Скорость убывания массы решения задачи Коши дважды нелинейного параболического уравнения с абсорбцией

В данной работе рассматривается задачи Коши для решения квазилинейных вырождающихся параболических уравнений вида

p( | x | )u t — div A(x, t, u, V u) + g(x, t, u) = 0,                       (1-1)

(x, t) E s : R N x (0, то ), удовлетворяющих начальному условию

u(x, 0) = u o (x), x E R N , p(s) > 0, 0 < s <  то , u o (x) >  0, pu o (x) E L 1 ( R N ) -   (1-2)

На протяжении всей работы предполагается выполнение следующих условий. Вектор-функция A (x, t, u, £) = (A i (x, t, u, ^), - - -, An (x, t, u, ^)): R N x R + x R x R N ^ R N и g(x, t, u):

(c) 2020 Бесаева З. В., Тедеев А. Ф.

RN x R+ x R ^ R удовлетворяют условию Каратеодори, т. е. измеримы по переменным (x, t) Е RN +1 и непрерывны соответственно по переменным u Е R, £ G RN. Функция p(s): R+ ^ R+ непрерывна монотонно убывающая функция по s Е [0, то]. Кроме того, предполагается выполнение следующих структурных условий: существуют положительные постоянные ^i и р2 такие, что

A(x,t,u,O^ > N£\p |u|m-1,

IA (x,t,u,O\^ №\£\p-i |u|m-1,

^2\u\4 ^ signu, g(x,t,U ^ №\u\q.

Кроме того, выполнено условия монотонности: для любых двух векторов £ = (^ 1 ,... ,^n ) и П = (n i ,..., n N ), для любого и Е R , т. е. для (x, t) Е R N x R ₊ выполнены неравенства

(A(x, t, u, £) - A(x, t, u, n)) (£ — n) > 0,

[g(x, t, ui) - g(x, t, U2)] [ui - U2] > 0(1

для всех £ i и П 2 из R N . Постоянные p, m, q удовлетворяют следующим условиям:

1

1, p > 1.

Предположим также, что функция p(s) для всех s >  0 удовлетворяет условию H : Существуют такие положительные постоянные l i и l ^ , причем l i <  p, что функция p(s)s l 1 монотонно убывает, а функция p^s^{1- 2} монотонно растет.

Примером уравнения (1.1) является

p( \ x \ )u t = A m,p u — \ u \ ^{q - i} u,                                  (1.9)

где

A _m,_p u := div ( \ u \ ^{m - i} \V u \ ^{p - 2} V u )

и p(s) ~ s—l, s ^ 1, 0 < l < p. Здесь символ ~ — наличие двусторонней оценки cis-l < p(s) < c2s-l (Vs ^ 1, ci,c2 > 0).                       (1.10)

Для уравнения

p( \ x \ )u t = A m,p u                                     (1.11)

с конечным интегралом H pu g ^ i : = Jr_N pu g dx, который принято называть тотальной массой или просто массой начальной функции , при выполнении, например, условия (1.10), справедлив закон сохранения «массы» (см. [1]):

llpuo h i = ||pu^(t) h i ^(Vt>⁰⁾.

В работе [1] для задачи (1.1), (1.2) с p(x) = (1 + \x\)-l, l < p, g(x,t, u) = 0 установлена равномерная оценка решения p-l - N-l

^|u(t)| ^ ^:= ^|u(x,t)| L ^ ( R N ) <  C || Pu o H i l t hl                       ⁽¹.1²⁾

для любых t > 0. Кроме того, из [1] следует, что если suppu0(x) C Br0(0) := {x Е RN/\x\ < R0}, R0 < то, то supp u(x,t) принадлежит шару BR(t) (0), где p+m-3  1

R(t)=4R + Y ^ u o P ^ i hl t .                          (1.13)

Однако наличие абсорбирующего слагаемого в уравнении (1.1) может существенно изменить качественные свойства решений. В частности, тотальная масса ||up | i решения может стремиться к нулю при t ^ то . Указанный феномен имеет место при p(s) = 1. В этом случае (1.9) допускает «плоское» решение вида

U (t) = C (p)(t + T ) - q ^{- 1} .

Кроме того, для (1.9) справедлива также оценка (1.12) с l = 0. Таким образом, по теореме сравнения для решения задачи Коши (1.9), (1.2) имеет место оценка p -N - 1

| u(t) | ^ <  C min ||u o | ^e t ^в , t ^{q - 1}|                          (1.14)

при t >  1. Здесь в = N (p + m — 3) + p.

Очевидно, что в (1.14) при достаточно больших t

||u(t )|k <  Ct — q ^{- 1}                                     (1.15)

и условии, что NN <  q-— i , т. е.

^p q < q = p + m — 2 + N.

