Стабилизация многосвязной непрерывно-дискретной неавтономной системы

В статье рассматриваются многосвязные управляемые непрерывно-дискретные неавтономные системы с неперекрывающимися декомпозициями, для которых найдены кусочно-постоянные управляющие воздействия, стабилизирующие положения равновесия указанных систем.

Многие современные производственные, экономические, информационные, социальные и др. системы имеют сложную иерар хическую структуру и поэтому моделируются в виде многосвязных динамических систем. Для более удобного исследования их

обычно расчленяют на несколько более простых подсистем, т. е. выполняют декомпозицию.

Для упрощения исследования уравнения многосвязных динамических систем обычно расчленяют на несколько более простых, т. е. выполняется их декомпозиция. В данной статье будем рассматривать непрерывнодискретную многосвязную систему, разбитую на q подсистем, т. е.

x_s = A_s (t)x_s + b_s(t)u_s ( ph ) +

+ Z ^Asj (t)x / , s = 1, q.            (1)

/ =1 l* ^s

Здесь x e Rn, и e Rr, r < и, xs e R"s, x = т т T

= Ix{ , ...,xq I ; A5(t) и Asj(t) — функцио нальные матрицы размерности соответственно ns х ns и ns x и/; bs(t) — функциональный вектор-столбец размерности ns, bs (t) = = (bs1(t), ..., bsq(t)T ; s, j = 1,q. В качестве управления us выберем кусочно-постоянную функцию, зависящую от дискретных моментов времени, т. е. us (t) = us (ph^, t e [ph; (p + 1) h]. Здесь h > 0 — шаг квантования, p = 0,l,2, ... ; xs (0) = xso — начальное условие (s = 1, q), характеризующее начальное отклонение от программного режима. Здесь и далее индекс т означает транспонирование.

Отметим, что ни одна из компонент вектора x_s не является одновременно компонентой какого-либо вектора Х у другой подсистемы, т. е. рассматривается случай неперекры-вающихся декомпозиций [1].

Будем предполагать, что матрицы As(t) и векторы Bs(t) могут быть представлены в виде us = стxs (ph),             (3)

где ст = (с^, ..., cT|, s = 1,q есть постоян ный вектор. Кроме того, введем в рассмотре-T ние непрерывные управления us = cs xs, которые стабилизируют систему xs = [А° + b°cTj xs, s = 1,q.       (4)

Докажем, что система (1) стабилизируема кусочно-постоянным управлением (3).

Подставив управления us и us в систему (1), получим

Xs = [As(t)xs + bs(t)«s] - bs(t) (ms - ms) + q                   ___

+ Z Asj (t)x/, s = 1, q /=1, j*s или с учетом условий (2.1) будем иметь

X _s = [ А⁰ + b ° c^T ] x_s + [AA_s ( t ) + Ab_s ( t ) c_s ^T ] x_s

q

• - ^bs ^{( t ) c T} ( ^x s - ^xs ( ph ) ) ⁺ E ^Asj ( ^t ) ^xj - ^s = j =1, j* ^s

В качестве функции Ляпунова для стемы (1) выберем векторную функцию гл. 2, 5]

1, q.

си-[6

^^»

,

^V ( ^х ) = ( ^ 1 (п) ^{, V} 2 ( ^х 2 ) ^, ...^, V q ( x q ^J ^, где V_s ( x_s ) — функции Ляпунова, решающие вопрос об асимптотической устойчивости систем (4). Данные функции являются квадратичными формами [5] и удовлетворяют условиям Н. Н. Красовского [3, гл. 3]

^ 1 s Iksl |² ^ V_s ( ^x s ) < X 2 s ||^x s| ² ,

A_s ( t ) = А + AA_s (t),

B_s ( t ) = B_s⁰ + AB_s (t),

(2.1)

B V_s ( X_s ) 5 ^x s

< ^slksl,

где А$ и B s — постоянные матрицы и векторы, а AA_s ( t ) и AB_s ( t ) функциональные матрица и вектор, такие, что для всех t > t o

dV_s ( x_s ) dt

< - ^slksl2,

s = 1, q.

