Стабилизация дискретной системы в критическом случае двух пар комплексно сопряженных корней, по модулю равных единице

В работе решена задача стабилизации дискретной системы в критическом случае двух пар комплексно сопряженных корней с модулями, равными единице. Полученный результат является развитием работ [1; 3].

Пусть дискретный процесс описывается управляемой системой конечно-разностных уравнений

^ p (t + 1) = ^ _p (t) cos а _р - ^ _p (t) sin а _р +

+ O _p (a( t ), y(t), u(t)),

^ p (t + 1) = ^ p (t) sin a _p + ^ p (t) cos a _p +

+ Y _p (c(t), y(t), u(t)),             (1)

y(t + 1) = Ay(t) + Sa(t) + Pu(t) +

+ Y(c(t),y(t),u(t)), p = 1, 2, t = 0, 1, 2, ..., ^ p , ^ p e R, у e Rⁿ, a — вектор с компонентами ^ p , ^ p, и e R^l; S - (n x 4) матрица; P — матрица размерности ( и x / ); У — re-мерная вектор-функция, функции Ф _р , V _р и компоненты функции У — аналитические функции с разложениями, начинающимися членами не ниже второго порядка; А — неособая (n x n) матрица, такая, что уравнение

| А -Х^ = 0           (2)

имеет только корни, по модулю неравные единице. Корни характеристического уравнения системы (1) — это корни уравнения (2) и

% ! = е «ф Х₂ = е ~«ф Х₃ = е « ' .

Х = е ^{а 21}, а„ e 0, — и —, — ^{4           , р} ( ^, 2 ) (2 ^,

Для системы (1) имеет место критический случай двух пар комплексно сопряженных корней, по модулю равных единице.

Будем стабилизировать систему (1) управлением

u(t) = С ■ y(t) +

+      ^      «(« 1 , « 2 , P l , р 2 )^ « -^ ^ , (3)

« 1 ⁺ « 2 ^{+ р} 1 ^+р 2 = ¹

где С — матрица размерности (I x re ), ге ( « 1 , « 2 , P 1 , P 2 ) e R ■ Причем в рассмотрение принимаются лишь первые члены ряда до однородной формы некоторой степени М. Найдем ограничения на матрицу С и векторы re(« 1 ,« 2 ,Р 1 ,Р 2 ), такие, чтобы нулевое решение системы (1) было асимптотически устойчиво.

Подставив управление (3) в третье уравнение системы (1), получим

y(t + 1) = ( А + PC)y(t) + Salt) +

+ Р ^       «(« 1 , « 2 , P l , P 2 )^ « ¹ ^ « ² B P ¹ В 2 ^{1 2} +

« 1 ⁺« 2 ^+р 1 ^+р 2 = ¹

+У a(t),y(t),Cy(t) + I

^        а ⁽ « 1 , « 2 , ^р 1 , ^р 2⁾ ^ « ¹ ^ « ² B^{P 1} В^{р 2}

« 1 ⁺ « 2 ^+р 1 ^+р 2 = ¹

Матрицу С выберем так, чтобы С = D — — Н, где Н = Р^т А, а D — такая постоянная матрица размерности ( / х и ), что модули собственных чисел матрицы (А + PC) меньше единицы.

Будем искать решение уравнения

(А + PC)y(t) + Sa(t) +

+ P £     a(ab a2,₽i,₽2)4a'£Pl1p22 + a1 +a2 +P1 +₽2 =1

f

+ Y a(t), y(t),Cy(t) + V

(i = 1, 2, 3, 4) — столбцы матрицы S; 0(X i ,X₂,p i , p 2 ) в общем случае зависит от Ь( Х 1 , Х 2 , р ₁, р ₂), где Х 1 + Х 2 + р ₁ + р ₂ < Х ₁ + ^{+ Х2} + ^{Р 1 + Р 2}'

В силу выбора матрицы С матрица А + + PC неособая. Следовательно,

Ь ( Х 1 , Х ₂, p i , р ₂) = ( А + PC) Ч^— Рй ( Х 1 , Х ₂, p i , р ₂) +

+ 0 ( Х 1 , Х 2 , р 1 , р ₂)). (7)

Таким образом, мы получили рекуррентные соотношения для определения b(X i , X₂, p i , p 2 >-

Подставив выражение (5) для y(t) в первое и второе уравнения системы (i), получим:

