Статические сферически симметричные решения в 4D-теории Эйнштейна-Максвелла-Анти-Дилатона

Низкоэнергетический предел теории струн включает, помимо других полей, скалярное дила-тонное или анти-дилатонное поле. Известно, что решения, которые соответствуют электрически заряженным черным дырам, изменяются при наличии дилатонного поля. Такие решения были изучены, например, в [1,5,5-8]. Введение в лагранжиан теории анти-дилатонного поля может приводить к появлению в рамках такой теории кротовых пор: топологических ручек, соединяющих удаленные области одной или различных вселенных. Такой случай рассматривался, например, в работах [7,8]. В этой работе получены точные статические сферически симметричные асимптотически плоских решений четырёхмерной теории Эйнштейна-Максвелла-анти-дилатона, среди которых есть новые решения, описывающие кротовые поры.

В работе используются геометрические единицы с = G = 1.

1. Теория Эйнштейна-Максвелла-анти-дилатона

Действие теории имеет следующий вид

S =

— 71- [ d⁴xV-g [R — П2ф,кФ ^,к

16п

- e-2фFklFkl] .

(1.1)

Константа связи дилатонного и гравитационнго полей п может принимать либо значение п = 1 (дилатон), либо значение п = — 1 (анти-дилатон). В дальнейшем будем рассматривать только случай анти-дилатонного поля. Уравнения гравитационого поля для метрики g^_v, максвелловского поля для векторного потенциала А^ и анти-дилатогтого поля для ф имеют вид

G^ = 8nTV = ф,кф’к8" - 2ф,^ + е-2ф ^ F vk -	δ ν - -^FkiFkl^ ,	(1-2)
(e-^F v ^ у = о,		(1-3)
ф;^ - 2 e^^F^vFvv = 0.		(1-4)

Включение в действие теории поля ф приводит к появлению сохраняющегося дилатонного заряда Qd. В статическом пространстве-времени он может быть определен следующим образом

Q d =

i/

∇α φdS ^α ,

(1.5)

где интегрирование производится по замкнутой пространственно-подобной поверхности, окружающей заряд.

Метрика статического сферически симметричного пространства времени может быть записана следующим образом ds2 = —f 2dt2 + w2dr2 + h2(d62 + sin2y d^2),                          (1.6)

где f, w и h являются функциями только радиальной координаты r. Статическое сферически симметричное максвелловское поле радиально в каждой точке

Frt = F (r).

(1.7)

Уравнения Максвелла (1.3) в этом случае могут быть проинтегрированы и дают обобщение закона Гаусса в искривленном пространстве-времени с апти-дилатоппым полем е-2ф   F = Qe,                                       (1.8)

где Qe - элетрический заряд.

Действие теории (1.1) инвариантно при преобразованиях

ф(х) ^ ф(х) + C,	(1.9)
Ад(х) ^ eCАДх).	(1.Ю)

Эту свободу можно зафиксировать заданием значения поля ф на бесконечности. В случае неравенства нулю ф_ю это приводит к экранировке электрического заряда

E(r ^„) ^ Qe^. .                      _(Ы11

В дальнейшем будет предполагаться ф^ = 0.

Нетривиальные компоненты уравнений Эйнштейна (1.2) имеют следующий вид

(t )    2 /h" _ w'h'   h'2\ _ t)    w2 h wh   2h2     h2 ф w2   Qe h4 ’ (1-12) ( r )      1 / 2f 'h' h'2 \     1 r     w2 fh    h2     h2 Ф1_О2 w2   Qe h4 , (1-13) ( У ) = ( 7 )   ^ ( Г £ f 'h' _ f 'w' θ     ϕ    w2 f   h   fh fw w'h') _ £2,п2 е2Ф wh ) w2 + Qe h4 , (1.14) A P' + f — - + 2h) Ф = w2       f w    h 2aφ 2e Qe h4 , (1-15) а штрих означает дифференцирование по радиальной координате г. Выберем следующие их линейные комбинации