Оказывается, что в этом случае | u(t) | i ^ 0 при t ^ то и можно указать точную оценку массы решения. Подойдем теперь к этой же проблеме шире. Из оценки L i — L ^ типа Нэша — Мозера (см., например, [2]), имеем

p

| u(t) l - <  C | | u(^ t - ^в .                          (1.16)

Теперь, если иметь точную по порядку оценку массы при достаточно больших t , то можно снова прийти к тому же результату (1.14). Однако такой подход может быть применен к более широкому классу уравнений, а оценка массы решения, как это будет видно ниже, сводится к локальным энергетическим оценкам, имеющим в определенном смысле универсальный характер. В данной работе используются подходы работ [2–5] при изучении точного поведения тотальной массы решения задачи (1.1), (1.2) при t ^ то .

Отметим, что исследование уравнения (1.11), представляет независимый интерес. Известно, что [6-8] в зависимости от скорости стремления к нулю на бесконечности р(х) решение задачи (1.1), (1.2) обладает рядом нестандартных свойств. Укажем здесь на работы [9–17]. Оценкам массы решения для различных классов вырождающихся параболических уравнений были посвящены также работы [9, 10] (см. также имеющуюся там литературу). Прежде чем перейти к формулировкам основных результатов работы введем понятие решения (обобщенного) задачи (1.1), (1.2).

Решением задачи (1.1), (1.2) в S = R N х (0, то ) будем называть функцию u(x,t), которая для любых t >  0, T > t, о = p + pm— 2 удовлетворяет условиям и " (x, t), принадлежит классу

L p (t,T) х W p 1 ( R N ) П C ( [t,T ] : L i_{+ CT},p_(N ) ( R ^N )) П L q ₊ "  ( (t,T),L q ₊ "  )

и удовлетворяет интегральному тождеству

TN

/ / (( - u(x,T)п т (x, т)p( | x | ) ) + ^ A i (x,t,u, V u)n x i + g(x, t, u)n(x, т)} dxdT    (1.17)

t R N                                    i =¹

1       1

для любой п(х,т ) = 0 при т = t и т = T , п ^ст (x,t),n T € L ₁+ a (p( | x | )(t,T) : L 1+ 1 ,p( | x | )),

σ

П ^ (x,t) € L p ((t,T) x W p 1 ( R N )) П L q + 1 ((t,T),L q ₊ 1 ).

σσ

Кроме того, u(x, t) удовлетворяет начальному условию

R ^N

R ^N

Существование решения (1.1), (1.2) доказывается точно также, как в работе [1]. Единственность энергетического решения в случае p(s) = const и начально-краевой задачи Коши — Дирихле хорошо известно. Таким образом, если supp u g С B r ₀ , т. е. для начальной функции с компактным носителем единственность решения (1.1), (1,2) гарантирована.

Основные результаты работы содержаться в теоремах 1.1–1.5.

Обозначим Ф(R) := R N- ^{q - ( p + m - 2)} p(R).

Теорема 1.1. Пусть u(x,t ) — решение задачи (1.1) , (1.2) в R N x (0, то ) и выполнены условия (1.3) - (1.7) и условие H . Предположим, что Ф(R) для всех R > 0 строго монотонно убывает и

Ф(R) ^ 0, R ^то .

(1.18)

Тогда

E(t) := /

R ^N

p( | x | )u(x, t) dx ^ y

/

p( | x | )u o (x) dx + YФ(R(t)),

(1.19)

R N W,R(t)

___                                                                                                p(q-i)

где R(t) — функция, определяемая из соотношения p(R)R ^{q - ( p} +m ^{- 2)} для любого t > 0 .

Теорема 1.2. Пусть u(x,t ) — решение задачи (1.1), (1.2) в R N x (0, то ) и выполнены условия (1.3) - (1.7) и условие H . Предположим, что существуют положительные постоянные C, C 2 такие, что для всех R > 0

C i ^ Ф(R) ^ C 2 .

(1.20)

Тогда при достаточно больших значениях t выполняется оценка

1_

E(t) <  Y[ln t] ^{q - 1} .

(1.21)

Теорема 1.3. Пусть u(x,t) —решение задачи (1.1) , (1.2) в R N x (0, то ) и выполнены условия (1.3) - (1.8), q >  q ^ , suppu g С B r ₀ , p( | x | ) = const(1 + | x | ) ^— l , 0 < l < p. Тогда для достаточно больших значениий времени t существует Y = y (||uop||i, №, №) такое, что

E(t) >  yE(0).

