Стабилизация решений для стохастической динамической системы Вентцеля в круге и на его границе

Пусть Q = { ( r, 3 ) : r е [0, R ), 3 е [0,2 п )} - круг в I² с границей Г = {(3) : 3 е [0,2 п )}. На компакте ОоГ рассмотрим систему из двух уравнений, описывающих процесс фильтрации влаги [1]

(Л - Ar,3,^ ) ut = ar,3,^11 + 0u, u = (t, r,3), (t, r,3)е R x О,(1)

(Л-Ав^ ) Vt = jAf^v + d Ru + 5v, v = ( t ,3),(t ,3)е!хГ,(2)

где

A„=(r-R4(R-r)AL4, Ae=^,6k=A .(3)

^{r 3  (}      ’ d r ^⁽      ' d r )  B3’    ³  Й 3 ^{2    R}   d r r . R

К данной системе присовокупим условие согласования, что гарантирует единственность полученного решения:

tr u = v на ЖхГ,(4)

и снабдим ее начальными условиями

(0, r, 3) = Uo ( r, 3), V ( 0,3) = Vo (3).(5)

Назовем решение задачи (1)–(5) детерминированным решением динамической системы Вентцеля. Если мы заменим и и v , заданные на О и Г соответственно, на стохастические процессы ^ = ^ ( t ) и х = х ( t ) , определенные на интервале ( 0, г ) , получим стохастическую динамическую систему Вентцеля, где производная от стохастических процессов £ ( t ) , х ( t ) понимается как производная Нельсона-Гликлиха [2] от стохастического процесса £ = £ ( t ) и х = х ( t ) соответственно.

Поскольку собственные векторы оператора Лапласа в полярной системе координат содержат специальные функции, здесь символом Ar 3 в (3) обозначен модифицированный оператор Лап ласа в О, а в (3) символом А3 обозначен модифицированный оператор Лапласа-Бельтрами на Г. Символом dR обозначена внешняя по отношению к О нормаль. Параметры а, у,Л,/3,5 еЖ характеризуют среду.

В работе [3] исследуется разрешимость стохастического линейного уравнения соболевского типа при условии, что оператор М является (L,p) -ограниченным, где p может быть нулем или натуральным числом. Впоследствии в работах [4, 5] это уравнение было изучено для случаев, когда оператор М обладает свойствами (L,p) -секториальности и (L,p) -радиальности. Во всех этих исследованиях [3-5] рассматривались как классическая задача Коши, так и задача Шоуолтера-Сидорова. Стоит отметить работу [6], в которой рассматриваются более общие начальноконечные условия для стохастических уравнений соболевского типа. В [6] задачи Коши и Шоуолтера-Сидорова формулируются и исследуются для уравнений соболевского типа более высокого порядка. В [3] полученные теоретические результаты применяются к изучению разрешимости задач Коши и Шоуолтера–Сидорова для стохастического уравнения Баренблатта–Желтова– Кочиной. В [7] решается задача стабилизации для этого же уравнения. В [8] исследуется система Вентцеля для стохастического уравнения Баренблатта–Желтова–Кочиной в круге и на его границе и доказывается существование решений. Настоящая работа посвящена изучению устойчивости решений стохастической динамической системы уравнений Вентцеля в круге и на его границе, а также решению задачи стабилизации для неустойчивых решений этой системы.

Работа помимо введения и списка литературы состоит из четырех частей. В первой части рассматривается существование и единственность детерминированной динамической системы Вентцеля в круге и на ее границе. Вторая часть содержит устойчивость полученного решения для детерминированной динамической системы Вентцеля. Третья часть содержит стабилизацию решения для детерминированной динамической системы Вентцеля. Четвертая часть содержит стабилизацию решения для стохастической динамической системы Вентцеля.

Аналитическое решение детерминированной системы Вентцеля

Для получения аналитического решения детерминированной динамической системы Вентце-ля (1)-(5) рассмотрим следующий ряд:

”      I u = ^ exp t к=2    V

в - а к ² ] ( R - rУ

. 2

2 R^k

₍ ^к                                        ” I

—( а_к cos кв + Ь_к sin кв) + ^ exp t

k = 1

в - а к ² '

Л + к ²  ,

( c k cos к в + d_k sin к в ) ,  (6)

где

R ² ?        ₍ R - г _У ^к                    R 2 ^П

( R - г ) ^к

----£—sin k ф d в rdr

2 R^k

a_k =J J u °( г, в )----- к— cos k ф d в гdг, b_k =1 I u ₀( г, в )

0 0          2 Rk0 0

2n2

с_к = J ^v o ( в ) cos k ф d в ,d_k = J v ₀ ( в ) sin k ф d в .