||AA s ( t )|| < s i s и ||AB s ( t )|| <  _S 2 s ,   (2.2)

где S j _s > 0 и S 2 _s > 0 — достаточно малые числа, s = 1, q. Далее пусть управления u_s формируются на основании измерения переменных x_s. Тогда M_s (s = 1, q) зависят только от x_s(ph), и формируются по правилу

Здесь X 1 _s, X 2 _s, c_s и k_s — положительные постоянные числа, s = 1, q. Тогда производную функции Ляпунова в силу системы (1) можно записать в виде:

dVs (xs)

dVs (xs)

^dt     ( 1 )

dt

+ ( gradV_s ( x_s ) ) ^T х

X

( ^{A A}s ^ ) + ^b_s ( ^t ) c^T _s )^x_s

q

+ E ^Asj ^{( t ) x}j - j =1

7* ^s

q

⁺ E ^A s ( ^t ) ^zs j =i, / * s

+

q

E Asj (t)x j ( pk)

j - i, 7

^^^^^^B

A

^bs ( ^t ) ^{c T} ( ^x s - ^xs ( p ^h ) ) . ^s = ¹ q-

( ^A s ( ^t ) ^{+ b} s ^c s^T ) ^T

q xT ( pk) + E ^Asj (t) zj yT

+

j- i,

^j * ^s

С учетом неравенств (5) получаем:

dVs dt

^ -b_s Iks II² - y s Iks II • |к^ - ^x s ( p^h)\\ +

(о

+ 1 ksll L IK (t )|| J |^x A I-               ⁽⁶⁾

j=1 7* s где 0 < фs < ks - ms ||aAs (t) + Abs (t) k" , o < Ys = ms ■ ||bs (t)|| ■ cE s = 1 q-

Найдем далее оценки разностей ||x_s - х_Х ( pb)\\ i s = 1, q- Для этого введем переменные z_s = x_s - x_s ( ph ) ; s = 1, q- Тогда система (1) принимает вид:

^{dz L} = A⁰z„ + AA„ ( t ) z. + dt ^{s s s ( ) s}

+ (as (t) + bs (t) c*sT )xs (ph) + q                q                        ___

+ E Asj (t) zj + E Asj (t) xj (ph) s = 1 q-7=1,

j*s

q                  t

+ E ( ^Asj ( ^t ) ^xj ( p ^k ) ) j -1, 7* ^s

^zs -

Осуществим в (8) преобразование p_s = vk² ( z_s ) , из которого с учетом вида функций V_s ( z_s ) следует р_s = ||z_s| , s = 1, q ^ Введем в рассмотрение оценки

I A 0 + A s^0T|| + | \M T ( t ) + AA s ( t )| <| |a0 + A s^0T|| + + 2 _{S 1} = 20_s,

||As ( t ) + b s ( t ) c f || <  11 A s⁰ + b s⁰ c s^T|| + 6 1 + £ 2 c^T_s =

= H s , ||^As/ ( ^t )|| < ^ sy ,

q

E ^Asj ( ^t ) ^xj ( p ^k ) 7 =1, 7* ^s

q

< E IK ( ^t )|| I ^х) ( p^k)\ <  7=1, 7* ^s

< E H sj ||^x j ( p ^k)| , ^s = ^1,q^- i= 1, j* s

В качестве функции Ляпунова для системы (7) выберем векторную функцию ^V ( ^z 1^- ■■■, ^zq ) = ( ^V 1 ( ^z 1 ) ^{- V} 2 ( ^z 2 ) ^- -- ^Vq ( ^zq )f ^-

С учетом этих обозначений и преобразования p_s = v k ² ( z_s ) система (8) преобразуется в систему дифференциальных неравенств

где V_s ( z_s ) = - ^T z_s ; s = 1, q. Найдем производную функции Ляпунова в силу системы (7)

d V_s ( z_s ) dt

+ z T

= Z s ^T ( a 0 ^T + A¹ ^ V ( 7 )