(1.22)

Теорема 1.4. Пусть u(x, t) —решение задачи (1.1), (1.2) в RN х (0, то), suppug С Br0 и выполнены условия (1.3)-(1.7), условие H, q = p + m — 2. Тогда для достаточно больших t имеет место оценка p+m-2         - 1

^{E(t) C} Y[p^(ln t)] p+m-3 (ln t) ^N t^- p+m-3                          (1.23)

Теорема 1.5. Пусть u(x, t) — решение задачи (1.1), (1.2) в R N х (0, то ) , suppu g С Br₀ , ||u g p | i+ 9 <  то для некоторого 6 > 0 , 1 < q < p + m — 2 . Пусть еще выполнены условия (1.3) - (1.7) и условие H . Тогда существует постоянная C , не зависящая от t, такая, что

E(t) C Ct ^- P+m-3 .                                  (1.24)

Рассмотрим частные случаи результатов теорем 1.1-1.3. Если p(s) = (1 + s) l , s ^ 0, 0 C l < p, то согласно результатам теорем 1.1-1.3

q

+ m + 2 + —— := q*.                   (1.25)

N l

(q^-qXN-l)              __ (q*^-q)(N^-l)       __ q^-(p+m^-2)

Тогда Ф(R) ~ R q-(p+m-2) , E(t) C YR(t) q^-(p⁺m^-2) , где R(t) ~ t ⁽p^-l)(q^-(p^+m-2))+p⁺m^-3, при q = q* : E(t) C Y(lnt)^-q,t > 1. Если же q> q* то E(t) > y, t> 1.

Таким образом, q_l^∗в (1.25) играет роль критического показателя для задачи (1.1), (1.2). Всюду в дальнейшем параметрами γ, C , c, будем обозначать различные постоянные, которые зависят лишь от параметров задачи ^1, ^2, N, Р, m, q и не зависят от размеров области решения задачи.

Работа организована следующим образом: в § 2 даются вспомогательные утверждения, §§ 3–7 посвящены доказательствам теорем 1.1–1.5 соответственно.

2.    Вспомогательные утверждения

В дальнейшем нам потребуются следующие леммы (см. [17]).

Лемма 2.1. Пусть последовательность yh, h = 0,1, 2,..., неотрицательных чисел удовлетворяет рекуррентному соотношению yh+1 C Cbhy1+e, h = 0,1,..., с какими-либо положительными постоянными C, е и b ^ 1. Тогда yh ^ 0, h ^ то при 1    1

условии, что у о C C ^Еb ^2.

Лемма 2.2. Пусть yn, n = 0,1, 2,... , — последовательность равномерно ограниченных положительных чисел, удовлетворяющих рекуррентным неравенствам yn < сьпуП+а,

/ 2C\ “

\ ь^1-а / .

где C, b > 1 и а € (0,1) — заданные постоянные. Тогда yg C

Пусть ^(R) := RN^(p+m-3)+pp(R)^p+m-2.

Лемма 2.3. Пусть suppug С Br₀и выполнены условия теоремы 1.1. Тогда для любого t > 0 имеет место оценка

z(t):=inf {r : u(-,t)=0, |x| > r} C 4Rg + y^⁽ 1) (t|ugp|^p+m ³).

<1 Обозначим ri = RR - ^2R + R (a2 - ^1), ri’ = R + a J! - R (a2 - ax), где i = 0,1,..., R > 4R0, 4 > a2 > ax > 0. Пусть Ai = ri < |x| < ri’ C Ai+1. Рассмотрим срезающую функцию ni такую, что ni = 1, x € Ai, ni = 0 вне Ai+1, |Vni| С Y(2—iR(^2 - ap)-1. Возьмем в интегральном тождестве в роли тестирующей функции nip-iU8, где 9 > 0. Тогда, рассуждая также как в [18], получим неравенство sup 0

t j ,,u+n dx +H

R^N

0 RN

t u^m^^6-‘²lVu\^Pn^P_idxdT + j J u^q+8np dxdt 0 R^N

t

С Y(2^-iR(a2 - a1))^-pj    j   u^p+m+8-2dxdT.

(2.1)

⁰RN A supp ni

p+m+6 — 2

Обозначим u ^p

p(1+6)

sp

p

sp(1+6)

ns = Vi, s > 0, т. е. uni^p+m+O—2= vi^p+m+O—2. Значит, u¹⁺⁸n"^6-

vp+m+9-того,

-

при условии, что s выбрано удовлетворяющим неравенству

s(1+e)   > p+m+8-2 >

1. Кроме

С 2^P-1^

p + m + 9

p

I / p+m+6 — 2      \ ip

|V(unS-1) I = |VVi|^p

-^)p_n^m+8-2|Vu|^pns^p+ u^p+m+8-2s^p|Vni|^pns^-p]

С Yu^m+8-2ИЧ + Y [2-iR(a2 -

^-p p+m+8-2 sp u η.

Таким образом, из неравенства (2.1) получаем, что t

t

Ji := sup

0

I pvia dx + j j |Vvi|^pdxdT + j j npu^p+edxdT

R^N

0 R^N

0 R^N

2^ip

С Y------;——

(a2 - ai)^pR^p

t j j vp+1 dxdT,

0 R^N

(2.2)

где a = _p+(m+^,8—2 • Применяя неравенство Ниренберга — Гальярдо, получаем

1 ^p

α ^p

^vi^p+1 ^dx

R^N

< Y

|Vvi+1|^p dx

R^N

j v+ dx

R^N

1 —a ^µ

,

(2.3)

N    (N-p)a . N(1-a)           p где а определяется из условия -N = v p' + v ^ 7 ,ц = p+m+8-2, т. е. a =

Возводя (2.3) в степень p и применяя неравенство Юнга, получаем

N (p+m+9-3)

N(p+m+8-3)+p"

-Rp j v^p+1 dx

R^N

С £ j |Vvi+₁|^pdx + yR

R^N

P 1

1-a 1+6 £  1

α

-α

j vi+₁^dx

R^N

p µ

.

