Сравнение целевых функций в задаче Прони для аппроксимации данных измерений
Автор: Ломов Андрей Александрович, Русинова Елизавета Александровна
Статья в выпуске: 2 т.11, 2022 года.
Бесплатный доступ
В работе проводится сравнение двух целевых функций в задаче Прони аппроксимации данных измерений решениями линейного дифференциального уравнения заданного порядка с постоянными коэффициентами. Целевые функции различаются типом зависимости градиента от коэффициентов уравнения (линейная или со сложной нелинейностью) и являются 1) нормой невязки уравнения (линейный метод наименьших квадратов) или 2) нормой ошибки аппроксимации по А. Хаусхолдеру (вариационный метод идентификации). В последнем случае производится совместная оптимизация коэффициентов дифференциального уравнения и начальных условий решения. Для рассмотренных целевых функций вычислены константы локальной устойчивости решения задачи Прони с использованием локальных разложений зависимостей оптимальных коэффициентов уравнения как неявных функций от данных из условия равенства градиента целевой функции нулю. На этой основе предложен способ определения допустимой погрешности в данных задачи для обеспечения заданного уровня отклонения решения от истинного значения. На примере К. Ланцоша вычисления показателей экспонент по наблюдениям суммы трех экспонент с ошибками округления показано существенное преимущество (с точки зрения допустимой погрешности в данных) использования вариационной целевой функции. Адекватность используемых локальных показателей устойчивости для немалых возмущений проверяется численным экспериментом.
Аппроксимация данных измерений, задача прони, пример к. ланцоша выделения показательных функций, локальная устойчивость, метод наименьших квадратов, вариационный метод
Короткий адрес: https://sciup.org/147238108
IDR: 147238108 | УДК: 681.5.015 | DOI: 10.14529/cmse220202
Comparison of the target functions in the Prony's problem of measurement data approximation
In the article, we compare two objective functions in the Prony’s problem of approximation of measurement data by solutions of a linear differential equation of a given order with constant coefficients. The target functions differ in the type of dependence of the gradient on the coefficients of the equation (linear or with complex nonlinearity) and are 1) the norm of the residual of the equation (linear least squares method) or 2) the norm of the approximation error according to A. Householder (variational identification method). In the latter case, the coefficients of the differential equation and the initial conditions of the solution are jointly optimized. For the considered objective functions, the local stability constants of the solution to the Prony’s problem are calculated using local expansions of the dependencies of the optimal coefficients of the equation as implicit functions of the data with the condition that the gradient of the objective function is identically equal to zero. On this basis, a method is proposed for determining the permissible error in the data to ensure a given level of deviation of the solution from the true value. We use the example of K. Lanczos of calculating the exponents given observations of the sum of three exponents with rounding errors to confirm a significant advantage (in terms of the allowable errors in the data) of using the variational objective function. The adequacy of the used local stability indices for considerable perturbations is verified by numerical experiment.
Список литературы Сравнение целевых функций в задаче Прони для аппроксимации данных измерений
- Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 265 с.
- Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. Екатеринбург: Уро РАН, 1999. 296 с.
- Householder A.S. On Prony’s method of fitting exponential decay curves and multiple-hit survival curves. Oak Ridge National Lab. Report ORNL-455. 1950. Oak Ridge, Tennessee. URL: http://www.technicalreports.org/trail/detail/11105 (дата обращения: 15.12.2021).
- Егоршин А.О. Метод наименьших квадратов и «быстрые» алгоритмы в вариационных задачах идентификации и фильтрации (метод ВИ) // Автометрия. 1988. № 1. С. 30-42. URL: http://www.iae.nsk.su/images/stories/5_Autometria/5_Archives/1988/1/ 30-42.pdf (дата обращения: 15.12.2021).
- Puller W.A. Measurement Error Models. New York: Wiley, 1987. 440 p. DOI: 10.1002/9780470316665.
- Ломов А.А. О количественных априорных показателях идентифицируемости коэффициентов линейных динамических систем // Известия РАН ТСУ. 2011. № 1. С. 3-15. DOI: 10.1134/S106423071101014X.
- Ломов А.А., Федосеев А.В. Сравнение методов параметрической идентификации линейных динамических систем в условиях смешанных возмущений // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. 2018. Т. 18, № 3. С. 45-59. DOI: 10.17377/РАМ.2018.18.6.
- Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.
- Ломов А.А. О сходимости вычислительных алгоритмов в вариационной задаче идентификации коэффициентов разностных уравнений // Сибирский журнал индустриальной математики. 2020. Т. 83, № 3. С. 77-90. DOI: 10.33048/SIBJIM.2020.23.307.
- de Prony G. Essai experimental et analytique: sur les lois de la dilatabilite de fluides elastique et sur celles de la force expansive de la vapeur de l’alkool, a differentes temperatures // Journal deГёсоіеPolytechnique. 1795. Vol. 1, no. 22. P. 24-76. URL: http://users.polytech.unice. fr/~leroux/PR0NY.pdf (дата обращения: 15.12.2021).
- Mitrofanov G., Priimenko V. Prony Filtering of Seismic Data // Acta Geophysica. 2015. Vol. 63, no. 3. P. 652-678. DOI: 10.1515/acgeo-2015-0012.
- Коломейцева А.В., Мишугова Г.В., Мул А.П., Рябых Г.Ю. Применение вейвлет-преобразования и метода Прони для идентификации биогенных сигналов // Вестник ДГТУ. 2010. Т. 10, № 4. С. 455-465.
- Bjorck A. Numerical methods for least squares problems. USA: SIAM, 1996. 425 p. DOI: 10.1137/1.9781611971484.chi.
- Keller I., Plonka G. Modifications of Prony’s Method for the Recovery and Sparse Approximation with Generalized Exponential Sums // Approximation Theory XVI / ed. by G.E. Fasshauer, M. Neamtu, L.L. Schumaker. Cham: Springer International Publishing, 2021. P. 123-152. DOI: 10.1007/978-3-030-57464-2 7.
- Osborne M.R. A class of nonlinear regression problems // Data representation / ed. by R.S. Anderssen, M.R. Osborne. St. Lucia: University of Queensland Press, 1970. P. 94-101.
- Егоршин А.О., Будянов В.П. Сглаживание сигналов и оценивание динамических параметров в автоматических системах с помощью ЦВМ // Автометрия. 1973. № 1. С. 78-82. URL: https://www.iae.nsk.su/images/stories/5_Autometria/5_Archives/1973/l/ 78-82.pdf (дата обращения: 15.12.2021).
- Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления: оптимизация, оценка и управление. М.: Мир, 1972. 544 с.
- Егоршин А.О. О дискретизации линейных дифференциальных уравнений // Вестник ЮУрГУ. Серия: Матем. моделирование и программирование. 2012. Т. 40(299), № 14. С. 59-72. URL: https://mmp.susu.ru/article/en/179 (дата обращения: 15.12.2021).