т

( A A s ( t ) + A A s (t) ) Z s +

(4s (t) + bs (t) c*T )^s (ph ) +

d|s- < 0sps + Hs ||xs (ph)\ + q               q       и и

+ E H sj ^p j + E H sj ^xj ( pb^ , j =1,              j =1,

j*s           ]*s рs (ph) = o, s = 1, q

или в векторно-матричной форме d l < ,4р + MX ( ph) ,

где

Г 0 1

■Л

А =

M

^X ( ph ) =

Используя

■ ■■

V 9 7 1

Г 9 1

■ ■■

V9 7 1

■ ■■

■■■ ш.'

■■■ 9 2 7

■ ■■ ■■■

■■■ 7 J 9 12 ■■■ 9 1q "  9 2 ■■■ 9 2 7

■ ■■ ■■■ ■■■

^ q 2

' ^ 1 ⁽ P ^h)' ^ 2 ( P ^h )

,

,

■■■ H9 J

/V        / /V

- p = ( P 1 .

■

■■,

v ^Xq ( P ^h ) J результаты [4],

получаем

||^р (⁽ Р ^{+ 1 ) h})|| <

которого следует

«IMl • И ⁽ P^h)   ( P+E ) h

------------------I c _ 1 ИЗ

P + e

II2 ^ )|| <

«Ж^М1 x( p+E ) h _ д

P + E ⁽         7

t e [ph; ( p + 1 ) h],             (9)

где a ( e ) > 0, e > 0, P = max Re X j ( A ) , j = 1, q ,

Величина —— (e^P+e^h - 1 при достаточно P + e малом h может быть оценена следующим об-

разом: 0 <  ^ “ ( M^{+ E} ) ^h - 1 ) <  2 ^ h , где и не зависит от h, h < h , , h , > 0 [2, с. Тогда

^ >  0

II² ( ^t )|| < ²^|и -I|х( ph )||          ⁽¹⁰⁾

при t e[ ph ; ( p + 1 ) h ] , h < h , , h , > 0, p = 1, 2, ... .

Учитывая неравенство (9), перепишем систему (6) в виде системы неравенств dp^ _ф^  ^^  Ч Ц^

• <      12 ⁺    12 ^ 1/2 ^p 1

• ^{dt     2 X} 1s    ²4s 1= 1 4 sj

V j* /

)

• _ 7 /   o| MjHphl /(P+E )hA

• " XV² •      P + E ^{(        7}

J

где Ps = M2 (xs ), -^1/2 ^ Iks II ^ -^4 - s = 1,7, X25           X1s или в векторно-матричной форме

М <  ^4 р + l ( ph^ ) , t е [ ph , ( p + 1 ) h^ , (11)

В неравенстве (11)

А =	- Ф 1 2 x 2'2   2 ■ ■■        -	^ 1 9 12	^ 1 9 17 Л	’
		11/2x12 ■■■ X 11 X 12 ^^ 2X 12     ■■■ 2X 22	2X 12x12 2 X 11 X 1 7
	^ 7 ^ 7 1		Ф 7
	•■■ X. V 77 7 1	■ ■■          ■■■	2X272 27 V
	M 1 Y 1	.^M X(p- P + E (	E ) h - 1 ) |x,	ph)||
L ( ph ) =	2 x 2, 2 x 222 ,,,
	mq l q	«1 Mil C(p+< P+E (	) h - 1 )| ^ q ( ph)||
	V 2 X 2 q 2 X 2 q

За счет выбора коэффициентов усиления с т cs

( s = 1, q j линейной управляемой системы

всегда можно обеспечить ее асимптотическую устойчивость [2, гл. 1]. Это означает, что коэффициенты усиления c_s ( s = 1, q^ должны быть выбраны так, чтобы матрица ^v

А удовлетворяла условиям Севастьянова — Котелянского [1, с. 206]. Будем считать, что коэффициенты с^ такие, что Re X j ( Т ) <  0, s , j = 1, q , Система сравнения для системы дифференциальных неравенств (11) имеет вид:

