Сравнение бутстрап и аналитических оценок погрешностей параметров фонового распределения жителей Уральского региона

Ионизирующее излучение индуцирует в эмали зубов человека стабильные CO 2 ^- радикалы. Метод дозиметрии на основе электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) зубной эмали позволяет оценить количество этих радикалов в зубах, удаленных по медицинским показаниям [5]. Таким образом, в результате ЭПР измерения оценивается суммарная поглощенная доза радиации в эмали зубов, накопленная за время жизни донора (до момента экстракции зуба), включая воздействие как антропогенных, так и естественных источников излучения. Естественный радиационный фон представляет собой ионизирующее излучение природных источников космического и земного происхождения. В ЭПР-дозиметрии важной является оценка дозы, полученной в результате изучаемого инцидента, поэтому из общей измеренной дозы необходимо исключить фоновую составляющую.

Средние значения и распределения фоновых ЭПР-доз в разных популяциях могут отличаться [6], так как они зависят от радиационного фона конкретной местности, стиля жизни, типичного для населения региона, а также от индивидуальной вариабельности радиационной чувствительности эмали зубов в популяции [7]. Задача по выделению фонового распределения осложняется тем, что фоновые уровни доз близки к пределу детектирования ЭПР-дозиметрии [8], поэтому погрешность каждого отдельного измерения может быть сопоставима с индивидуальной вариабельностью доз в популяции (зашумленные данные).

В предыдущих исследованиях был предложен подход к выделению фонового распределения доз на основе статистического метода моментов в рамках модели, когда фоновое распределение доз имеет логнормальное распределение, а ошибка измерения – нормальное с зависимой от дозы дисперсией [9]. С его помощью были оценены параметры логнормального распределения фоновых доз сельских жителей Уральского региона: LogN (3,9±0,5; 0,7±0,1), что соответствует среднему значению 61±47 мГр.

С развитием компьютерной техники статистические подходы с использованием бутстрап метода приобретают все большую популярность и в некоторых, особенно в сложных, задачах конкурируют с аналитическими подходами. Целью данной работы является сравнение оценок погрешностей параметров логнормального распределения с помощью бутстрап метода и сравнение их с оценками, полученными аналитически.

Материалы и методы

Используемые в исследованиях образцы были получены от людей, для которых не велась точная история их жизни и перемещений на изучаемой территории. Поэтому нельзя исключить «внешние» в текущей задаче источники радиационного облучения, которыми являются, например, фоновое излучение на других территориях. Некоторые полученные измерения (2–3 %) превышают 500 мГр. Полагая, что к таким результатам привело какое-то внешнее облучение, такие измерения были исключены из анализа.

Тимофеев Ю.С. Сравнение бутстрап и аналитических оценок погрешностей параметров фонового распределения жителей Уральского региона

ЭПР-измерения эмали зубов человека – это сложная и многоступенчатая процедура, на каждом шаге которой в получаемый результат привносятся ошибки. Каждая лаборатория использует свои методики измерений, поэтому ошибка измерений также зависит от лаборатории. При измерении фоновых доз получаемые значения сопоставимы с общей погрешностью измерения и большая их часть оказывается ниже предела детектирования используемого ЭПР-метода. Предел детектирования – доза, при которой на высоком уровне значимости статистическими тестами подтверждается нулевая гипотеза «образец был облучен». Были использованы 65 ЭПР-измерений фоновых доз в эмали зубов сельских жителей Уральского региона в возрасте 40–80 лет, проводившихся в Гельмгольц-Центре Мюнхена (HMGU) [10], где более 50 % измерений были выше предела детектирования.

Модель ЭПР измерений

Общая измеренная D ˆ доза состоит из фоновой составляющей D и ошибки измерения E (1) :

D = D + E                               (1)

Распределение фоновых доз принимается логнормальным D = LogN[m, s] с неизвестными параметрами m и s, а ошибка измерения имеет нормальное распределение с неизвестным средним и известным стандартным отклонением – N[C, g(D)] . Форма стандартного отклонения оценивается с помощью компьютерной программы «EPR-dosimetry performance», разработанной авторами [11]. Для изучаемого метода стандартное отклонение описывается функцией (2):

[47; D < 100, g (D) = ^30,9 +

15,8

1 + exp

Г D - 304 A

I 42 J

; D >  100.

Таким образом, окончательная модель измерений становится (3):

D = LogN [ m , s ] + N [ C , g ( D )].

Приравнивания теоретические моменты распределения ( M_i ) правой части уравнения (2) с их выборочными аналогами ( M ˆ _i ), полученными из экспериментальных данных, с учетом трёх неизвестных параметров получаем систему из трёх уравнений (4):

M i ( m , s , C ) = A M i , i = 1,2,3 (4)

Решая эту систему, используя данные единственно удовлетворительного ЭПР метода, находим неизвестные параметры m , s и C, а также погрешности этих оценок. Более подробно метод описан в работе [9]. Полученные оценки параметров m = 3,9 и s = 0,7, с погрешностями 0,5 и 0,1 соответственно. Среднее значение фоновой дозы при этих оценках будет 61±47 мГр. Учитывая, что возраст доноров на момент извлечения зуба около 60 лет, то ежегодная доза, получаемая от естественных источников радиационного излучения для жителей Уральского региона, находится на уровне 1 мГр/год.

Бутстрап подход

Статистический бутстрап ( bootstrap ) - метод определения статистик вероятностных распределений, основанный на многократной генерации выборок методом Монте-Карло на базе имеющейся выборки. Метод позволяет просто и быстро оценивать различные статистики (доверительные интервалы, дисперсию) для сложных моделей.

Пусть D i - измерения, полученные ЭПР-методом, i = 1,...,65. Из имеющегося пула измерений с помощью бутстрап метода сгенерируем j новых выборок D ^ɶ _j (5) такого же размера, что и исходная выборка ( j = 1,...,65). Каждое значение генерируемой выборки равновероятно выбирается среди значений исходной выборки, при этом выбранное значение не исключается из выбора следующего значения и может быть выбрано повторно.

DD i bootstrap _> jD k , i , j = 1,...,65, _k = 1,...,_W00.                              (5)

Решая систему (4) для каждой бутстрап выборки, находим новые оценки параметров m^k , s^k и их стандартные отклонения – 0,6 и 0,2 соответственно.

Математика

Заключение

Использование бутстрап подхода в текущей задаче оценке погрешностей параметров логнормального распределения фоновых доз сельского населения Уральского региона дает погрешности 0,6 и 0,2, которые сравнимы с оценками 0,5 и 0,1, полученными аналитически. При этом большие величины, полученные методом бутстрап, вполне ожидаемы, поскольку при выборе с возвращениями, реализуемом в бутстрапе, могут генерироваться нереалистические выборки (например, не исключена возможность получить выборку из повторяющегося одного и того же значения). Таким образом, бутстрап оценка может рассматриваться как консервативное приближение (не занижающее оценки погрешностей и ширины доверительного интервала). Учитывая вышесказанное, а также принимая во внимание, что временные затраты для поиска параметров фонового распределения для каждой сгенерированной выборки несопоставимы с затратами на получение аналитических оценок, применение бутстрап подхода представляется оправданным только в случае невозможности аналитического подхода в решении задачи.