(r) + 1	< у ) x θ     w 2	( f''     h '    3f ' h ' f + h + fh	_ f ' w ' _ ) fw	w'h' h'2 wh   h 2	_ ^) =0, h 2	(1.16)
	(t) -	( r )    2 ( h ' r  wh	f ' h ' w ' h fh wh	:)=2 Ф2, w		(1.17)
(t)	I + (r) -	2 /h" f ' h ' _ w ' h ' h'2 _ w h fh wh h 2		w2 \ " h2) =	e 2φ 2 Qe "h4",	(1-18)

Уравнение (1.16) содержит только метрический тензор и может быть записано в виде

[      ] = fw.

(1.19)

Метрика статического сферически симметричного пространства времени (1.6) не изменяется под действием следующего преобразования r ^ r,

w² ^ w² ( dr У dr

.

(1.20)

Воспользуемся свободой выбора w², чтобы зафиксировать

fw = 1.

(1.21)

Тогда уравнение (1.19) может быть проинтегрировано

(fh)2 = (r - ri)(r - Г2),

(1.22)

где r 1 и r₂ - произвольные постоянные. Случай, когда обе константы r 1 и r₂ действительны и положительны, соответствует черной дыре с двумя горизонтами, находящимися в точках r = r1,₂. Экстремальная черная дыра возникает при r 1 = r₂. Случай, когда r 1 и r₂ являются взаимно сопряженными комплексными числами, соответствует кротовым порам. В дальнейшем будем использовать следующую линейную комбинацию параметров

Д = r 1 - r₂.

(1.23)

В калибровке (1.21) уравнения Эйнштейна. (1.16,1.17) и (1.18) принимают следующий вид

w = 1/f, (fh) = (r - ri)(r - Ы,

(1.24)

h " - hф² = 0,

2 φ

(f 2hh')' = 1 - Qe e h2

Уравнение на дилатоппое поле (1.15) тоже упрощается и может быть записано в виде

(1.25)

(1.26)

2φ

(f wy = -Qe— .

e _h 2

(1.27)

В качестве одного из решений уравнений Максвелла (1.3) выберем решение, соответствующее ненулевому электрическому заряду

Frt = Q^

Вычитая из уравнения (1.3) уравнение (1.4), найдем

(1.28)

что дает

(f 2^ Г

(f 2Ь2Ф^ Г = 1,

(1.29)

к ' r A'

T - ^Ф =

r - C

(r - r1 )(r - r2 ) .

(1.30)

Подстановка этого выражения в (1.2) приводит к

ФГ_г + 2

r - C

( r - r i )( r -

-Щ Фт = r2) ^r

(C - ri)(C - r₂) ( r - r 1 ) ² ( r - r 2 ) ^{2 .}

(1.31)

Рассмотрим случай

r1

r2

> 0.

(2.1)

Тогда уравнение (1.30) принимает вид h' r '

T - Ф =

r - C

(r - r1 )(r - r2)

(r - r1) + (r - r₂) - 2дД 2( r - r i )( r - r 2 )

(2.2)

где

2C — r_i — r₂ ^м =--- 2д---

Тогда, делая подстановку r — r_i Р =------ .

r — r2

решение уравнения (1.11) можно записать так

h^e-^Ф = B4r — ri)(r — Щ (^4—4 У" = B² £2^ \ r — ri /          (1 — p)²

или

1 1-2"

h2 = В2Д2е2ф -^— (1 — Р)2

где B - константа интегрирования. Учитывая соотношение (1-1), получим

2     (r — ri)(r — r2) _ p"²"

f =      h²     = B²^ .

Используя обозначение (2.30), уравнение (1.31) можно привести к виду dC + (1 2^)dф + м2 —1/4 = о dp2       p dp p2

2.1. Тип AI (r_i — r₂ > 0, м = 0)

В случае м = 0 решение уравнение (2.8) имеет вид е2ф = D2 exp ^DMTp2") p"—VW.

