Сравнение критериев моделирования разрушения трубопроводов методом конечных элементов

Состояние вопроса и постановка задачи

Проблема предупреждения разрушений магистральных трубопроводов путем образования длинных трещин, несмотря на заметные усилия и успехи в создании вязких трубных сталей, по-прежнему является актуальной, поскольку такие разрушения могут приводить к большим материальным потерям и экологическим проблемам. Решение задачи предупреждения таких разрушений требует развития соответствующих расчетных моделей, которым в последнее время посвящено значительное число работ [1–3].

Основным инструментом для решения этих задач является нелинейная механика разрушения, в рамках которой используется ряд различных критериев: KI, J-интеграл, CTOD, CTOA, Charpitest, DWTT и др. [4–7]. Наличие ряда подходов (а не одного общепризнанного) связано с наличием нескольких разных специфических черт задачи, причем в разных конструкциях эти черты могут проявляться в разной мере. С одной стороны, длинные трещины в конструкциях, где номинальное напряженное состояние является упругим, должны описываться критериями линейной механики разрушения типа KIc. С другой стороны, стремление производителей избежать катастрофических разрушений заставляет использовать вязкие стали с высокой пластичностью, и в описании разрушения существенную роль играет учет нелинейности (критерии CTOD, CTOA, J-интеграл или даже просто ресурс пластичности – с учетом особенностей напряженного состоя- ния перед вершиной трещины [8, 9]). В то же время стремление использовать трубы с большой толщиной стенки из высокопрочных материалов, а также применять трубы в условиях низких температур (Север России, Аляска [10, 11]) вновь «сдвигает» ситуацию в сторону хрупкого разрушения и вынуждает применять, например, DWTT [12]. Существуют и различные варианты 2-параметрических критериев, учитывающих пластичность и сопротивление развитию трещины («предел трещиностойкости» KQ, R-кривая [13, 14]).

Моделям развития трещин и программной реализации таких моделей посвящено большое число работ. Описание динамического развития длинных трещин увеличивает сложность задачи еще более. Оно требует учета зависимости свойств материала от скорости деформирования, (связанной со скоростью роста трещины), учета сил инерции, возможного изменения нагрузок при росте трещины (например, падения давления в трубе вследствие появления течи при раскрытии трещины). Для численного моделирования развития трещин применяется программное обеспечение, основанное прежде всего на методе конечных элементов с различными вариантами описания развития трещины: путем удаления элементов; путем разрыва связей, моделируемых с помощью граничных условий или специальных элементов типа «когезия»; путем введения специальных элементов, содержащих произвольно ориентированную вершину трещины и описывающих поле напряжений около этой вершины (одной из первых работ такого типа была, по-видимому, статья [15], более позднее сравнение методов приведено в [16]).

Для моделирования динамического развития трещин представляется перспективным использовать пакет LS-DYNA, в котором прямо реализован учет отмеченных выше особенностей динамической задачи – зависимости свойств материала от скорости, сил инерции, влияния течи газа или жидкости. В то же время пакет LS-DYNA, в отличие от пакета ANSYS, не позволяет напрямую использовать такие критерии, как предел трещиностойкости KQ , J -интеграл или вычисляемые по полю перемещений характеристики CTOD и CTOA. В связи с этим задачей настоящей работы является выбор способа описания разрушения в LS-DYNA и калибровка соответствующих моделей.

Экспериментальные результаты, база для сравнения

В качестве типичного примера взята широко распространенная трубная сталь 17ГС. Справочные свойства этой стали таковы: предел текучести σ 0,2 = 345 МПа, предел прочности σ в = 510 МПа, поперечное сужение ψ = 60 % [17]. Трещиностойкость образцов из этой стали (после определенной наработки в условиях реального трубопровода) была определена в ЮУрГУ [18] и составила ориентировочно K IQ = 130 МПа·м ^0,5 .

Для последующей калибровки модели в LS-DYNA была создана модель участка трубы с продольной трещиной в пакете ANSYS, позволяющем вычислять коэффициент интенсивности напряжений и таким образом использовать результаты экспериментального определения свойств материала. Модель трубы нагружалась внутренним давлением, определялась зависимость коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины. Эти данные использовались для последующей калибровки модели в LS-DYNA по условию начала движения трещины: критерий разрушения, используемый в LS-DYNA, должен показывать начало разрушения при тех же условиях, при которых коэффициент интенсивности напряжений, вычисленный ANSYS, достигает экспериментально найденного K IQ . Нужно отметить, что K IQ , вычисляемый для упруго-пластического материала и учитывающий в том числе затраты энергии на пластическое деформирование, корректно описывает разрушение при номинальных напряжениях (вдали от трещины), не превышающих 0,7 σ 0,2 . При вычислениях рассматривались варианты с номинальными напряжениями 0,36 σ 0,2 , 0,58 σ 0,2 , 0,70 σ 0,2 и, для сравнения, 0,87 σ 0,2 (для выбранной модели трубы диаметром 500 мм и толщиной стенки 10 мм это отвечает давлениям 2,5; 4; 5 и 6 МПа, при этом полудлины трещин, обеспечивающие требуемое значение K IQ , равны соответственно 100, 65, 50 и 40 мм).