Интегрируя по времени обе части этого неравенства и замечая, что в силу условия H j v+ dx = j P(|x|)P(|x|)

Ai+1

Ai+1

¹v+ dx ^ YP(R) 1 j PVi₊₁dx, Ai+1

приходим к неравенству tt

Rp j j Vi₊₁dxdT ^ e j j |Vvi+i|^pdxdT

0 R^N              0 R^N

α

p

+ye^1-aR ^1-at

[p(R)] ^—p(

sup

0<τ

µ^p ρv_i^µ₊₁dx   .

R^N

(2.4)

Следовательно, объединяя (2.2) и (2.4), имеем

α

α

Ji ^ EJi+1 + -•~R ~tp(R)

p µ

p

(sup / pv^ dx   .

0<τ

R^N

Итерируя это неравенство, получим

p

Jo ^ yR^- 1-a tp(R)

p µ

sup

0<τ

j ⁽pv^ dx) p .

(2.5)

R^N

Далее, применяя неравенство Г¨ельдера, с учетом H получаем

θ

Г                      1 1+6 i \ 1+6        1 /\ sup pudx\ ^ sup   pu1+ dx       / p dx     < J0+6

0<τ

Ao       J L      Ao           J      \Ao     /               \Ao/

θ

1+e

p p 1        — p 1 । 6 N6 Г          f I m(1+6)

< yR (¹⁺⁶)(^1-a) t¹⁺⁶p(R) + ^{1+6 1+6}R¹⁺⁶   sup pudx\

0<τ

A_∞

(2.6)

.

Заметим, что

Ao — R^2^ — ^1 < |x| < R(1 + ai), A^ — R^2¹ — ^2) < |x| < R(1 + ^2).

Выберем: a2 = 52 n, a = 52 n¹, n = 0,1,..., 0 < 5 < 4. Тогда после элементарных упрощений и подсчета постоянных находим из (2.6), что

Mn := sup

0<τ <1

pudx ^ Ybnt¹⁺⁶R

Bn

N(p+m-3)+p       p+m-2   1+ p+m^-3

¹⁺⁶    p(R)   ¹⁺⁶M_n-1¹⁺⁶,

где Bn = R(2) — 52 ^{n 1}< |x| < R(1 + 52 n¹). В силу итератированой леммы 2.1 выводим, что Mn ^ 0, n ^ то, если

1     N(p+m-3)+p       p+m-2   ^p+m-³

Yt 1+6 R     1+   p(R)       M0 1 + 6

можно

^(R) = 2Y1+e tMp+m-3E1 (1+e), или отсюда

R = R(t) = ^(-1) (rtMp+m-3), где Mo = JRN puodx. ▻

Обозначим

t

Yn+1 := sup У pvn+1 dx + У У |Vvn+1|^pdxdT

An+1

0 An+i

tt

⁺ / 1 Ппuq^{+e dx}d^T ^ Y-pR^ j j < ^dxdT, 0 An+1                        0 R^N

(2.7)

An = R_n< |x| < R",  R_n=

R

У

-

CTR, R’ = R + _а2 ₂n    ⁿ

ⁿR, V ст : 0 <

а< 4,

p+m+9-2

где 9 > 0, b1 > 2, vn = u^p   пП и

η_n— срезающая функция A_n. Справедлива

Лемма 2.4. В условиях предыдущей леммы имеет место неравенство

(i+»)p

2np     t ”+Ee?       1+

^{Yn + 1}< ^Y —p(p+m+9-2)^Yn

^CTRp(R)   в+9р

p(p+m-

в+9р

, где в = N (p + m

- 3) + p.

(2.8)

<1 В силу неравенства Соболева — Ниренберга — Гальярдо vnp dx

R^N

p

< Y I / |Vvn|^Pdx

R^N

b ^p

v_n^adx

R^N

1-b a

.

Здесь 0 < b

(1+e)P   b_ a = p+m+e-2, b =

< 1 определяется из соотношения N

(N-p)b^p

N(_P+m^P+3)+(1⁾_+e)_P. Далее, рассуждая как в лемме 2.3,

+ ^{(1 b)N}. Значит, a^, получим

t j j vn dxdT < y

0 R^N

t

bt

^p a

1-b

j j |Vvn|^pdxdT I I У I У va dx I dT

0 RN

0 R^N

tb

Р (1-b)

p(r)^-a^(1-b)

/ / |Vv_n|^pdxdT I t^1-bsup / pvn dx

J J              /       0J

⁰R^N                             R^N

< Yt^1-bp(R)^-p(1-b)Ynb⁺a^(1-b).