А следствием уравнений (2.6), (2.7) и (1.28) является

h² = В²В²Д² exp

f ² =

(DM') p"+i/(4")

pi—"—V (4")

(1 — p)2 ,

B²D² exp (DMl p²") ,

₌ Qe^{(1 — p)2} rt   B²Д²p^{1 — 2}" .

Подстановка выражений (1.1),(2.10) и (2.11) в (1.3) или (1.4) дает

2мD1B2Д2 + Q2 = 0.

Таким образом, общее решения типа AI есть

е^2ф = D² exp

(     Q2p²" А  .—1/(4")

V  2м²В²Д² ) ^p .

² 2 " \ n^i—"^—i/(4") h² = B2D²Д² exp — Qep^A ^-- ^.

2м2В2Д2/   (1 — p)2

f2 =

p^V^")

B²D² exp (-- Q ² ^ ²" ₂ )

V 2р²В²Д²)

₌ ^Qe^{(1 — p)2} Frt   B2Д2_p1 —2" .

r — ri p =----

r — r2

(2.3) (2-4)

(2-5)

(2-6)

(2-7)

(2-8)

(2-9)

(2.Ю)

(2.П)

(2-12)

(2-13)

(2-14)

(2-15)

(2-16)

(2-17)

(2.18)

• 2.2.    Tun AI (r1 — r₂ > 0, р = 0). Асимптотически плоское решение.

Требуя, чтобы е^2ф / 1 iif² / 1 щ hi р / 1. получим

B2   1, D2  ехр(^2д^ .                          (2.19)

Таким образом, асимптотически плоские решения типа AI имеют вид е2Ф    ' [(1 - ^ 2рИ

р^-1/(4О.

² Д²      [ (      2^)      ^e1

h А р Р ’ 2р2А2]

р^{1- -}~ 1 / ⁽⁴О

(1 — р)² ’

f 2 =

ρµ+1/(4µ)

exp	[(1 — р2,)2,зА2]

(2.20)

(2.21)

(2.22)

₌ Qe^{(1 — р)}2

(2.23)

(2.24)

Frt     А2р1-2^ ’ r - r1

Р = ------.

r - r2

Это решение определяется четырьмя константами интегрирования: r1, r₂, р, Q_e.

Выразим константы А и р через асимптотическую массу M, дилатонный заряд Qd. Для этого разложим f2 njhi r /ж f 2 = 1 — [S+ А (p + 4рЖ + O^), что дает

M = -Q- + А fр + —) .(2.20

2рА     V 2

Вычисление дилатоииого заряда. (1.5) дает

Qd =      [h2 ^ФГ — та)1 =    [h²Фr] = — QT +   — ^А.       (2-27)

r-ж L \     е2ф!2) J   r-ж             2рА    28р

Система уравнений (2.26, 2.27) сводится к

M + Q d = рА,	(2.28)
m Qd = Q2 + А. рА   4р	(2.29)
Из этих соотношений найдём м + Qd     , п Р =                  = 0. р  2 ^м 2 — Qd — Q2	(2.30)
А ж ri — r2 = 2 ^м 2 — Qd — Q2 > 0.	(2.31)

При этом r₂ может быть любым действительным числом, поскольку произвол в выборе начала отсчета на оси r (r = r — const) ничего ие меняет в этом решении.

Частным случаем этого решения, соответствующим р = 1/2, r₂ = 0 (r >  r 1 = 2 ^/M ² — Qd — Q 2 Q²

= 2(M + Qd) = — Qd > 0). является е2ф = e-2Qd/r,                                           (2.32)

^Frt = QQe ,                                         (²-³³)

ds2 = — e2Qd/r [1 — 2(M+ Qd) ] dt2 + e-2Qd/r 1 + r2 (dy2 +Sln2 ^d^2) ,    ^2'34) 1 _ 2(M + Qd) что совпадает с формулой (2.24) работы [7] с точностью до обозначений. Условие горловины в данном случае имеет вид

0 = dh² = dh² dr = '2-     (r + QdJl - ^(M+Qdl.              (2.35)

dl dr dl                                 r

Q2

= ²⁽M + Qd) =   Qd* ^'^^B<-^{11 r} throat =

А радиус горловины, находящийся перед перед горизонтом rg -Qd. осли -Qd > 2(M + Qd) > 0 и. th —3Qd > 2M > —2Qd.

