворяющие условиям

^(t±^)■ E*-1yp(t±|)= ?P(t)

■ E -¹ y P (f).

Как можно заметить, для таких периодических решений соотношение (7) примет вид t l ■t_l+ jT, i ■ 04, j ■ 0,1,2,

^■to+ti, Яе^,1^, t2 ■ t0 + —, t3 ■ 11+—, t;4 ■ t;0 + T.

Итак, преобразуем соотношения (2)–(4), для чего величины V i ,V i , I i запишем в следующей форме:

V i ■ E * V i* , V i* ■^^г₁- V i

V i ■ E * ^ i* ,    ^ i* ^1 + &Ь₂,

I i ■ -E * I i* ,    I i* ■ % Г

После подробного изложения процесса формирования соответствующих условий для построения программных решений и при использовании необходимых удобных обозначений можно доказать следующие утверждения.

Теорема 1 . Пусть величины w ^p (t) удовлетворяют условиям (5)–(6) и соотношениям (7), тогда вектор-функции x(t) ■ Ey(t) удовлетворяют системе (3) с условиями переключения тиристоров на плоскостях переключения управлений, а вектор-функция будет T -периодическим решением системы с амплитудой, пропорциональной параметру E .

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и соотношения (3) определяются по формулам (3)–(4), тогда вектор-функции х (t*) будет орбитально асимптотически устойчивым и устойчивым по Ляпунову T -периодическим решением системы.

Теорема 3. Пусть существуют константы A i , удовлетворяющие условиям

IA_l | < 1 ( l = 1, 2, . . . , n + 2)

и m- периодическая ( m = 2) вектор-функция v(a) размерностью ( n + 3), такие, что при х (t*) выполнены все условия теоремы. Тогда задача построения автоколебания в системе разрешима.

Дополнительные ограничения были наложены на параметры системы (1) и ограничения (5), (6) на моменты переключения управления w ^p (t). В результате искомое периодическое решение определяется однозначно в отношении его орбиты. Если ограничения снять, сохранив лишь условие (7), связанное с периодичностью искомых программных решений, то окажется, что такие периодические решения будут определяться по тем же формулам, в которых вектор % ₀ следует заменить вектором х (t₀) = х(Т + t₀), который находится из соотношения (4).

Заключение

Толчком к проведению изложенных здесь исследований явилась потребность в разработке методов построения автоколебаний для системы с тиристорными преобразователями, описывающей процессы излучения мощного радиопередатчика.

Здесь рассмотрены лишь такие движения, для которых программное управление меняет свое значение бесконечное число раз.

Вызвано это тем обстоятельством, что в противном случае по истечении некоторого конечного времени все решения системы (1) становились бы решениями системы при некотором фиксированном значении параметра i.

Следовательно, рассмотренные здесь задачи сводились бы к констатации факта, что орбитально асимптотически устойчиво или нет программное движение данной фиксированной системы.