Теперь, если воспользоваться аналогичным (2.1) неравенством, придем к требуемому утверждению. >

3.    Доказательство теоремы 1.1 Имеем E(t) : =j p(|x|)u(x,t) dx = j p(|x|)u(x,t) dx + j p(|x|)u(x,t) dx := I1(R) + I2(R). (3.1) RN BR |x|>R Применяя неравенство Г¨ельдера, получим q-1 Ii(R) ^ (3.2) BR В силу леммы 2.4 и неравенства (1.6) имеем / q dx < ^-1 у ■ t dx BR BR BR ^ ^11 У g(x, t, u) dx = —^11 RN dE dt . (3.3)

Следовательно, из (3.1)–(3.3) выводим

^E(t)< Д1

1                 q           q-1

q (- _) ,₁^(R)T_h№

(3.4)

где ^1(R) := Jb_r p(|x|) q-¹dx. В силу условия H ^1(R) ~ RNp(R) q-¹. Для оценки I2(R) поступим следующим образом. Пусть Ri = R(1+2^-i), i = 0,1, 2,... Пусть Z(x) — гладкая функция на (0, то) и такая, что Z(x) = 1 для |x| ^ Ri, Z(x) = 0 для |x| < Ri+1, 0 < Z(x) ^ 1 для Ri+i < |x| < Ri. Обозначим Ui = |x| > Ri. Умножим теперь обе части (1.1) на Zs(x) и результат проинтегрируем по RN х [0,t). Это даст

t

/^z waxing) dx + / /g(x,_i,^u)z-(x) ^-х^-т

R^N

— t / «^s^-1]T a.(x

_{0 RN}       i=1

0 R^N

,t,u, Vu)Z_Xi dx-т + У Zs(x)p(|x|)uo(x) dx.

R^N

В силу (1.4), (1.5) отсюда получаем, что t j Zspudx + Ц1 j j uq Zs dxdT

R^N             0 R^N

t

^ «ц₂ J J u^m-1|Vu|^p-1|VZ|Zs^-1dx-т + jz^spu₀dx. (3.5)

0 RN

R^N

Обозначив первый интеграл справа через e(R,t), оценим его по неравенству Гельдера

_E(R,t) < I I

0 R^N ∩ supp ∇ζ

т^eum-^1-) | Vu|^pzs dxdT

х

-1 ^p

t

J J^{т-e(p-1)zs-p|Vz|pu}₍x,_t⁾dx*

0 R^N

^p p-1  1

= I3 p 14,     (3.6)

где 0 < в < p--i, 9 = 2p—m. Заметим, что в силу условия H имеет место неравенство

t

I4 ^ ^suP ТТйй

XEB2R\Br^p(|x|)

у у т^-e(p-1\^s-pivzippu

0 R^N

< ct¹      1) (R¹ PP^sup[ Pu^(x,T) dx-     ⁽3.⁷⁾

^p(R)Rp0J

Ui+1

Далее, для оценки I3 умножим обе части (1.1) на τ^βu^1-θζ^sи результат проинтегрируем по частям по RN x (0,t). С учетом (1.3)-(1.5) и неравенства Юнга, это даст

t

^m

0 R^N

<

t

9//

0 R^N

t тeum-1-Zsdxdт + ^1 У У тeuq+1^e|Vu|PZsdxdт

0 R^N

t

(3.8)

т^e-1pu^2-6ZsdxdT + R 2^ipУ У т^eum ■ ^p-'Z^s-pdxdт =: I5 + I₆.

0 R^N

В силу неравенства Юнга имеем

tt

I5< E1 j У т^eu^q+1-^eZ^sdxdт + C(E1) У У т^d

q-θ q-θ q-1 pq-1 (|x|)uZs dxdт-

Заметим, что второй интеграл в правой части (п. ч.) этого неравенства оценится ющим образом:

следу-

п. ч. ^ Ct^1+e

q—e       1—9

q^-1p(R) q^-1sup

0<τ

uρζ^sdx.

(3-9)

R^N

Далее имеем по неравенству Юнга

t

'б < Ei ft

0 RN

т^eu^q+1-6ZsdxdT + C(e₁)2 q-p+m-²) t^1+eRN

_—p(q+1-9)

R q-(p+m-2)

.