• 2.3.    Tun All (r_i — r₂ > 0, ^p = 0)

В случае ^ = 0 решение уравнение (2.8) имеет вид

ИЛИ

(ln р)²   const       ln K ²

Ф ^              P

_е^2ф = K² р lⁿ4^P +^collsl

h2

B²K ² A

lnp +1+consl

2ρ 4

(1—р)2

B^K 2 р ^ +

_ ^Qe^{(1 — р)}2

= B2A2p

Подстановка этих выражений в (1.3) или (1.4) дает

4Q2 + B2A2 = 0.

Это означает, что решение в случае r_i — r₂ > 0, д = 0 отсутствует.

3. Тип В (ri = r2)

Если то уравнение (1.30) дает

A = ri — r2 = 0, hr   л, r — C h   Фг = (r — ri)2

или

е2ф = D2(r — ri)2 exp

Учитывая выражения (1.1) и (3.1), получим

ИЛИ

f2 =

2(C — ri) (r — ri)

f ²h² = (r — ri)²

D2 exp

2ф + 2

^{(C —} ri) ' (r - ri )

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(3-1)

(3-2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Уравнение (1.31) сведется в этом случае к

» ^r C , ^фгг ^{+ 2}(_{r — ri})2 ^фг ⁺

(C —ri)2 (r — ri)4

= 0.

(3.6)

• 3.1.    Tun BI (r_i = r₂,C = r_i)

Решение уравнения (3.6) в случае C = r_i есть

Таким образом,

^ф= |md²⁾ +

D²    _p-2(C-ri)/(r-ri)

2(C - ri)

^{(C -} ri) 2(r — ri)

е2ф = D2 exp

D²    e-2(C-ri)/(r-ri) _— ^{( C — ri)}

(C — ri)                        (r — ri)

h2 = D2D2(r — ri)2 exp

D²    e-2(C-ri)/(r-ri) , ^{(C — ri)}

(C — ri)                       (r — ri)

D²D2exp I" D² . e-^c-riW-n) + (C—rd 1 ⁱ       (C — ri)                        (r — ri) J

е2ф

Frt = Qe "hr =

Qe

D2(r - n)2 e2(C-ri)/(r-ri) .

Подстановка (3.8), (3.9) и (3.10) в (1.3) и (1.4) дает

D2 =

Q2

2D2(C — ri).

Следовательно, общее решение для типа BI есть

е2ф = D2 exp

__ Qe        ,=^-2(C-ri^)/(r-ri⁾

[  2D2(C — ri)2

(C — ri) (r — ri )

h 2 - D²D²         2 Г__Qe______ -2(C-ri)/(r-ri) , (C ri) 1

h = D Di(r   ri) exp[ 2D2(C — ri)2 e                + (r — ri) J , f2 =    1   cXD Г      Q2        -2(C-ri)/(r-ri) _ (C — ri) 1

f     D2D2 p[2D2(C — ri)2                     (r — ri) J ,

Qe rt    D2(r — ri)2 e2(C-ri)/(r-ri)

(3-7)

(3-8)

(3-9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

3.2. Tun BI (r_i = r₂,C = r_i?). Асимптотически плоское решение

Требуя, чтобы ф ^ 0 1if² ^ 1 п; mi r ^ то. получим

D2 = exp

Q2 2D²(C — r_i)²

Поэтому асимптотически плоское решение типа BI есть

D2 = 1.

