Стабилизация решений стохастической динамической системы вентцеля на полусфере с краем

Пусть Q С R n , n >  2, - многообразие с краем Г. В частности, Q = { (0, у) : в € [0, П 2 ], у € [0, 2п] } - полусфера в R 3 , а Г = { у : у € [0, 2п) } - край полусферы. На компакте Q U Г задана система из двух уравнений Баренблатта – Желтова – Кочиной [1], описывающая динамику фильтрующейся жидкости,

(А - А е^ щ = аА е, и + ви, u = u(t, 0, у), (t, 0, у) € R х Q, (1)

(А - A^)vt = yA^v + де и + Sv, v = v(t, у), (t, у) € R х Г, (2) где операторы Лапласа - Бельтрами Ае, на полусфере и А, на полусфере имеют следующий вид л 1 д Г„д\ , sin 0д0\ вдв) +

1 д ² sin ² 0 ду ² ’

А , =

1   д2    д д sin2 0 ду2 ’    е дв

. θ = ^π ₂

Здесь, параметры а, в, А, y, S € R характеризуют среду. К данной системе присовокупим условие согласования tr и = v на R х Г,                                   (4)

и снабдим ее начальными условиями

и(0, 0, у) = и о (0, у),   v(0, у) = v o (у).

Назовем решение задачи (1) – (5) детерминированным решением динамической системы уравнений Вентцеля. Если заменить функции и и v, определяемые Q и Г соответственно, на П = n(t) и к = K(t) стохастическими процессами, то получим стохастическую динамическую систему уравнений Вентцеля, где под производной стохастических процессов понимается производная Нельсона – Гликлиха [2]. Решение соответствующей задачи будем называть стохастическим решением системы Вентцеля. Впервые разрешимость стохастического уравнения Баренблатта – Желтова – Кочиной рассмотрена в [3]. Затем эти исследования были продолжены (см., например, [4–6]). В работах [3–6] наряду с классической задачей Коши

П(0) = По рассматривалась еще и задача Шоуолтера – Сидорова

P (п(0) — По) = 0, а в [7] рассмотрены более общие начально-конечные условия для уравнения стохастического уравнения соболевского типа. Работа [8] посвящена исследованию экспоненциальных дихотомий стохастического уравнения, заданного на многообразии. В [9] решается вопрос о разрешимости стохастической системы (1) – (5). Данная работа является одной из отправных точек данного исследования. Вторая [10] лежит в теории стабилизации уравнений соболевского типа.

Работа, помимо введения и списка литературы, состоит из трех частей. В первой части рассматривается условие однозначной разрешимости для детерминированной динамической системы уравнений Вентцеля на полусфере и на ее краю. Во второй части показано существование устойчивого и неустойчивого инвариантных пространств. Решения, лежащие в неустойчивом инвариантном пространстве, экспоненциально растут с течением времени, поэтому для таких решений решается задача стабилизации. Третья часть посвящена исследованию решению задачи стабилизации для стохастической динамической системы уравнений Вентцеля на полусфере c краем.

1.    Детерминированная система уравнений Вентцеля

Если d k = k(k + 1) собственные значения оператора Лапласа - Бельтрами А^, тогда

'Pfcm(cos в) cos mp, m = 0, ••• , k; Ykm (p,e) = < ^Pm (cos e)sin |m|p, m = —k, ••• , —1 соответствующие собственные функции, ортонормированные относительно скалярного произведения. Здесь,

k

P(t = 2kЯ(t - ^{1) k}

– многочлен Лежандра степени k , и

|m|

P '    ■ - t ² ) -2-_ _n (t)

– присоединенный многочлен Лежандра. Скалярное произведение вычисляется по следующей формуле

2π

( Y /m ¹ -^V k ) = j ^cos m^ ^cos m 2 Pdp / P m ¹ (QP m (№

Рассмотрим следующий ряд где

∞k u = ^^ exP (t k=1 m=0

в — ak ² A + k ²

) (a m,k cos mp + b_m ,k sin mp^ P_fc ^m (cos в),

a m,k

b m,k

2 π

У uo^P)

2 π

У uo&P)

cos mpdp

sin mpdp

π

J P m (o)sin ede, 0

π

P k ^m (o)

sin ede.

