Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана
Автор: Шабозов Мирганд Шабозович, Саидусайнов Муким Саидусайнович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.20, 2018 года.
Бесплатный доступ
В работе рассматривается задача среднеквадратичного приближения функций комплексного переменного, регулярных в некоторой односвязной области, D⊂C рядами Фурье по ортогональным системам при наличии неотрицательной интегрируемой в D весовой функции γ:=γ(|z|), т. е. когда f∈L2,γ:=L2(γ(|z|),D). Ранее В. А. Абилов, Ф. В. Абилова и М. К. Керимов в L2,γ исследовали вопросы отыскания точных оценок скорости сходимости рядов Фурье функций f∈L2,γ и доказали некоторые точные неравенства типа Джексона, вычислили значение колмогоровского n-поперечника некоторых классов функций [9]. При этом широко использовали специальный вид оператора обобщенного сдвига, благодаря которому ввели обобщенный модуль непрерывности m-го порядка и на его основе - классы функций, определяемые заданной монотонно возрастающей на R+:=[0,+∞) мажорантой. В настоящей работе продолжается исследование указанных авторов, а именно, доказывается точное неравенство Джексона - Стечкина между величиной наилучшего приближения комплексными алгебраическими полиномами функций f∈L2,γ и Lp-нормой обобщенного модуля непрерывности. Изучаются аппроксимативные свойства классов функций, у которых Lp-норма обобщенного модуля непрерывности имеет заданную мажоранту. При некоторых условиях на мажоранте для введенных классов функций в L2,γ вычисляются бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный n-поперечники. Доказывается, что все поперечники совпадают и оптимальными подпространствами являются подпространства алгебраических комплексных полиномов.
Весовое пространство бергмана, обобщенный модуль непрерывности, оператор обобщенного сдвига, n-поперечники
Короткий адрес: https://sciup.org/143162451
IDR: 143162451 | УДК: 517.5 | DOI: 10.23671/VNC.2018.1.11400
Mean-square approximation of complex variable functions by Fourier series in the weighted Bergman space
In this paper we consider the problem of mean-square approximation of functions of a complex variable by Fourier series in orthogonal system. The functions f under consideration are assumed to be regular in some simply connected domain D⊂C and square integrable with a nonnegative weight function γ:=γ(|z|) which is integrable in D, that is, when f∈L2,γ:=L2(γ(|z|),D). Earlier, V. A. Abilov, F. V. Abilova and M. K. Kerimov investigated the problems of finding exact estimates of the rate of convergence of Fourier series for functions f∈L2,γ [9]. They proved some exact Jackson type inequalities and found the values of the Kolmogorov's n-width for certain classes of functions. In doing so, a special form of the shift operator was widely used to determine the generalized modulus of continuity of mth order and classes of functions defined by a given increasing in R+:=[0,+∞) majorant. The article continues the research of these authors, namely, the exact Jackson-Stechkin type inequality between the best approximation of a functions f∈L2,γ by algebraic complex polynomials and Lp norm of generalized module of continuity is proved; àpproximative properties of classes of functions are studied for which the Lp norm of the generalized modulus of continuity has a given majorant. Under certain assumptions on the majorant,the values of Bernstein, Kolmogorov, linear, Gelfand, and projection n-widths for classes of functions in L2,γ were calculated. It was proved that all widths are coincide and an optimal subspace is the subspace of complex algebraic polynomials.
Список литературы Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана
- Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Наилучшие приближения и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Bp, 1≤p≤∞//Докл. АН. 2006. Т. 410, № 4. С. 461-464.
- Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. О наилучшем приближения некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана B2,γ//Докл. АН. 2007. Т. 412, № 4. С. 466-469. DOI 10.1134/S1064562407010279.
- Вакарчук С. Б., Шабозов М. Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге//Мат. сб. 2010. Т. 201, № 8. С. 3-22. DOI 10.4213/sm7505.
- Шабозов М. Ш., Саидусайнов М. С. Значение n-поперечников и наилучшие линейные методы приближения некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана//Изв. ТулГу. Естеств. науки. 2014. Вып. 3. С. 40-57.
- Саидусайнов М. С. О значении поперечников и наилучших линейных методах приближения в весовом пространстве Бергмана//Изв. ТулГу. Естеств. науки. 2015. Вып. 3. С. 91-104.
- Саидусайнов М. С. О наилучших линейных методах приближения некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана//Чебышевский сб. 2016. Т. 17, вып 1. С. 240-253.
- Лангаршоев М. Р. О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана//Укр. мат. журн. 2015. Т. 67, № 10. С. 1366-1379.
- Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964. 440 с.
- Абилов В. А., Абилова Ф. В., Керимов М. К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве L2(D,p(z))//Журн. выч. математики и мат. физики. 2010. Т. 50, № 6. С. 999-1004.
- Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin-Heidelberg-N.Y.-Tokyo: Springer-Verlag, 1985. 287 p.
- Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976. 325 с.