е2Ф - exo ____Qe____ ( 1 - _e-2(c-ri)/(r-ri)^ _ ^{(C — ri)} 1

e =exp[2(C — ri)2 d e               )    (r — ri) J

h2 = (r — ri)2 exp

Q²      (1 _ _e-2(C-ri)/(r-ri) \ , ^{(C — ri)}

2(C — ri)2 V                     ) + (r — ri)

f ² — exo__ Qe     (1 — _P^-2(C-ri^)/(r-ri⁾^ — ^{(C ri)}

f =exp[ 2(C —ri)2 d e               ) (r —ri)

Qe rt    (r —ri)2 e2(C-ri)/(r-ri)

Раскладывая /2 (3.20) по степеням 1/r. получим

/ 2=1—a±)C4ia1+o( T) (C r1) r       r2

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

ИЛИ	M ( C - ^2(CQT,)'                       13 231 2        2(C    i )

Вычисление дилатоппого заряда, дает

Qd = lim [h2фr] = (C-^ -     Q 2   .                     (3.24) r ^^ L     J       2       2(C - ri)

Таким образом,

Q 2 = M ² - Qd, C - ri = M + Qd,                        (3.25)

что позволяет переписать асимптотически плоское решение типа BI следующим образом

e 2Ф - pxn l"-(M Qd) ( 1 - p-2(M+Qd)/(r-ri)^ _ (M + Qd) "I                   26) e =6XP[2(M + Qd)^ e               )    (r - ri) J, 2 2 -(r- n)2exD 1" (M - Qd) fl - e-2(M+Qd)/(r-ri)^ + (M + Qd) 1             27) h    Lr   ri) exp^2(M + Qd) C e                 ) 1   (r - ri) J, f 2 - e xd [ (M - Qd) f 1 - e-2(M+Qd)/(r-ri)^ _ (M + Qd) 1               (3 28) f =6XP[ 2(M + Qd) 1 e                )    (r - ri) J, F„ =_____ VM 2 - Qd _____ (3 29) Frt    (r - ri)2 e2(M+Qd)/(r-ri) , q 2 = m 2 - Qd, m + Qd = 0.                          (3.30)

• 3.3.    Тип ВИ (ri = r2,C = ri)

Решение уравнения (3.6) в случае C = r_i есть

ф = ln( L i ) +     L 2   .                                  3 31 2      2(r - ri)

Учитывая (3.3) и (3.5), получим е2ф = LieL2/(r-ri),                                           (3.32)

h2 = D2Li(r - ri)2eL2/(r-ri),                                     (3.33) f 2 = DLi e-L2/(r-ri),                                  С3-34) _ е2ф         Q„ Frt = Qe J 2 = ТЛ2(       \2 .                                      (0.0-5) h2    D2(r - ri)2

Подстановка (3.32), (3.33) и (3.34) в (1.3) и (1.4) дает

Qe = 0.                                            (3.3G)

3-4- Тип ВII (r_i = r₂,C = r_i). Асимптотически плоское решение

Требуя, чтобы ф ^ 0 11 f² ^ 1 щ эй r ^ то. получим

Li = 1, D2 = 1.                                        (3.37)

Поэтому асимптотически плоское решение типа ВП есть е2ф = eL2/(r-r1),                                             (3_38)

h² = (r - ri)²e^L2^/(r-ri), f ² = e — W^ — rl), Frt = 0.