а у

— = Av + L (ph), at откуда

^                             ^

у ( t ) = e^A ^ ^{- p}^ ^ y ( ph ) + j e^A ^ ^-T^L ( ph ) dv^

ph

Используя оценку   ||L ( ph^ < ц ||Х ( рй)|| <

< ^L ||у ( ph )\,     где X * = min { X _{1 s} } ,      ц ₅ <

^ms Y S

^V2

^{2 X} 1 s ^X 2 s

. «И/^л     теша_

I 6           1 , о — 1, М, реша

P + 8

ем данное уравнение

||у (t)|| < «Ур +Е| )(t ph) ||у (ph) х x'i +------n------л _ е-(р| +=| х*-ph) \), I    X* (P1 + 81)(                  ^

t е [ ph; ( р + 1 ) h]

или, при t = ( р + 1 ) h,

||у ((p + 1) h)|| < а^1 +E|)(t ph) ||у (h)|| х х 1 +-----Y-----

I    X * ( P 1 + 8 1 )

^{( 1} - ⁶

^{- ( р} 1 ^+s 1 ^{) h}

По теореме сравнения [1, с. 191] получим

||Р ( ( Р ^{+ 1} ) ^h )|| < « 1 ||р ( P ^h)\ ^х

х

₆ ^{( р} 1 ⁺⁸ 1 ^{) h} ₊         ^Y

X ^{( р} 1 + s^

или окончательно

II р ( t )|| < ||У ( ph) ( k *e<^^h + у ( 1 - >^{+E 1}) ^h ) ) Величина П — ( x * e ^{( P 1 +s ) h} + у ( 1 - e ^{( P 1 +s ) h} )) оценивается при достаточно малом h как

О -О <  1 - Eh ,           (12)

где Е — ( е_ь ..., e_q ) , e_s > 0, (s — 1,7) -постоянные, не зависящие от величины h, h < h 2 , h 2 > 0. Учитывая оценки (12), будем иметь:

II Р ( ^t )| < ( ¹ - Eh )||У ( рк) .         ⁽¹³⁾

Положим t — ( р + 1 ) h, тогда

||Р ((Р + 1)h) < (1 - Eh)|У (Ph)|| или |р ((p + 1) h)|| < (1 - Eh)p У (0)||. (14)

Из неравенств (14) и |к | < Рл. следует, что х^2

||x_s ( ph)|| ^ 0 при р ^ да. Следовательно, ||^s (t )|| ^ 0 при t ^ да, так как, используя оценку (10),

||x_s(t)\\ < ||x_s(ph)|| + У₅ (t) - x_s (ph)|| <

• < y₅(ph)|| + 2^h |M|| ■ ||x_s (ph) =    (15)

= ( 1 + 2^|M|| h ) p, (ph) |.

В силу неравенств (13), (14), (15) и неравенства У^Ц < -ру получим хг;

1 + 2^ МА) (1 - Е^) ^p„ _z

II х (^ )|| <1---------L1У (0)|| < х

< с|У (0)||, где с — 1 + 2^ ^ h Um (1 - Eh)p , h < h0 — X     p^™

— min(hj, h' 2 ). Следовательно, при 5 ( s ) — е/ с и |У (0)|| < б будет |У (t)|| < s при всех t > 0 и, как было показано выше, ||x_s(t)|| ^ 0 при t ^ да. Таким образом, условия асимптотической устойчивости выполнены и имеет место следующая теорема.

Теорема. Если для нестационарной многосвязной системы (1), коэффициенты которой удовлетворяют условиям (2.1)-

• (2.2),    выполняются условия: 1) векторы Ь⁰, А ⁰ Ь ⁰ , ..., ( Л⁰ ) Ь° линейно независимы; 2) существуют коэффициенты усиления

cf (5 = 1, q) такие, что система (4) асимптоти чески устойчива и Re

X j ^ v4 ) <  0, то нулевое

решение управляемой гибридной системы с неперекрывающимися декомпозициями (1) будет при h < h 0 асимптотически устойчивым.