Легко видеть, что построенный выше ряд является формальным решением уравнения (1). Более того, если ряды в (6) сходятся равномерно, то мы имеем решение задачи (1), (5), где d g u = 0. Учитывая это, мы можем построить решение задачи (2), (5)

v

∞

= Е^ех ₽ у k =1

5 — Yk ² A + k ²

X

C k cos kp + d k sin kp

)

где

2 π

У v , (p) cos kpdp,d c

2 π

J v,(p) sin kpdp.

В силу условия согласования (4) получаем следующее уравнение

∞ k

E E exp (t k=1 m=0

в — ak ² A + k ²

^ у a m,k cos mp + b _m,c sin mp^ P m (cos 0)

θ = ^π ₂

V     ( — — Yk2\Л     ,   , . ■ , A

= 2^ exp t a + k 2 j C^c cos kp + dk sin kp J

Если a = у, в = 3, получим равносильную систему уравнений

Е a ^a m,c cos mp + b m,c sin mp ] P m (0) m =0

= c c cos kp + d c sin kp, где m + n = 2k.

Подставив коэффициенты и учитывая

π

P k ^m (0)

π 2 sin 0d0 = P _c m (0) J

sin 0d0 = P m (0),

получим систему

k     ^{2 π}

E ( / u,(0,p)cos mpdp m=0  0

2 π                                            ₂

““ m ₊ Ju _{( (}>.^{p )s} in m^d^ sin w) (P m ( ⁰⁾) =

2 π

У v , (p) cos kpdp cos kp +

2 π

У v , (p) sin kpdp sin kp.

Таким образом, условие согласования (4) выполняется при a = y , в = 3 и если разрешимо (8).

Линейное замыкание span { P m (cos 0) sin mp, P j.ⁿ (cos 0) cos mp: m,k G N \{ 1 } ,0 G [0, ПП ],p G [0, 2п) } , порожденные скалярным произведением

π

2 π 2

p(0, p)^(0, p) sin 0d0dp,

= обозначим символом A(Q). Далее, замыкание span{sin kp, cos kp: k G N, p G [0,2п)} по норме, порожденной скалярным произведением

2 π

( €, ^ > = У 0

€ (pW^dp,

обозначим символом A (Г).

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. [9] Для любых u, G A(Q) и v, G А(Г) и коэффициентов a, в,у,3, A G R, таких, что выполняются условия a = у, в = 3, A = k2, — = k2, где k G N, и разрешимо (8), α существует единственное решение (u, v) G C“(R; A(Q) ф А(Г)) для детерминированной динамической системы уравнений Вентцеля (1) – (5).

2.    Инвариантные пространства и стабилизация решений детерминированной системы Вентцеля

Перейдем к вопросу об устойчивости решений системы (1) - (5). Обозначим || • ^ a(q) и II • II А (Г) нормы, порожденные скалярными произведениями (9) и (10) соответственно.

Определение 1. Инвариантное подпространство Is(u) с A(Q) ф А(Г) называется устойчивым (неустойчивым) инвариантным пространством системы (1) – (5), если для решения (u,v) G C“(R; A(Q) ф А(Г)) э^той сис^те^мы выполнено l|us(u)(t)lA(Q) < Ne-v(s-t)Ius(u)(s)lA(Q) при s > t (t > s),

||vs(u)(t)lA(r) < Ne v(s t)|vs(u)(s) | а(г) при s > t (t > s), при (us^u , vs(u)) G Is(u) и некоторых N, v G R+.

Решение, начинающееся в I ^s , со временем стремится к нулю, оставаясь при этом в пределах этого пространства, причем скорость убывания экспоненциальная, а решение, начинающееся в неустойчивом инвариантном пространстве I ^u демонстрируют экспоненциальный рост, оставаясь ограниченными этим пространством. Поэтому решения (u s ,v ^s ) G I ^s и (u^u,v^u ) G I ^u будем называть устойчивым и неустойчивым решениями системы (1) - (5).