£       S ^{( a} _b ^a 2 , P i , P^ ? ¹ X ^a P ^{p 1} P₂ ² I = ⁰

^a 1 ^+a 2 ^+P i ^+P 2 = ¹                                       J

^p(t + 1) = ^p(t) cos ap - pp(t) sin ap + в виде ряда со степенями li, ^2> Hi , H2. Для этого в уравнении (4) заменим y(t) на выражение

y(t) =       £       b ( X _b % 2 , Р 1 , М 2 ) ^х

X ’ +^ 2 +M l +М 2 ⁼ 1

к ^Х 1 К^Х2 ^р 1 ^р 2

^x 4 1 4₂ ^p 1 ^p 2 ^{,               (5)}

где Ь ( Х _ь Х ₂ , р _ь р 2 ) ^{е R}". Выделим три случая: 1) Ф _р , V р , Y не зависят от м; 2) Y не зависит от м; 3) Ф р , V р , Y зависят от м.

В первом случае уравнение (4) имеет вид:

⁽ А + PC)     £      £> ( X _b Х ₂, p _b p ₂X ^X4X ² P ^p ’ P ^{p 2} =

X , +Х 2 + p , +* 2 =’

= Sc(t) - Р     £     e(aba2,Pi,р2)^“1 ^“2Pl1 Pp2 - ai +a2 +pi +p2 =i

-Y |a (t),       £       b(X , , X ₂, р , , f.M , C P f ’ n ^ ² I ■

V       ^X l ^+X 2 ^{+ р} , ^{+ р} 2 = ’                                    J

Приравнивая коэффициенты при одинаковых произведениях Е. ^ ¹^² P f * P f ² ’ получим следующие уравнения относительно b(X_b X₂, p i * 2 >

(А + PC)b(X_b X₂, p i , Р 2 ) = —Pe(X_b X₂, p i , P 2 ) +

+ ^ф _p

a(t),      £       Ь(Х ! , Х₂, р₁,р₂) x

^Х 1 ^+Х 2 ^{+ р} 1 ^+р 2 = ¹

х ^ ^ P " ¹ P 2 ²

P p (t + 1) = ^ p (t)sin a p + p p (t) cos a p +

+ ^ _p

a(t),      £       Ь(Х 1 , Х 2 ,р 1 , р₂)

V        ^Х 1 ^+Х 2 ^+р 1 ^+р 2 = i

' ^Х ^₂ ² P f ¹ P₂ ² ^ ■

Отсюда делаем вывод о том, что функции Ф p и V p зависят от параметров b(X i ,X₂,p i ,p₂) и переменных l p , Pp. Тогда стабилизация системы (i) в первом случае возможна, если параметры b(X i ,X₂,p i ,p 2 ) выбраны так, что нелинейное приближение системы (8) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение.

Теперь рассмотрим второй случай. С учетом выражений (3) и (5) для M(t) и y(t) соответственно, функции Ф _р ( р = 1, 2) примут вид:

+ 0(X_i, X₂, p i , p₂).               (6)

Ф р = Ф р a(t)

V

,     £

X +X 2 +f i +Р 2 = 1

b(X1, X2, р1, р2) х

Причем 0(i, 0,0,0) = —Sb 0(0,1,0,0) = — S2, 9(0,0,1,0) = — 53 , 0(0,0,0,1) = —S4, где Si, х ^X1^^2Pf1P2f2,                  (9)