Нетрудно заметить, что построенный выше ряд является формальным решением уравнения (1). Причем если ряды в (6) равномерно сходятся, то перед нами решение задачи (1), (5), где д _Ru = 0. Учитывая это, можно построить решение задачи (2), (5)

v

I

= Z exp t к=1     V

d - / к ² '

( с_к cos к в + d_k sin к в) ,

где в случае а = у , в = S решения задачи (1)-(5) будут удовлетворять условию согласования (4).

Замыкание span{(R ) ^{- 1} ( R - г ) ^к cos к ф , ( R^k ) ^{- 1} ( R - г ) ^к sin к ф : к g N \{1}, г g (0, R ), в g [0,2 п )} , порожденное скалярным произведением

2 n R

0 0

обозначим символом A ( Q ) . Далее замыкание span {cos к ф , sin k ф , в G [0,2 п )} по норме, порожденной скалярным произведением

Гончаров Н.С., Китаева О.Г., Свиридюк Г.А.

2 п

О обозначим символом A (г). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для любых и 0 g A ( Q ) и v₀ g A ( г ) , таких, что выполнено условие согласования, и для коэффициентов а , в , У , ^ , A gK , таких, что выполнено следующее условие a = Y, в = ^, а ^в ^ k 2 , A ^ k ² , где k g N, существует единственное решение ( и, v ) g C ^ ( К; A ( Q ) ® A ( г ) ) динамической системы Вентцеля, состоящей из уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной (1)-(2).

Устойчивость решений детерминированной системы Вентцеля

Пусть U = A (Q)© A (г) . Норма || • Ни = || • || A(Q)+ II • II A(г) , где II • II A(Q) и II • II A(г) порождаются скалярными произведениями в A (Q) и A (г).

Определение 1. Решение и = и ( t ) системы (1)-(5) экспоненциально устойчиво , если существуют такие константы N >  0 и v >  0, что при всех t g R + и любых и ₀ g A ( Q ) , v ₀ g A ( г ) решение и = и ( t ) системы (1)-(5) удовлетворяет экспоненциальной оценке

II и(t) U < Ne ^{- vt} (II и 0 II a ( q )+ II V 0 II A ( г ) ) •

Определение 2. Решение и = и ( t ) системы (1)-(5) называется неустойчивым , если существует е >  0 при некоторых и₀ g A ( Q ) , v ₀ g A ( г ) и t >  0 выполнено

^{II и} ( t ^{)- и} 0 ^II A ( Q ) + ^{II и (} t ^{)- V} 0 ^II А ( г ) - ^е

Теорема 2. Пусть а = у, в = S, —A ^ k , — ^ k , а, в g 1+ . Если а > в, A > —1, тогда при а любых и0 g A (Q), v0 g А (г) решение системы (1)-(5) экспоненциально устойчиво.

И -            в — аk2                                               I в — аk 2

----—, k gN k Тогда A + k²

Действительно, ----- т-< 0 при а >  в , A >— 1. Обозначим — v = max s A + k ^{2                                             1}

справедлива оценка exp

в — а k ²

t

A + k

—1

^v 1 t, v 1 >  0. Для решения и = и ( t )

системы (1)–(5) выпол-

нено да и= L exp t k=2    V

в — а k ² ^ ( R — r )

2 R^k

k

—( a_k cos k O + b_k sin k 0 )

A ( Q )

да

+ L exp t k=1     V

в — а k ² '

A + k²  ,

( c_k cos k 0 + d_k sin k O )

< C 1 e ’^H u cI A (q) + C 2 e ^t N \_A (^.

A ( г )

2 ^в    2

Теорема 3. Пусть а = у, в = ^, —A ^ k , — ^ k , а, в g 1+ . Если а > в, A < —1, тогда при а любых и0 g A (Q), v0 g А (г) решение системы (1)-(5) неустойчиво.

Пусть а >  в , A < — 1. Тогда — ---< 0 при A > — k²

A + k²

^{в — а k 2}          _:    , 2

и  ----- >  0 при A < — k . Обозначим

A + k²

— v 1 = max <

в — а^

5 , ^A A + k ²

— 1

k ² > , v ₂ = min <

^{в а k} 2 , A <— k ² A + k ²

> , v 1 , v ₂ >  0 , и m = max{ k : A <— k 2 } .