(3.10)

Таким образом, из (3.8)-(3.10) выводим при достаточно малом E1 > 0

tt j j тeum-1-e|Vu|PZsdxdт + У j тeuq+1-Zsdxdт

< Ct^1+e-?^-1p(R) q^-1sup [ Zsupdx + cb'iRN

0<τ R^N

p(q+1-e)   1 д q- (p+m-2) t1+e

где b > 1. Обозначив

sup

0<τ

/

pu dx = Ii+₁,

Ui+1

(3.11)

1 _—e(p-1)     ,       _—1

t^{1 p}R p(R) ^p = B₁(R, t),

(-i । _q — 6 A (p— 1A 1 — 0 p— 1

tl¹ " q^-1) I p P pR)) q-¹P = B₂(R, t), (p—I)(q+1—6) 1+e N(p—1)

R q—(p+m —2) t — R -^T- = B3(R,t)

и объеденив (3.6)–(3.11), получим

.—1

p                 )  1

+ biB3(R,t)

(3.12)

E(R,t) С 7Bi(R,t)< B2(R,t) sup У Zsupdx 0<τ R_N

Оценим (3.12) по неравенству Юнга следующим образом:

e(R, t) С e₂ sup

0<τ

-p pudx + yR p—1P

; J

Ui+1

q—(p+m —2)

^(p—1)(q—1) sup

0<τ

ζ^sρudx

R^N

p

+ bit p—¹R

N-

q—(p+m —2)

p qp—1               L_                        Г          t          1 ^(p—1)(q—1)

^{p—1 q—(p+m —2)}p^{(R) p—1}= £2pi ₊ i^{(t) +} Y -------- p(q— 1)

Lp(K)R^{q—(p+m—2)} J

(3.13)

x sup

0<τ

/ Zsup dx + Ybi

; J

R^N

t

p(q—1) p(R)R^q—(p+m^—2)

p(R)RN

p^.

R q—(p+m —2)

Имеем

E(R,t) С YBi(R,t)B_:

p^—1                   r

2^p(R,t) sup / Zsupdx

0<τ

0<τ

R^N

-1 p—1 ^p

1 ^{p I}i+1

+ YbiBi(R,t)B3(R,t)Ii+i

p

С Ep—^{1 P}

p

[sup [ Z supdx \ + E^_P 0<τ

R^N

p

-

1 г                 p

P [Bi(R,t)B2^p(R,t

p

Ii+1

+ 2

¹ T F P — Ii+i⁺^2 p²

~ Ii+i⁺^2 p²

p—T P - 1

p

pp bip—1 [Bi(R,t)B2(R,t)J p—1.

p—1

Вычисляя [Bi(R,t)B₂^p (R, t)]^PE_i^Pp = 6,

p п.ч. < 6Ii+i + E2(6) —

p

pp bip—¹ [Bi(R,t)B2(R,t)J p^—1,

p

Ii С 5Ii+i + bii [Bi(R, t)B2(R, t)] p—1, выбирая 6 настолько малым, что 6bi < 1. Здесь pi := supo

для сколь угодно малого 6(Г) выполняется y6 (p—1)(q—1) < 4. Наконец, из (3.4) и (3.13) выводим f            r            j   p(R)RN

.

pi(t) dx С y       uopdx + dpi₊i(t) + Yb2 ₌—   p

R(t) q^—(p^+m—2)

|x|>R(t)

Итерируя это неравенство при достаточно малом E2 > 0, получим оценку

P0^(t)< Yi

u0ρ dx

|x|>R(t)

,      p(R)RN

^{+ Y}2 =-- p

R(t) q^—(p^+m—2)

:= E2(t).

Таким образом, I2(R) С E2(t). Значит, из (3.4) имеем для 0 < т < t

F(т) = Е(т) - E2(t) С дГ¹^ — dF^) ⁴ RN(t)p(R(t) q-1¹ -

Интегрируя это неравенство от 0 до t, приходим к требуемому утверждению. Теорема 1.1 доказана.

4.    Доказательство теоремы 1.2 Из (1.1) имеем d —   pu(x, t) dx = RN - j g(x, t, u) dx. RN (4.1)

Применяя неравенство Г¨ельдера и (4.1), получаем

i

q

-

i

i

q

-

i

J Hx-t)dx

g(x, t, u) dx

BR

BR

BR

BR

BR

С

I — ^i¹dt у pu^(x,t) dxj (у BR              BR

q-1

(4.2)

Так как носитель начальной функции содержится в шаре Br₀, то согласно лемме 2.3 носитель u(x,t) также содержится в шаре радиуса R(t) = 4Ro + Y^(t). Следовательно,

R

q-1

С CnR(t)N^(q-1)p(R(t))q.

(4-3)

N-^q

Поскольку по условию теоремы Ci С p(R)R q (p- m 2) С C2 для всех достаточно больших R > Ri, то по определению R(t) получим, что при достаточно больших t > ti(Ro, ||uop|i)

R^N(q-i)p(R)^q~ t.                                   (4.4)

Таким образом, из (4.2), (4.3), (4.4) находим

d

dt J pu^x.t)

dx ^ Ytⁱ

У pu(x, t) dx^ .

Интегрируя это неравенство в промежутке [ti,t], приходим к требуемому утверждению.

Теорема 1.2 доказана.

