Соотношение между концентрациями свободных носителей заряда в равновесном полупроводнике

Под равновесием мы понимаем состояние полупроводника, в котором выполняются следующие условия. Во-первых, суммарные токи электронов проводимости и дырок равны нулю —*                —*

j e = 0, j h = 0.                                        (1)

Во-вторых, концентрации свободных носителей заряда ne и nh не изменяются со временем dne/dt = 0, dnh/dt = 0.                        (2)

Из (2) следует, что состояние равновесия стационарно. Отсутствие тока исключает наличие в полупроводнике внутреннего магнитного поля. В дальнейшем мы будем предполагать, что внешнее магнитное поле также отсутствует. Тем самым на свободные носители заряда в полупроводнике может воздействовать только электрическое поле, в общем случае складывающееся из внутреннего и внешнего полей. Условие существования внутреннего электрического поля в равновесном полупроводнике можно записать в виде

V(Na - Nd) ^ 0, где Na и Nd – концентрации акцепторных и донорных ионов.

Как известно [1], в отсутствие электрического и магнитного полей концентрации электронов проводимости и дырок в равновесном невырожденном полупроводнике связаны законом обратной пропорциональности nenh = ni ,                                        (3)

где n_i – концентрация свободных носителей заряда одного знака в полупроводнике i -типа, определяемая материалом полупроводника и зависящая от его температуры.

При выводе (3) предполагается, что плазма твердого тела подчиняется статистике Максвелла – Больцмана. Кроме того, принимается ряд физических идеализаций, таких как бесконечная ширина зоны проводимости и валентной энергетической зоны. В настоящей работе формула (3), а также более общее соотношение будут получены из иных соображений, допускающих наличие в кристалле электрического поля.

В ненамагниченной плазме полупроводника плотности токов электронов проводимости и дырок [2] —— je = eЦenE + eDeVПе,                         (4)

—— jh = eЦhnhE - eDh Vnh.

Здесь e – абсолютное значение заряда электрона; ц _e , ц h и D e , D h — подвижности и коэффициенты диффузии электронов проводимости и дырок; E — напряженность электрического поля.

Будем предполагать, что функция ne(nh), связывающая равновесные концентрации свободных носителей заряда, не содержит в явном виде компоненты напряженности электрического поля, концентрации акцепторных и донорных ионов, а также координаты точки наблюдения. В этом случае градиент концентрации электронов проводимости можно представить в виде dn

^V n e =   - ^V n h .

dnh

Подстановка (6) в (4) дает je = e ц eneE + eDe — V nh.                   (7)

dnh

Выразим V n h из (5) и (7) с учетом условий равновесия (1).

^V n h = 7 Tⁿh E D_h

-Ь- n e dn h E .

De   dne

Приравнивая коэффициенты при напряженности электрического поля, имеем

D e 1 dn e + D h 1 = 0

Ц e n e dn h   Ц h n h    '

Это – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными [3], решение которого имеет вид

D e Г ^dne + D h f ^dnh = 0

Ц e J ne    Ц h J nh     ’ или

D e- ln I n e 1 + D h ln I n h 1 = 0,                  (8)

Ц e I A ) Ц h   I A J где A – постоянная интегрирования.

Как было отмечено выше, мы предполагаем, что искомая функция ne(nh) не содержит в явном виде концентрации Na и Nd. Вследствие этого равенство (8) справедливо для равновесного полупроводника любого типа, в том числе для собственного полупроводника, в котором ne = nh = ni.                                      (9)

Подстановка (9) в (8) дает

D_e D_K \ f n 1 _n

—+ + — h I ln I    I = 0.

Ц e Ц h ) ( A )

Откуда находим постоянную интегрирования

A = n_i .

При этом соотношение (8) принимает вид

D e- ln I n e ¹ + D h In I n h | = 0.                (10)

Ц e I n i ) Ц h I n i )

Его можно также записать следующим образом:

( D h h hh )( ц e/ D e )

n ne = nil - |                ,                         (11)

I nh J или

( D e /ц e )( ц h D )

n h = n i l- i - I                 .                         (12)

V n e 7

Таким образом, замена (11) переводит первое из условий равновесия (1) во второе. Обратная замена (12) обеспечивает противоположное преобразование уравнений (1).

Для невырожденного полупроводника справедливы соотношения Эйнштейна [4]

D e = D h = kT

Ц e    Ц h     e ’ где k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура полупроводника. В данном случае соотношения (10)–(12) переходят в (3).

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

• 1.    Киреев П.С. Физика полупроводников. М.: Высшая школа, 1975. 584 с.

• 2.    Владимиров В.В., Волков А.Ф., Мейлихов Е.З. Плазма полупроводников. М.: Атомиздат, 1979. 256 с.

• 3.    Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. 720 с.

• 4.    Шалимова К.В. Физика полупроводников. М. : Энергоатом - издат, 1985. 392 с.

The correlation between concentrations of free carriers of charge in a semiconductor in equilibrium

A.S. Aref’ev