Собственное время в пространстве с дипольной анизотропией

Одним из направлений технического прогресса в обозримой перспективе являются пилотируемые межпланетные перелеты [1]. В этой области в настоящее время наибольшее внимание уделяется разработке проектов пилотируемых перелетов на Марс, среди которых можно выделить частный проект на базе многоразовой системы SpaceX Starship [2] и американский проект NASA – программа «Артемида» как путь к Марсу [3, 4]. Для межпланетного перелета космического корабля (КК) в направлении Марса чаще всего выбирают гомановские траектории – эллиптические орбиты, используемые для перехода между двумя другими орбитами, обычно находящимися в одной плоскости. Выбор данного типа траекторий связан с их топливной экономичностью, что является критическим фактором для космических кораблей. Перемещение по гомановской траектории требует минимум два импульсных включения двигателей. При этом время работы двигателей должен быть минимальным, а момент времени их включения должен быть точно рассчитан. Даже небольшие релятивистские отклонения в показаниях часов и в определении пространственных координат между управляющим наблюдателем и космическим кораблем может привести к невыводу КК на требуемую орбиту.

В работе [5] рассматривается релятивистское явление ускоренного хода физических процессов в пространстве с дипольной анизотропией и продемонстрированы численные оценки данного явления. Изотропное физическое пространство (ФП), в котором наблюдатель движется с постоянной скоростью, эквивалентно пространству с дипольной анизотропией. Современные представления о расширяющейся Вселенной позволяют ввести связанную с ФП сопутствующую инерциальную систему отсчета (ИСО) [6], которая также является сопутствующей и относительно реликтового излучения. Наблюдаемое свойство дипольной анизотропии реликтового излучения [7] определяет ненулевую пекулярную скорость любого наблюдателя во Вселенной. Вследствие релятивистских эффектов часы, движущиеся в пространстве с подобной дипольной анизотропией, могут осуществлять ускоренный ход в сравнении с аналогичными часами, движущимися в обычном ФП. Данный релятивистский эффект был рассмотрен на примере естественных и искусственных объектов, движущихся по различным гелиоцентрическим орбитам, с учетом ненулевой пекулярной скорости Солнечной системы. Для объектов Солнечной системы накапливающееся отклонение показаний часов определяется периодом вращения вокруг Солнца, эллиптичностью орбиты и орбитальной скоростью. С релятивистским отклонением показаний часов связана дополнительная ошибка определения координат космических объектов (КО), зависящая также от их орбитальной скорости. Для наиболее скоростных КО ошибка определения координат может достигать десятков километров. Данные эффекты требуют учета при контроле траектории и управлении движением пилотируемых КК, особенно при длительных межпланетных перелетах.

• 1.    Релятивистское соотношение временных интервалов у наблюдателя на Земле и КК, движущегося по гомановской траектории между Землей и Марсом

Рассмотрим движение КК по гомановской траектории между Землей и Марсом. На рис. 1 представлено изображение данной траектории. Гомановская траектория представляет собой гелиоцентрическую эллиптическую орбиту, пересекающую в перицентре орбиту Земли, а в апоцентре орбиту Марса.

Солнечная система, как часть Галактики Млечный Путь, обладает пекулярной скоростью около v _s = 370 км/с с направлением вектора в сторону созвездия Льва с галактическими координатами l s = 264 ° и b s = 48 ° [7]. Вектор пекулярной скорости Солнца направлен под углом ф =11 ° относительно плоскости эклиптики.

Рис. 1. Гомановская траектория движения КК между Землей и Марсом. С – Солнце, З – Земля, М – Марс, v s – проекция вектора пекулярной скорости Солнца на плоскость эклиптики, θ – угловая координата точки старта КК на орбите Земли вокруг Солнца, ∆v – импульсы приращения скорости для перехода на гомановскую траекторию и схода с нее.

Положение Земли на ее орбите в момент перехода КК на гомановскую траекторию задается угловой координатой θ относительно направления проекции вектора пекулярной скорости Солнца на плоскость эклиптики.

В дальнейшем анализе базовую ИСО 0 , в которой будем рассматривать движение наблюдателя на Земле и КК, свяжем с Солнечной системой, ИСО 1 с наблюдателем на Земле, а ИСО 2 с КК, перемещающимся по гомановской траектории. Тогда скорость v 0 = v _s будет соответствовать пекулярной скорости движения Солнечной системы относительно ФП или реликтового излучения, а скорости v ₁ и v ₂ будут соответствовать скоростям движения Земли и космического корабля по Солнечной системе.