5.    Доказательство теоремы 1.3

Прежде всего отметим, что если p(|x|) ~ |x| l, 0 С l < p, и suppuo C Br₀(0), Ro < то, то для всех t > 0 имеют место оценки [1]

^p_-N-l

(5.1)

u(t) х С Chpuohilt hl , suPP u(x,t) G BR(t)(0),

(5.2)

p+m-3  1

где Z(t) = 4Ro + Yllpuo II h th , h = (N — l)(p + m — 3) + P — l > 0. Следовательно, интегрируя (1.1) по Q(ti, t2) = RN x (ti, t2), ti < t2, получаем

E(ti) := /

R^N

pu(x, t1) dx

t2

= p™

R^N

t1 RN

g(x, t, u) dxdT

<

t2

E(t2) + ^2jj t1 RN

uq(x, т) dxdT.

(5.3)

Учитывая оценки (5.1), (5.2), отсюда имеем t2

jf u (x,T)

^t1 R^N

t2

dxdT ^ y J" ||^u(TW^-RC^7)l t1

dT x E(t ) dT

t2

/p(q^-1) /               p+m-3 ^\

E(0) hi MRo + yE(0) hi т hi }E(t) dT t1

< YE(ti)E(0)

p⁽q^-1) । ⁽p^+m-3)l h_l            h_l

t2 / t1

τ

(N-l)(q-1)    l hl     τ hl dτ

(5.4)

(p+m-3)l -L.

при условии, что ti выбрано настолько большим, что 2Ro ^ yE(0) hi   ti1. Тогда в силу того, что q > ql∗

∞

Г _ (N-i)(q-1)-i t hi dT < то.

t1

Следовательно, из (5.4) получаем, что

(■ Г                               _ (N i)(q q*)        p(q-1) + (p+m-3)i uq(x,T) dxdT < Yt1      i E(0) hi       E(t1).

^t1 R^N

Окончательно из (5.3) и (5.5) находим

_ (N-Kq^-T)      p(q-1) + (p+m-3)i

E(ti) < E(t2) + Yt1 hi     E(0)       hi       E(ti).

Теперь, выбирая t1 достаточно большим, имеем

_ (N i)(q q*)        p(q-1) + (p+m-3)i

Yti -i    E(0)      hi = - а из (5.6) поучаем, что

E(t2) > YE(t*).

(5.7)

Осталось показать, что E(t*) > 0.

Лемма 5.1. Решение (1.1) не может удовлетворять условию u(x,to) = 0, Vx € RN и V to > 0.

<1 Доказывается точно также как в работах [2, 4]. >

Теорема 1.3 доказана.

6.    Доказательство теоремы 1.4

Итак, пусть q = p + m — 2. Нам потребуется следующая лемма Стампаккия.

Лемма 6.1. Пусть ^(s) — неубывающая неотрицательная функция, определяемая на [ko, то], и такая, что для всех l > k ^ ko выполняется

^(l)< (rCy *W'                         (6-1)

где C и т — положительные постоянные. Тогда для любого k > ko имеет место оценка ^(k) С v(ko) exp [1 — (Ce)^-T(k - ko)] -                         (6-2)

В силу леммы 2.4

t

Yn+1 : =

sup o

1^+dx+/ /

uQ+m-2 |_Vu|p ДхДт

An+1

o An+i

t

+и o An+1

u^{6+m 2}dxdT С y

(i+»)p    i+ m1 p bn t      Yn   e+p6

p(p+m+9-2)

RPp(R)^-в+9р

(6.3)

и, следовательно, Yn ^ 0 при условии, что

^(p+m-3)p_ (1₊g)p               p(p+m+6-2)

Y1 e+p6  t"Fw R-Pp(R)    e+p   c e, где ε — достаточно малое положительное число, зависящее лишь от параметров задачи. Предыдущее неравенство эквивалентно неравенству

Y^p+m 3 t¹⁺6R-(^e+p9)p(R)^-(^p+m+9-2) ^ _£в+pP .

(6-4)

Пусть

t

_V(R) := j j uP^+m-<2+dxdT. ^o|x|>^R

Тогда легко получаем неравенство ^(R) С yR^p^(RR)■ Взяв теперь в лемме l = R, k = RR, т = p, C = y, получаем, что

ϕ

t

(3R) - I I

Lo RN

u^p+m+S-2dxdT

exp(—yR)-

Далее заметив, что pug G Li+e, имеем

1 1+0

t f pu^+dx + +1//

R^N

0 RN

t

Um^+e-2 |Vu|pdXdT + +1 У У Up⁺m^+e-2dXdT 5

0 R^N

1 1+0

; jPu0^+edx.

R^N

Следовательно,

ϕ

exp(-yR).

R^N

Таким образом, (6.4) удовлетворится, если p+m-3

t^1+e

exp ( - Y(p + m - 3)R)R^-(e+p^e)p(R)^-(p+m+e-2)5 Ei,   (6.5)

RN где Ei достаточно мало. Очевидно, что (6.5) будет выполнено, если для достаточно больших t > 0 выбрать R следующим образом: R ^ R(t) : = Гlogt, где Г = Г(||идp^i+e, Ei) — достаточно большая константа. Тогда мы приходим к замечанию, что и = 0 вне шара Briog t. Для доказательства теоремы осталось оценить массу решения для достаточно больших t. В силу неравенства Г¨ельдера

/ '■⁵ (-dx

R^N

R^N

1 1+θ

ρ dx

θ 1+θ

.