Планируемая модель в LS-DYNA должна обладать следующими свойствами: давление разрушения (начала движения трещины) должно совпадать с давлением, предсказанным ANSYS, это совпадение должно выполняться для различных длин трещин и не должно зависеть от размеров конечных элементов, используемых для построения модели.

Особенности модели в пакете LS-DYNA

По умолчанию LS-DYNAвыполняет расчеты в динамической постановке. Квазистатическая постановка тоже возможна, но требует специальных настроек (implicitsolution). Поскольку в дальнейшем планируется использовать динамическую постановку для моделирования роста

трещины, подбор параметров модели также проводился в динамической постановке, но с достаточно медленным подъемом давления, чтобы избежать инерционных эффектов и связанных с ними осцилляций напряжений.

7//////////Л

Рис. 1. Схема численного эксперимента. Выделена область, показанная на рис. 2

Для расчета в геометрически и физически нелинейной постановке необходима истинная диаграмма деформирования материала. Использовались данные работы [17], где диаграмма деформирования до деформации 2 % задана в табличной форме, и, кроме того, имеются данные по пределу прочности ов и относительному сужению v. Истинная диаграмма деформирования на участке от деформации 2 % до деформации ев = ln(1/(1 - v)) полагалась линейной; предполагалось, что деформации ев соответствует истин- ное напряжение $в = ов/(1 - v). Такое описание, естественно, не вполне корректно, так как значе ния напряжения ов и сужения v достигаются в разных точках процесса, однако в практических задачах нередко известны только сертификатные характеристики материала – пределы текучести и прочности о».2, ов, сужение или удлинение v или 5.

Развитие трещины на этом этапе не моделировалось; предполагалось определять только момент старта трещины, т. е. момент достижения некоторого критерия разрушения – из доступных в пакете LS-DYNA. Такими доступными критериями являются: достижение максимальной главной деформацией предельного значения, достижение эквивалентной деформацией предельного значения, максимальное утонение (для оболочечных элементов, т. е. достижение суммой двух главных деформаций определенного значения). Предельные значения деформаций могут зависеть от напряженного состояния, характеризуемого параметром трехосности (или жесткостью напряженного состояния – см. [19]), и параметром (углом) Лоде.

Для обеспечения независимости результатов моделирования разрушения в LS-DYNA пре- дусмотрена процедура, усредняющая параметры, описывающие разрушение по нескольким со- седним элементам и только потом проверяющая выполнение критерия разрушения (*MAT_NONLOCAL). Усреднение выполняется с использованием весовой функции:

г                п - q d = VVd(r)w(r-r»)dV-zdiw^V-r°’V, w(r--b)= 1+(^]    .

Здесь d – выбранный параметр, отвечающий за разрушение элемента (максимальная главная деформация, эквивалентная пластическая деформация и т. п.); V – объем области, в которой производится усреднение; r₀ – координаты точки, для которой вычисляется усредненная величина; r – координаты точки внутри области V ; величины с индексом i относятся к конечным элементам внутри области V ; L , p и q – параметры.

Такой подход представляется оправданным и достаточно многообещающим. Однако использование его требует определенной осторожности. В качестве примера на рис. 1 и 2 приведены схема и результаты модельного численного эксперимента, в котором плоская пластина с центральной трещиной нагружается перемещением границы.

Для описания распространения трещины (рис. 2) использовался локальный (верхний ряд изображений) и нелокальный (нижний ряд) критерии. Использование усреднения, учитывающего наряду с наиболее нагруженным и соседние, менее нагруженные, элементы, приводит к тому, что значения параметра d для локального и нелокального подхода различны. Поэтому значение параметра d, отвечающее разрушению, зависит от параметров усреднения L, p, q и может существенно отличаться как от справочных характеристик материала, так и от значения параметра, корректно описывающего работу модели с «локальным» подходом. Так, для показанных на рис. 2 моделей, значения d (в качестве которого была выбрана предельная пластическая деформация), обеспечивающие то, что разрушение начинается в один и тот же момент (т. е. при одной и той же номинальной деформации), отличаются почти в 4 раза: 20 % и 5,4 % – см. шкалы в правой части рис. 2. Более того, отличается характер разрушения и длина трещины, достигаемая при одинаковых нагрузках (в данном случае – номинальных деформациях). Поэтому проверка корректности использования нелокального подхода должна включать как определение параметра d, соответствующего выбранным параметрам L, p, q, так и проверку корректности работы модели при одних и тех же параметрах L, p, q, d и различных длинах трещин.