Если объект движется по эллиптической траектории, его орбитальные скорости и проекции орбитальной скорости на большую и малую полуоси эллиптической траектории в любой момент времени можно рассчитать с помощью уравнения Кеплера [8]. Тогда релятивистское соотношение для собственных интервалов времени в рассматриваемых ИСО при ненулевой пекулярной скорости Солнца может быть записано в следующем виде [5]:

dt _i =

1 - β _i ²

1 + β0 cos φ (βia cos θ - βib sin θ)

dt 0 ,

где β 0 – нормированная пекулярная скорость движения Солнечной системы относительно реликтового излучения, β i – нормированная скорость космических объектов относительно Солнечной системы, β i_a – проекция нормированной скорости космических объектов относительно Солнечной системы на большую полуось эллиптической траектории, β ib – проекция нормированной скорости космических объектов относительно Солнечной системы на малую полуось эллиптической траектории.

Интегрируя выражение (1) при движении по орбите, можно получить величину отличия показания часов, привязанных к Солнечной системе (временная координата t ) и космическому объекту:

∆ t i

(t) = Z t 0

1 - β _i ²

1 + β0 cos φ (βia cos θ - βib sin θ)

dt 0

- t,

Произведем расчеты отличия показаний часов наблюдателя на Земле ∆ t 1 и КК ∆ t 2 , движущегося по гомановской траектории от Земли к Марсу, в зависимости от времени. На рис. 2 представлены эти результаты расчетов для различных моментов старта (положения Земли на своей орбите), определяемых угловой координатой θ . Также на рисунке приведена зависимость разницы показаний часов наблюдателя на Земле и КК ∆ t 2 - ∆ t 1 .

Время движения по гомановской траектории от Земли до Марса составляет почти 260 суток. Результаты расчетов показывают, что накопленная разница показаний часов наблюдателя на Земле и КК в конце траектории перелета не всегда максимальна и зависит от момента старта с Земли. Так при угловой координате точки старта 0 « 130 ° показания часов наблюдателя на Земле и КК в конце гомановской траектории практически не отличаются. При этом при движении по всей гомановской траектории разница показаний часов относительно минимальная.

На рис. 3 представлены зависимость разницы показания часов наблюдателя на Земле и КК ∆ t 2 - ∆ t 1 в конце гомановской траектории от угловой координаты θ , задающей точку старта на орбите Земли. Разность показания часов в конце гомановской траектории перелета с Земли на Марс может быть как положительная, так и отрицательная в зависимости от угловой координаты θ . Максимальное абсолютное значение разницы показания часов достигает 0 , 98 с при угловой координате точке старта 0 й 40 ° . Существует также такие точки старта 0 й 130 ° и 305 ° , при которых показания часов наблюдателя на Земле и КК в конце гомановской траектории не будут отличаться. Очевидно, что эти точки старта являются оптимальными с точки зрения дистанционного управления КК.

e)

Рис. 2. Отличия показания часов для наблюдателя на Земле и для КК, движущегося по гомановской траектории от Земли к Марсу, в зависимости от времени наблюдения. Результаты расчетов приведены для различных моментов старта с орбиты Земли, определяемых угловой координатой θ.

Рис. 3. Разница показания часов наблюдателя на Земле и КК ∆t 2 - ∆t 1 в конце гомановской траектории в зависимости от угловой координаты θ.

Заключение

На практике релятивистское явление, при котором часы, движущиеся в пространстве с дипольной анизотропией, имеют ускоренный ход в сравнении с аналогичными часами, движущимися в обычном ФП, имеет большое значение при планировании пилотируемых межпланетных перелетах, в частности с Земли на Марс. Расчеты показывают, что при перелете с Земли на Марс по гомановской траектории абсолютное значение разности показаний часов наблюдателя на Земле и КК могут достигать 0,98 с в конце траектории, при этом сама разница показаний часов может быть как положительная, так и отрицательная. Важным моментом является то, что существуют моменты времени старта с Земли, когда в конце гомановской траектории показания часов наблюдателя на Земле и КК не отличаются.

С релятивистским отклонением показаний часов связана дополнительная ошибка определения координат космических объектов, зависящая также от их орбитальной скорости. Для наиболее скоростных КК ошибка определения координат может достигать десятков километров. Поэтому данное явление требует учета при контроле траектории и управлении движением пилотируемых КК, особенно при межпланетном движении на длительных промежутках времени.