С     £      b(X _v , " х , М ь М хХ " ¹ ^ л^{М 1} л^{М х} +

^Х 1 ^{+ Х} 2 ^{+ м} 1 ⁺ ^ 2 ^{— 1}

⁺      £       s ⁽ a_b « х , p_b p₂ ⁾ ^ “ ¹ ^ “ ² л ? ¹ л₂ ^х

« 1 +« х +0 1 + 0 2 ^{— 1}

В силу выбора матрицы С

С £       b(" i , Х ₂ , м^ М 2 ^i"¹ ^ " ² Л^{М 1} Л^{М 2 —}

" i +" 2 +М 1 +М 2 — 1

^— D     £      b( ^X i , ^X 2 , M l , М 2 А А² Л^{М 1} Л^{М 2} -

^X 1 ^+X 2 ^+M l ^+M 2 ^{— 1}

-H      £       b(X_t, X₂, M 1 , МхХ " ¹ ^ ^{x 2} л^{М 1} л^{М х} ■

X 1 + X x + M 1 + M x — 1

Из определения матрицы H и соотноше-нийдля MX , ,Х₂,M 1 ,M 2 ) следует, что

D £       Ь ( Х_Ь X 2 , M i , M 2 ) ^^{X l} ^ X² Л^{М 1} Л^{М 2} —

^X 1 ^+X 2 ⁺ M ^+M 2 ^{— 1}

— D £      (A + PC) ( - Pa(X i , " 2 , M i , М 2 ) +

X i +" 2 +M i +M 2 — i

+ o ( x_b x ₂, M 1 , m x )) ^ " ¹ ^ " ² л^{М 1} л^{М х} =

—       £      P^{- 1} 9(X_b X₂, M 1 , m x^X¹ ^ h M ¹ л М " -

^X 1 ^+X 2 ^+M 1 ^+m 2 ^{— 1}

£       s ⁽ "_b ^X ₂, M 1 , М х^ " ^{1 Е}" ^х л^{М 1} л^{М х} ■

" 1 +X " +M 1 + М х — 1

Тогда (9) можно переписать следующим образом

Ф = Ф

Р Р

a(t),        £       b(" 1 , X " , M 1 ,M 2 ) ^х

V       ^Х 1 ^+Х 2 ^+M 1 ^+m 2 ^{— 1}

х ^ Х ¹ ^ Х ² л М ¹ Л х ^{М 2} ,

P ^{- 1}     £     9 ( Х_ь ^Х 2 ,Щ,М 2 )№л^ ² -

^Х 1 + ^Х 2 ⁺ М ^{+ м} 2 = ¹

^- Н     £      b (^x i , ^Х 2 , М 1 , М 2 )^^Л^{М 1} Л^{М 2} I ■

X i +Х 2 +М 1 +М 2 = 1                                      )

Таким образом, функции Ф _р ( р = 1, 2), как и в первом случае, зависят только от параметров Ь(Х_Ь Х 2 , M i , рЛ и переменных ^ _р , Л р -Такой же вывод делаем относительно

Y р (р — 1, ")■ Следовательно, стабилизация системы (1) возможна, если параметры b(X i ,Х 2 ,M i ,M 2 ) выбраны так, что нелинейное приближение критической части системы (1) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение. Третий случай аналогичными преобразованиями сводится к первому. При этом управление имеет следующий вид:

_u ( t ) = p ^{- 1}     £       е ( Х 1 , Х х , М 1 , м х ) ^х

^Х 1 + ^Х х ^+м 1 ^+м " = ¹

х Е; " ^ " ² h^{M i} л^{М 2} - н £       6 ( " i , " 2 , M i , м 2 ) х

^X i ^+Х 2 ^+M i ^+м 2 ^{— i}

X ^Х ² л М ¹ л М ² ■            (11)

Далее перейдем к решению вопроса об устойчивости критической части системы (1)

^ p (t + 1) — ^ p (t) cos « р - л p (t)sin « р +

+ ф _р (a(t)),

Л р ( t + 1 ) — ^ р ( t ) sin « р - Л р ( t ) cos « р +

⁺ ^ р ( о ( ^t ) ) ■

Здесь ф р , V р — нелинейные части уравнений системы (1) после постановок (5) и (11).

Соответствующими преобразованиями [4] система (12) сводится к системе

Хр(^ + 1) — е “ ^рТр(^) + Х р (х \_ , T_t, х ₂ , х ₂ ),

Х р ( ^ + 1 ) — е “ ^рХр ( £ ) + Х р ( X i , X i , Х 2 , Х 2 ) ■

Х р , Л р — комплексно сопряженные аналитические функции, разложение которых в степенной ряд начинается членами не ниже второго порядка.

Согласно работе [2] система (13) эквивалентна системе

W i (^ + 1) = W ₁ + f 1^m) (W ₁ ,W- ₂ ) + ... +

+ f 1^{( N )} (W 1 ,W 2 )+ ...,

W₂ ( t + 1 ) = W₂ + f₂ ^{( m )} ( W ₁ ,W ₂ ) + ... + (14)

+ f2( V (W1,W2) + ..., где ХрХр = Wр, f^ — однородная форма /-го порядка.

Рассмотрим первую разность функции V = Y 1 W 1 + y ₂ W ₂ (у 1 > 0, 7 2 > 0) на решениях системы (14)

ая| (14) - nfCW i W + W^WW + ... .

Пусть

f ( ^m4W_x ,W₂) =   2 ^C"²W ^S * W₂ ^{$ 2}.

p                               p        1    2

5 1 + " 2 = m

ДУ|₍ i ₄₎<  W^m (t)