Пусть а = Y, в = ^, —^ = k2, — = k2, k G N, и выполнено (8). Для определенности α положим а, в, A G R ..

Рассмотрим пространства

I ¹

( u, v )

G A(O) ф А(Г) : - <  α

_k 2 _,

I ² = {(u,v)

G A(Q) ф А(Г) : ^в >  α

k ² J.

Очевидно, что пространство I ¹ является бесконечномерным, а пространство I ² является конечномерным. Отметим, что если в < а, то I ² = { 0 } .

Теорема 2. Пусть а = Y, в = $, —A = k2, ~ = k2, а, в, A G R . и разрешимо (8). Тогда α пространство I1(2) является бесконечномерным устойчивым (конечномерным неустойчивым) инвариантным пространством системы (1) – (5).

Доказательство. Пусть решение системы (1) - (5) (u2,v2) G C“(R; I2), t > s и в > а. Тогда llu2 (t)lA(Q) =

^k ( (t - s ) —k²

EEe    ‘+‘ k2< e m=0

α

a m,k cos m^ + b _m,k sin m^^ P km (cos 0)

<

A (Q)

< e ^-»< ‘ ^-t) || u ² (s)h _(n) ,

|Р(ОИа(Г) =

в — ак2 (t-s) —— k2< а

C k cos k^ + d k sin k^

< e ^-^^- ) | u ² (s) | A (r) ,

А (Г)

в-а где V2 =

A + 1

пространством

> 0. Таким образом, пространство I ² является неустойчивым инвариантным системы (1) – (5).

Пусть в — am ²

A + m ²

решение системы (1) - (5) (u1,v1) G C“(R;I1), s > t. Обозначим vi > 0, где m = min kk : k2 > a^ Тогда справедливы оценки llu1 (t)|A(Q) < e

^{v 1 (s-t)} IP^IIa^) , |РША(Г) <  e ^{-V 1 (s-t)} iHs)^),

и пространство I ¹ является устойчивым инвариантным пространством системы (1) — (5). □

Пусть a = y, в = S, —A = k2, — = k2, a, в, A G R . и в > a. Поставим следующую α задачу стабилизации. Требуется найти такое управление в области fu и на границе области fv, что решение (u,v) системы

(A - Ae^u t = aA e^ u + вu, u = u(t, в, p), (t, 0,p) G R x Q,

(A - A ^ )v t = yA^v + d e и + Sv, v = v(t, p), (t, p) G R x Г,

tr и = v,

с начальным условием (5) будет экспоненциально устойчивым, т.е.

llu(^{t )} H A (O) <  C 1 e ^{Vt u} 0 ^ A (Q) , ll^{v ( t )}ll A (r) <  C 2 e ^{Vt | v} o h A (r) •

Управление f _u и f _v будем искать с помощью контура обратной связи

f u = Bu, f v = Bv,

где B – линейный оператор. Оператор B можно представить в виде

B =

o, a < k ² ;

( — e — в + a) I , — >  k ² •

Тогда решение (u, v) системы (11), (12), замкнутой контуром обратной связи (13), имеет вид

kt

^u(t) = ^u i ^(t) + £ £ev k 2 < в m =0 α

e+a(1-k²) \

^{A + k} 2    J (a m,k cos mp + b m,k sin mp) P m (cos в),

v(t) = v 1 (t) + ^ e^

k ² < ^в α

g+a(1 —k²) A

^{A + k    2} ( c k cos kp + d k sin kp)

и, очевидно, экспоненциально устойчиво.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть a = y , в = S, — A = k ² , — = k ² , a, в, A G R + , в > ^a и разрешимо (8) . α

Тогда при любых u o G A(Q) , v o G А(Г) решение системы (11) , (12) c начальным условием (5) , замкнутой обратной связью (13) , где оператор B имеет вид (15) , экспоненциально устойчиво.