2.0006-01

1.8006-01

1.600е-01

1.400е-01

1.2006-01

1.0006-01

8.0006-02

6.0006-02

4.0006-02

2.000е-02

О.ОООе+ОО 5.4006-02.

4.8606-02.

4.3206-02.

3.7806-02.

3.2406-02.

2.7006-02.

2.1606-02.

1.6206-02.

1.0806-02.

5.4006-03.

О.ОООе+ОО.

Рис. 2. Моделирование распространения трещины при использовании локального (а, б, в) и нелокального (г, д, е) критериев. Шкалы – величины пластических деформаций: а, г – номинальная деформация 1 % (начало продвижения трещины); б, д – номинальная деформация 1,6 %, в, е – номинальная деформация 2,2 %

Результаты моделирования

Рассматривалась труба, нагруженная внутренним давлением и осевой силой (номинальные осевые напряжения составляют половину от номинальных окружных). Пос т улировало с ь наличие начальной продольной трещины; принималось, что критерием разрушения, т. е. начала продвижения трещины, является достижение интенсивностью пластических деформаций опр е деленного значения. Подбиралось такое критериальное значение деформации, чтоб ы разрушен и е начиналось при той же нагрузке, при которой его предсказ ы вает использование эксперимент а льно найденной величины K I Q .

Результаты подбора для моделей с разным размером начальных трещин и разным размером конечных элементов существенно отличаются (рис. 3, кривые 1, 2, 3, 4). Уменьшение размера конечного элемента перед вершиной трещины ожидаемо приводит к увеличению вычисляемой пластической деформации в нем, причем вычисленные деформации снижаются с ув е личением длины трещины и соответствующим уменьшением номинальных напряжений и создающего их давления. Применение процедуры усреднения, реализованной в *MAT_N O NLOCAL, позволяет существенно снизить зависимость результатов от размера конечного элемента (кривая 2’ на рис. 3). Однако зависимость результатов от длины трещины при использовании рекомендованных в [20] параметров усреднения p и q остается довольно выраженной (рис. 4).

Подбор параметров p, q, L выполнялся путем минимизации относительной вариации вычис- ляемых критериальных деформаций еpl:

5 =

mах (^е _pi ( p , q , L ) )^- min (^e pi ( p , q , L ) )

min i , j

(^e pi ( p , q , L ) )

min ,

различным значениям i и j в этой формуле соответствуют различные длины трещин (40, 50, 65 и 100 мм) и различные размеры конечного элемента (1, 2, 4 мм). Задача является плохо обуслов- ленной: зависимость δ(p, q, L) имеет каньонообразный вид (рис. 5). Минимум этой зависимости достигается в данной задаче при значениях параметров p и q, существенно отличающихся от рекомендованных разработчиками.

Рис. 3. Пластические деформации в конечном элементе перед вершиной трещины при давлении, соответствующем K I Q : 1 – полудлина трещины 40 мм, давление 6 МПа; 2 – 50 мм, 5 МПа; 3 – 65 мм, 4 МПа; 4 – 100 мм, 2.5 МПа. 2’ – то же, что 2, с использованием усреднения (*MAT_NONLOCAL)

Рис. 4. Пластические деформации перед вершиной трещины при давлении, соответствующем K I Q , вычисленные с использованием усреднения (*MAT_NONLOCAL): 1 – полудлина трещины 40 мм, давление 6 МПа; 2 – 50 мм, 5 МПа; 3 – 65 мм, 4 МПа; 4 – 100 мм, 2.5 МПа

Рис. 5. Зависимость δ ( p , q , L ) (L = 2.1 мм)

Рис. 6. Пластические деформации перед вершиной трещины, вычисленные с выбранными параметрами усреднения (1 и 2 – для размера КЭ 1 и 2 мм соответственно) и без использования усреднения (3, 4 – для тех же размеров КЭ)

Критериальная деформация, которая соответствует началу движения трещины в момент достижения величиной K I Q экспериментально найденного значения при найденных p и q , не слишком сильно зависит от длины трещины и практически не зависит от размера конечного элемента (совпадающие кривые 1 и 2 на рис. 6) в отличие от вычислений без усреднения (различающиеся кривые 3 и 4). Зависимость становится слабее по мере удлинения трещины, и можно надеяться, что использование такого подхода позволит описать автомодельный рост длинных трещин с достаточной точностью.

Выводы

Выполненный подбор параметров модели позволил добиться того, что нагрузка начала движения трещины, определяемая с помощью модели вязкого материала, совпадает с нагрузкой, определяемой через параметры нелинейной механики разрушения. В дальнейшем это позволит вы- полнить расчет динамического распространения длинных продольных трещин в трубах с учетом эффектов, рассматриваемых программой LS-DYNA – сил инерции материала стенок трубы, скорости распространения волны возмущения в газе или жидкости, заполняющих трубу, снижению давления при росте трещины в результате потери герметичности трубы.