Тогда решение и = и (t) системы (1)-(5) можно представить в виде и = и1 + и2 , где u1

к

/ \            в—a к

(')= S exp t —л к=m+1    V Л + к

u ₂

m      /

(t)=S exp t к=2    V

^{в — а к}

Л + к ² I

( R — r ) ^к 2 R^k

( R — r ) ) 2 R^k

( a k cos к в + b_k sin кв) + S exp t к = m    V

m — i      [

(ак cos кв+Ьк sin kв)+S exp t к=1     V

^{в — a k}

Л + к ²

2 ^{в—a k}

Л + к ²

( с_к cos к в + d_k sin к в') , (9)

( с_к cos к в + d_k sin к в ) , (10)

Справедливы следующие оценки:

|| u , ( t ) U <  C3 e-ч'|. о| A ( _{O )} + C 4 e -'1 '|_1Ь| A _(n ,

|| u 2( t ) | U < C 5 e '■ t| u „I|_ЖП1 + С б e-' ²Ы|_жп ,                         (12)

Очевидно, решение u = u ( t ) системы (1)-(5) неустойчиво.

Стабилизация решений детерминированной системы Вентцеля

в

Пусть коэффициенты a = у, в = 8, —Л 2 к , —к2 к , а, в eR+ , a > в , Л < —1. Тогда в си-a лу теоремы 3 решение u = u (t) системы (1)-(5) неустойчиво. Поставим следующую задачу стабилизации. Требуется найти такое управление в области fu и на границе области fv , что реше- ния системы

(Л — Ar ,в ) ut = aAr ,вu + вu + fu, u = u (t, r, в), (t, r,в) g IxQ,(13)

(Л — Ав ) vt = ^v+ д Ru + 8v + fv, v = v (t ,в), (t ,в)еЖхГ,(14)

tru = v на Kx r,(15)

будут экспоненциально устойчивы. Управление f и f будем искать с помощью контура обратной связи fu=Bu,fv=Bv,(16)

где B – линейный оператор.

Обозначим через n номер максимального значения в — ak2 Л + к2

Л <— к ² > .

Оператор B можно представить в виде

B =

О , Л >— к ²;

/е — в + a n )1, Л <— к ².

Тогда решение системы (1)–(5), замкнутой контуром обратной связи (17), имеет вид

m u (t ) = u1 (t) + S exp t к=2     v

е + a n — a k  ( R — r )

Л + к ²

2 R^k

k

— ( а_к cos к в + Ь_к sin кв)

m — 1     A

+S exp t к=1     V

е + a n — a к

Л + к²    ,

( с_к cos к в + 8_к sin к в )

и в силу (11) экспоненциально устойчиво. Справедлива

в

Теорема 4. Пусть a = у, в = 8, —Л 2 к , —2 к , a, веК+ . Если a > в, Л <—1, тогда при a любых u0 g A (Q), v0 g A (Г) решение системы (13)-(15), замкнутое обратной связью (16), где оператор B имеет вид (17), экспоненциально устойчиво.

Стабилизация решений стохастической системы Вентцеля

Пусть U = { u g W ₂ ² ( Q ) ® W ₂ ² ( Г ) : д_Ru = 0}, F = L ₂ ( Q ) ® L ₂ ( Г ) . Следуя [9] построим пространства случайных K -величин . Случайные K -величины £ , / g U_kL₂ имеют вид

Гончаров Н.С., Китаева О.Г., Свиридюк Г.А.

ю

£ = Ё ^k^k^k, X = ^ лк XX'к, к=1

где { ф _к } - семейство собственных функций модифицированного оператора Лапласа-Бельтрами Л _{r O} gC( U ; F ) ортонормированных в смысле скалярного произведения (• , •) из L 2 ( Q ) ; { щ _к } -семейство собственных функций модифицированного оператора Лапласа – Бельтрами А _о g£( U ; F ) ортонормированных в смысле скалярного произведения (• , -) из L 2 ( Г ) . Норму в U_K L ₂ зададим формулой

II£l UkL2 +1И UrLy =^ ^k D£k +^ ^k DXk. K 2        K 2   k=1

Рассмотрим стохастическую систему Вентцеля:

(A-Аrt0)I(t) = аАr£t) + в£(t),t g(0,r),£gQ,(20)

К данной системе присовокупим условие согласования, что гарантирует единственность по- лученного решения tr £( t ) = x( t),

и снабдим ее начальными условиями

£ ( 0 ) = £ 0 , x ( 0 ) = X o .