3.    Стохастическая система уравнений Вентцеля

Простоты ради положим U = { u g W₂(Q) ф W ₂ ² (Г) : d R U = 0 } , F = L ₂ (Q) Ф L ₂ (Г). Далее, построим пространства случайных K -величин. Случайные K -величины п,к g U k L 2 имеют вид ∞∞

П = ^2 Ak Пк Фк, к = 52 AkKk ^k, k=i                k=i где {фk} — семейство собственных функций модифицированного оператора Лапласа - Бель-трами А#,^ g L(U; F) ортонормированных в смысле скалярного произведения (-, •) из L2(^); {^k} — семейство собственных функций модифицированного оператора Лапласа - Бель-трами А^ g L(U; F) ортонормированных в смысле скалярного произведения (•, •) из L2(Q). Норму в Uk L2 зададим формулой

∞∞

||nll u _K L 2 + IIMuk L 2 = 52 ^A k D n k + 52 ^A k D^K k .

k =i           k =i

Рассмотрим линейную стохастическую систему Вентцеля уравнения фильтрации влаги в полусфере и на ее краю. В этом случае (1) – (5) преобразуется к виду

(A - A^n t = аА^ n + вп, П g C “ ( R + ; U k L 2 ),               (16)

(A - A ^ )K t = y A ^ к + д _в к + 8к, к g C “ ( R ₊ ; U k L 2 ),

где

^A 0,^ =

А , =

1 д sin 0 дв

1    д ²

(sin “s)+

1 __ д ²

sin ² в дл ² ’

sin ² в д^ ² ’

∂ дв   де

.

# = п

Добавим к этой системе условие согласования и снабдим ее начальными условиями

n(0) = П о , к(0) = к о .

что

Решение задачи (16) – (18) назовем стохастическим решением системы Вентцеля. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. [9] Для любых (по,ко) g UkL2 и коэффициентов а, @,7,6, A g R, таких, выполняются условия ао = ai, во = в1, 7о = 71, A = k2, — = k2, где k g N, и разреши-α мо (8), существует единственное решение (п,к) g C“(R; UkL2) стохастической задачи Вентцеля (16) – (18).

Определение 2. Инвариантное подпространство Is(u) С UkL2 называется устойчивым (неустойчивым) инвариантным пространством системы (16) – (18), если для решения (п,к) g C“(R; UkL2) этой системы выполнено iHuWKL2 + iMuWKL2 < Ne-v(s-t) (|ns(u)(s)|ukL2 + 1К(и)(s)|ukL2) , при s > t (t > s), (nsu, кз(и) g Is(u) и некоторых N, v g R+.

Теорема 5. Пусть a = 7, в = 6 — A = k2, — = k2, а, в, A g R+ и разрешимо (8). Тогда α существуют бесконечномерное устойчивое и конечномерное неустойчивое инвариантные пространства системы (16) – (18).

Пусть а = y, в = ^, -А = к2, — = к2, а, в, А € R+ и в > а. Поставим следующую α задачу стабилизации. Требуется найти такое управление в области ηξ и на границе области ηχ , что решения системы

(А - А^п = а^П + вп + Ф, П € C“(R+; UkL2),(19)

(А — А^)Kt = yA^k + dgк + 6к + х, к € C^(R+; UkL2),(20)

tr n(t) = ^t), будут экспоненциально устойчивы. Управление φ и χ будем искать с помощью контура обратной связи

Ф = Bn, X = Вк,(22)

где B – линейный оператор.

Теорема 6. Пусть а = y , в = $, - А = к ² , — = k ² , а, в, А € R + , в > а и разрешимо α

• (8 ) . Тогда при любых (п о ,k q ) € U k L 2 решение системы (16) - (17) c начальным условием (18) , замкнутой обратной связью (22) , где оператор B имеет вид (15) , экспоненциально устойчиво.

Все рассуждения при доказательстве теорем 5, 6 аналогичны детерминированному случаю, и поэтому не приводятся.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда 25-21-20017,