(3.39)

(3.40)

(3.41)

Разложение (3.40) по степеням 1/r дает
M = L2/2,	(3.42)
а вычисление дилатонного заряда дает
Qd = lim [h2фr] = - L2, r ^^           2	(3.43)
поэтому асимптотически плоское решение типа ВП есть
е2ф = e2M/(r-ri)	(3.44)
h2 = (r - ri)2e2M/(r-ri), f 2 _ e—2M/(r-ri)	(3.45) (3.46)
Frt = 0,	(3.47)
M = -Qd, Qe = 0.	(3.48)
4. Тип C (r1 = r2). Заряженные антидилатонные кротовые норы
Обозначим r 1 = ro + iv, r2 = ro - iv,     v >  0,	(4-1)
тогда f2h2 = (r - r1)(r - r2) = (r - r0)2 + v2.	(4-2)
Введем еще одно обозначение _ ro - C K      2v ’	(4.3)
тогда уравнение (1.30) можно переписать так
hr            r - C       r - r0 + 2vk	(4-4)
h r    (r - r1)(r - r2)    (r - r0)2 + v2
Его решение имеет вид h2e^2 = A2 [(r - ro)2 + v2] e4K arctan(r—vr0).	(4-5)
Чтобы решить уравнение (1.31), введем новую переменную
r - ro\ П = arctan ------ . v	(4-6)
Тогда уравнение (1.31) можно переписать так
cos4 п /d2Ф      dф v^ П^2 +4KdФ + 1+4К ) =0.	(4-7)

4-1. Tun CI (r1 = r2, к = 0)

Решение уравнения (4.7) для к = 0 есть

Ф = - (” ⁺ ^ П - ^С е^-4кп + 11- C 2 . 4К 2         2

(4.8)

Учитывая (4.6), а также (4.5) и (4.2), получим е2ф = C2 exp

[- (2к +2К)

П - Cie^-4Kn] ,

(4.9)

h2 =	A2C22v2 2 exp cos2 η		^2к -	;!) n - Cie-4Kn 2κ
f2 =	1 A2 C22 exp	-	^2к -	;1) П + Cie-4Kn 2κ

Подстановка (4.9), (4.10) и (4.11) в (1.3) и (1.4) дает

Qe2

C1 = 8A2κ2v2 .

(4.Ю)

(4.11)

(4.12)

Таким образом, общее статическое сферически симметричное решение типа CI есть

e2φ	= C22 exp			2κ+	1 \       Q2    -	4κη
					2κ η   8A2κ2v2
h2 =	A2C22v2			[(2к-	1)       Q2	— 4^n
	cos2 η exp				2κ      8A2κ2v2
f2 =	1			- ^2к -	1)+   Q2	— 4^n
	A2C22 exp				2κ η   8A2κ2v2		-
	Frt			= Qe A2v	2е-4кп cos2 n,
	η		=	,      (r - ro A arctan           . v

^.2. Тип CI (r1 = r2, к = 0). Асимптотически плоское решение.

Требуя, чтобы ф ^ 0 11 f² ^ 1 nj hi r ^ то. получим

A 2 _   2п к

C 2 _ exp ^П (к + -!-) + ^{Q e 2}          2         2κ 8κ²v²

Поэтому

е«- = exp [1 (2« + 2   ( п - 2n) + 8QV2 (1 - ё2^-^ , h2 = ыд exp [- 1 (2к - д) (п - 2n) + Q^ (1- e2"(n—2")) cos η 2        2κ8κ v f2 = exp [1 (1к - 1-)( п - 2п) - Д (1 - е2к(п—2п))] , 2        2κ8κ co-J 2к(п-2п)

rt = Qe e, v2

r - го\

η = arctan v .

Вычисление дилатонного заряда, дает

Qd

lim h² (<Г'_Т.--^ттч ) = lim [h²<Г ]

r^^        r   e2φf2       r^^ *- r"*

,»m {v [-2 (2к + 2к) +4QJ2e-X-2--]

exp[-2 (2к - 1K)(п - 2n) + 8QV2(1 - e2"('-3n))]}

ИЛИ

Qd = - V (2к + T)

22κ

+ Qe2 . 4κv

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

(4-25)

Разложение f ² (4.21) при r /то определяет асимптотическую массу

Таким образом

Учитывая, что

v

M = - - 2к - — - Q

2        2к    4к

- = УQd - M ² + Q2 > 0,

^{( Q}d ^{+ M})

2 VQd - M ² + Qi

= 0.