Рассмотрим следующий ряд:

^£ ( t ) = E exp t k = 2     V

£-0 2 ] (R-У

X + k ² J 2 R^k

(ak cos kO+bk sin kO) + У exp t k=1     V

2 ^{в - a k} A + k ² J

( c k cos k O + d k sin k O ) (24)

где

R 2n  (R-rt        _        R 2n  (R-Xk        _ ak =1 J £o    ^  cos ky dO rdr, bk =f I £0----£— sin kydO rdr

₀₀     2 R^k                 ₀₀     2 R^k

2n                     2n ck = J X0cos k^dd, dk = J x0 sin kydO.

Нетрудно заметить, что построенный выше ряд является формальным решением уравнения (20). Причем если ряды в (24) равномерно сходятся, то перед нами решение задачи (20), (23), где d _Ru = 0. Учитывая это, можно построить решение задачи (21), (23)

и ( t ) = £ exp t k = 1      V

0 - r k ² '

A + k ² _y

( c k cos k O + d k sin k O ) ,

где в случае а = у , в = д решения задачи (20)-(23) будут удовлетворять условию согласования (22).

Теорема 5. Для любых £0 g UKL2 (Q) и х0 g UKL2 (Г) и коэффициентов а, в, у, д, Ag R, в таких, что а = у, в = д, а A ^ k , —^ k , где k g N, существует единственное решение

а

£ g C ^z (R₊; U K L2) стохастической системы Вентцеля (20)-(23).

Определение 3. Решение £ = £ ( t ) системы (20)-(23) экспоненциально устойчиво , если существуют такие константы N >  0 и v >  0, что при всех t g К ₊ и любых £ ₀ g U_kL₂ ( Q ) и X ₀ g U_kL₂ ( Г ) решение £ = £ ( t ) системы (20)-(23) удовлетворяет экспоненциальной оценке

|| £ ( t ) || U K L 2 <  Ne ^v (|| £ 0 || U K L 2 + || X 0 W .                         (26)

Определение 4. Решение £ = £ ( t ) системы (20)-(23) называется неустойчивым, если существует z >  0 при некоторых £ ₀ е U K L 2 ( О ) и х ₀ е U K L 2 ( Г ) и t >  0 выполнено

Теорема 6. Пусть a = у, в = д, -Л ^ k , — ^ к , а, в е ®+ • Если a > в, Л > -1, тогда при а любых £0 е UKL2 (О) и Х0 е UKL2 (Г) решение системы (20)-(23) экспоненциально устойчиво.

Теорема 7. Пусть а = у, в = д, -Л ^ k , — ^ к , а, в е 1+ . Если а > в, Л < -1, тогда при а любых £0 е UKL2 (О) и х0 е UKL2 (Г) решение системы (20)-(23) неустойчиво. в

Пусть коэффициенты а = у, в = д, -Л ^ к , -/ к , а, в е 1+ , а > в , Л < -1. Тогда в си-а лу теоремы 3 решение u = u (t) системы (20)-(23) неустойчиво. Поставим следующую задачу стабилизации. Требуется найти такое управление в области ηξ и на границе области ηχ , что решения системы

(Л-ДrJ)i(t) = аДrХ(t) + в£(t) + П£,t е(0,г),^еО,(27)

(Л-Д r ,в ) i (t ) = аД r Х( t) + в£( t ) + П£, t е( 0,^) ,£еО,(28)

tr ^ ( t ) = Х (t)

будут экспоненциально устойчивы. Управление η и η_χ будем искать с помощью контура обратной связи

ηξ = Bξ,ηχ = Bχ,(30)

где B – линейный оператор.

Теорема 8. Пусть а = у , в = д , - Л ^ к ² , в/ а ^ к² , а,в е 1 + . Если а к ² >  в , Л < - 1 , тогда при любых £ ₀ е U K L 2 ( О ) и х ₀ е U K L 2 ( Г ) решение системы (27)-(29), замкнутое обратной связью (30), где оператор B имеет вид (17), экспоненциально устойчиво.

Все рассуждения и оценки при доказательстве теорем 5–8 аналогичны детерминированному случаю и поэтому не приводятся.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда 25-21-20017,