Среднеквадратическое приближение функций в пространстве Бергмана и значение поперечников некоторых классов функций
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.28, 2026 года.
Бесплатный доступ
В работе найдены точные значения экстремальной характеристики специального вида, которая связывает наилучшее среднеквадратическое полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций f∈B(r)2 (r∈Z+) с модулем непрерывности m-го порядка ωm(zrf(r),u)B2 r-й производной f(r), принадлежащей пространству Бергмана B2. При этом экстремальная характеристика содержит этот модуль не только под знаком интеграла, но и вне интеграла. Доказанное утверждение в теореме 1 является обобщением одного известного результата С. Б. Вакарчука и А. Н. Щитова [17], полученного для классического модуля непрерывности m-го порядка ωm(f(r),t)L2 периодических функций f∈L2[0,2π] с производной f(r)∈L2[0,2π], на случай модуля непрерывности ωm(zrf(r),u)B2 аналитических в единичном круге функций с производной f(r)∈B2. Это позволяет вычислить точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного, гельфандовского и проекционного n-поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана B2.
Короткий адрес: https://sciup.org/143186294
IDS: 143186294 | УДК: 517.5 | DOI: 10.46698/v5873-0367-2681-e
The Root-Mean-Square Approximations of Functions in Bergman Space and the Value of the Widths of Some Classes of Functions
In this paper, the exact values of the extreme characteristic of a special kind, which connects the best polynomial approximation of analytical functions in a unit circle f∈B(r)2 (r∈Z+) with modulus of continuity of m-th order ωm(zrf(r),u)B2 of the r-th derivative f(r) belonging to the Bergman space B2, are found. In this case, the extreme characteristic contains this modulus of continuity not only under the sign of the integral, but also outside the integral. The statement proved in Theorem 1 generalizes a well-known result by S. B. Vakarchuk and A. N. Shitova [17], obtained for the classical modulus of continuity of m-th order ωm(f(r),t)L2 of periodic functions f∈L2[0,2π] with derivative f(r)∈L2[0,2π], to the case of the modulus of continuity ωm(zrf(r),u)B2 of analytic functions in the unit circle with derivative f(r)∈B2. The obtained result provides the opportunity to compute the exact values of the Bernstein, Kolmogorov, linear, Gelfand, and projection n-widths of certain classes of functions in the Bergman space B2.
