Спектры показателей колеблемости и вращаемости решений однородных дифференциальных систем
Автор: Сташ А.Х.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.25, 2023 года.
Бесплатный доступ
Известно, что все слабые показатели блуждаемости, как и нижний сильный показатель блуждаемости, на множестве решений линейных однородных треугольных дифференциальных систем с непрерывными ограниченными на положительной полуоси коэффициентами равны нулю. При этом верхний сильный показатель блуждаемости некоторого решения из указанного множества может принимать положительное значение. В данной работе полностью изучены показатели ориентированной врашаемости и показатели колеблемости знаков, нулей, корней и гиперкорней решений линейных однородных треугольных дифференциальных систем с непрерывными (необязательно ограниченными) на положительной полуоси коэффициентами. Установлено, что у любого решения треугольной системы дифференциальных уравнений его показатели колеблемости и врашаемости являются точными, абсолютными и совпадают между собой. Также показано, что спектры этих показателей (т. е. множества значений на ненулевых решениях) треугольных систем состоят из одного нулевого значения. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что показатели ориентированной вращаемости и показатели колеблемости, несмотря на их простые и естественные определения, не являются в теории колебаний аналогами показателя Перрона. Кроме того, установлено совпадение спектров каждого (сильного или слабого, верхнего или нижнего) показателя ориентированной вращаемости и показателя колеблемости знаков, нулей, корней и гиперкорней взаимно-сопряженных линейных однородных систем дифференциальных уравнений с непрерывными на положительной полуоси коэффициентами.
Дифференциальные уравнения, треугольная дифференциальная система, сопряженная дифференциальная система, показатель ориентированной врашаемости, показатель колеблемости, показатель блуждаемости
Короткий адрес: https://sciup.org/143180459
IDR: 143180459 | УДК: 517.926 | DOI: 10.46698/z2651-3365-0189-p
Spectra of oscillation and rotatability exponents of solutions of homogeneous differential systems
It is known that all weak wandering exponents, as well as the lower strong wandering exponent, are equal to zero on the set of solutions of linear homogeneous triangular differential systems with continuous coefficients bounded on the positive semiaxis. At the same time, the upper strong wandering exponent of some solution from the specified set can take a positive value. In this paper, the exponents of oriented rotatability and the exponents of oscillation of signs, zeros, roots, and hyperroots of solutions of linear homogeneous triangular differential systems with continuous (optionally bounded) on the positive semiaxis by coefficients are fully studied. It has been established that for any solution of a triangular system of differential equations, its oscillation and rotatability exponents are exact, absolute and coincide with each other. It is also shown that the spectra of these exponents (i.e., the set of values on nonzero solutions) of triangular systems consist of one zero value. The results obtained enable us to conclude that, despite their simple and natural definitions, the oriented rotatability exponents and oscillation exponents are not analogues of the Perron exponent. In addition, the coincidence of the spectra of each (strong or weak, upper or lower) exponent of oriented rotatability and the exponent of oscillation of signs, zeros, roots and hyperroots of mutually conjugate linear homogeneous systems of differential equations with continuous coefficients on the positive semiaxis is established.
Список литературы Спектры показателей колеблемости и вращаемости решений однородных дифференциальных систем
- Сергеев И. Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения.—2004.—Т. 40, № 11.—С. 1576.
- Сергеев И. Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. сем. им. И. Г. Петровского.—2006.—Вып. 25.—С. 249-294.
- Сергеев И. Н. Определение полных частот решений линейной системы // Диференц. уравнения.— 2009.—Т. 45, № 6.—С. 908.
- Сергеев И. Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сб.—2013.—Т. 204, № 1.—С. 119-138. БО!: 10.4213/вш7928.
- Сергеев И. Н. Определение характеристик вращаемости решений дифференциальных систем и уравнений // Дифференц. уравнения.—2013.—Т. 49, № 11.—С. 1501-1503.
- Сергеев И. Н. Показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. заметки.—2016.—Т. 99, № 5.—С. 732-751. БО!: 10.4213/ш2ш10555.
- Сергеев И. Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Тр. сем. им. И. Г. Петровского.—2016.—Вып. 31.—С. 177-219.
- Сергеев И. Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем.—2012.—Т. 76, № 1.—С. 149-172. БО!: 10.4213/т5035.
- Сергеев И. Н. Вопросы о спектрах показателей вращаемости и блуждаемости автономных систем // Дифференц. уравнения.—2014.—Т. 50, № 6.—С. 844-845.
- Бурлаков Д. С. Спектры показателей вращения и вращаемости автономных систем с простыми чисто мнимыми собственными числами // Дифференц. уравнения.—2014.—Т. 50, № 6.—С. 845.
- Бурлаков Д. С., Цой С. В. Совпадение полной и векторной частот решений линейной автономной системы // Тр. сем. им. И. Г. Петровского.—2014.—Вып. 30.—С. 75-93.
- Сташ А. Х. Свойства показателей колеблемости решений линейных автономных дифференциальных систем // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки.—2019.—Т. 29, вып. 4.— С. 558-568. БО!: 10.20537/уш190407.
- Сташ А. Х. Показатели ориентированной вращаемости решений автономных дифференциальных систем // Владикавк. мат. журн.—2022.—Т. 24, № 3.—С. 120-132. Б01: 10.46698/а8125-0078-5238-у.
- Сташ А. Х. О спектрах полных и векторных частот решений треугольных систем линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка // Материалы X Межд. научн. конф. молодых ученых «Наука. Образование. Молодежь» (Майкоп, 7-8 февраля 2013 г.). Т. 1.—Майкоп: Изд-во АГУ, 2013.—С. 323-325.
- Миценко В. В. О границах блуждаемости и колеблемости решений двумерных треугольных дифференциальных систем и линейных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения.— 2014.—Т. 50, № 6.—С. 851—852.
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.—М.: Наука, 1967.—472 с.
- Якубович Б. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.—М.: Наука, 1972.—720 с.