(6.6)

Следовательно, оценка массы сводится к оценке интеграла

E_1+e(t) := У pu^1+edx.

R^N

Интегрируя (1.1) по RN легко получить неравенство d1 pu1+edx 5

R^N

-Y У u^p+m+e-2dx.

R^N

(6.7)

Применяя неравенство Г¨ельдера, получаем j pu1+edx 5

R^N

1+θ p+m+θ-2

j u^p+m+)-2dx\

R^N

p+m-3 p+m+θ-2

,

(6.8)

где ^D(T) =     T

dd-tEi+e(t) 5 -yD(T)

p+m+θ-2

_D+m-3p+m+θ-2

¹⁺Ei+e⁺ (t), 0

(6.9)

p p+m—3 (x)dx. Интегрируя (6.9) в пределах от 0 до T, получаем, что

1+θ

Ei+e (T) 5 YT p+m-3 D(T).

Наконец, объединяя это неравенство с (6.6), получаем j pu(x, T) dx ^ y

R^N

θ

( / Pdx) ¹⁺’

Br log T

T p+m — 3

(/

Br log T

p+m+6 — 2

P p+m — 3

1 )i+e

p+m —2                _M1

= ypp^+m—3(log T)(logT)NT p^+m—з.

Теорема 1.4 доказана.

7.    Доказательство теоремы 1.5

Из неравенства (2.7) следует, что t

t

где a =

Yp+1 := sup

0

j Pvp+idx + j j \^v_n+1\pdxdT + j j vV₊₁dxdT

An+i

0 An+i

0 An+i

(1+S)p p+m+в-2 ^,

(q+9)p p+m+8-2.

t

< Y ^P-   [ vP dxdT,

σp_Rp       n ^,

0 RN

(7.1)

Далее, условие q < p + m — 2 позволяет применить тройное мультипликативное неравенство типа Соболева — Ниренберга — Гальярдо. Для получения этого неравенства поступим следующим образом:

j vP dx< Y

R^N

(1 —B)p b

(7.2)

где B определяется из соображения размерности

N JN—PB + N^{(1 —} B)_ia = ^{(1 +} .)p ,v = P⁽q + «) . p p         b                  p + m + 6 — 2 p + m + 6 — 2

Применяя неравенство Г¨ельдера, имеем j vn dx <

R^N

ν-a

ν-a

b-a

(7.3)

Соединяя неравенства (7.2) и (7.3), получаем

B

ν

-

b

j vPdx< Y

R^N

|∇vn|^pdx

v_n^νdx

R^N

R^N

ν

a

-

ν-a

ν-b

(1—B)p b

(7.4)

Теперь подберем параметр b так, что

B+

(1 — B)p (v — b) b

= 1.

ν-a

(7.5)

Вычисления дают N (p - b)            Pv B = —7----\----, b = -------- N (p — b) + bp      P — a + v Замечая, что У vndx < yp(R)-1 У pvndx RN              RN и интегрируя по времени (7.4) с учетом (7.5), получаем

t

t

t j j vndxdT ^ y

0 RN

j j \^v_n\^PdxdTt j j vndxdT

0 RN

0 RN

v-b (1-B)p

x sup / pvndx \ 0

R^N

ν-a b

p(R)

v-b (1-B)p

ν-a b

.

(7.6)

Следовательно, из (7.1) и (7.6) вытекает

Y2np , - b—a (1 — B)P1+ —

Yn+1 < /     p(R)^{v-a b}Yn ^va , Yn ^ 0 при n ^ to.

(^R )^p

Вычисления дают

t Y1 = sup / pu1+6 dx + 0 dxdT < Y / puir* dx, 0 A1               RN b-

ν-b ν-a

< E1-

R^pρ

ν-a

(7.7)

Пользуясь условиями H, легко проверить, что

R^-pp^-ba4B^p(r) ^ yR^-pp(R)< yR^-^^p-ct), ^

Следовательно, (7.7) выполнено, если т. е.

R-.^P-^

ν-b ν-a

£1

2 ,

2y* £1

ν-b

p-σ

u(x, t) = 0 вне шара радиуса R = 4Ro + R j pudx <

R^N

u^qdx

q

ρ

q-

q-1 ^q

q

j uqdx ^ y

R^N

R^N

Интегрируя уравнение (1.1) по R^Nи учитывая (1.5), получаем

ddt ^udx ^

—^1 1 uqdx<

^—№Y I

q

ρu dx

R^N           R^N

R^N

Интегрируя это неравенство, имеем dE

-µ1γ dt,

^

Eq ^

E^1-q(0)) ^ —^iYt.

q <^E1^{-q(t) -}

Отсюда следует, что при t > 0

E(t) < Yt-q-1, что и требовалось доказать. Теорема 1.5 доказана.