2 Г _t f     r ^- r0     M        ^Q d ^{- M 2 +} Q²

П = cos² arctan — ,                 = —=----d--------—e---—,

[     \ VQd - m ² + Q2 /J   Qd - ^{M 2} + Q2 + (r - ro)²

статическое асимптотически плоское решение типа CI принимает вид

е2ф = exp

(2Qd + 2QdM + Q2)    / _п - 2 х

[ 2(Qd + м ) VQd - M ² + Q2      ^Пф

I__Qe____ /1 - e - (^{П — 2n})(^Qd + M)/VQd-M²+^Q2

2 (Qd + M ) k

(4.26)

(4.27)

(4.28)

(4.29)

h2

'r - ro)² +

Q2d - M2 + Qe2  exp

(2M² + 2QdM - Q2)

2 (Qd + M ) VQd - M ² + Q2

( n - 2n)

₊     ^Q2     /1 _ _P-(n-2n)(Qd+M)/VQd-M²+Qe

⁺ 2(Qd + M ) k

f ² = exp

(2M² + 2QdM - Q2)

2 (Qd + M ) VQd - M ² + Q2

( n - 2n)

(4.30)

Q2

2 (Qd + м )

1 1 - _e-(n-2n)(Qd + M)/VQd-M² + Qe

p , =_____________Qe_____________ -(n-2n)(Qd+M)/VQd-M2+Qe rt [(r - ro)2 + (Qd - M2 + Q2)]

Q2 - M ² + Q2 > 0, n = arctan |                  | .

d       e"^e                  Qd - M ² + Q2^

В частном случае Q_e = 0 получим кротовую пору Бронникова-Эллиса

(4.31)

(4.32)

(4.33)

е2ф = exp

Qd

M ²

( п - 2n)

(4.34)

h2 = [(r - ro)2 + (Qd-

M2 ) exp

M

VQd - m ²

( n - 2n)

f ² = exp —        / n - 2nX

^J       VQd - м ² k U

Frt = 0,

Qd > M ², M + Q_d = 0, n = arctan

(

r - ro VQd - м ²

(4.35)

(4.36)

(4.37)

(4.38)

Таким образом, решение типа CI описывает аптидилатоппую заряженную кротовую пору.

4-3. Тип СИ (r1 = r2, к = 0)

Решение уравнения (4.7)	для к = 0 есть
	Ф = - £ + Fn +*ln E2. V      2    2 '   2	(4.39)
Поэтому	е2ф = E2en(F-n)	(4.40)
	22 h2 = --- — E2en(F-n), cos2 n	(4.41)
	f 2     V	(4.42)
	—2E2en(F -n) ’
	_ Qe COS2 П rt =   -2v2 ,	(4.43)
	r - ro\ П = arctan ------ . v	(4.44)
Подстановка (4.40), (4.41) и	(4.42) в (1.3) и (1.4) дает
	Q e 2 = -2v2 .	(4.45)
Таким образом, статическое	сферически симметричное решение в этом случае имеет вид
	е2ф = E2en(F -n),	(4.46)
	h2 =       en(F -n^ cos2 n        , f 2        v2^ „	(4.47) (4.48)
	f     Q2E2en(F -n) ’
	cos2 n Frt     Qe ’	(4.49)
	П = arctan ( -----0 , Qe = 0. v	(4.50)
4-4- Тип СИ (r1 = r2, к = 1	3). Асимптотически плоское решение.
Требуя, чтобы е2ф ^ 1 и	f2 ^ 1 ЩHI r /TO ^n ^ Пу). получим E2 = exp [—2 (F - y)], v2 = Q2 = 0.	(4.51)
Таким образом,	е2ф = e(n-"2 )(f — 2 -n )	(4-52)
	h2 = Q2 e(n- n )(F-2-n), cos2 n                  ,	(4.53)
	f 2               1	(4.54)
	1     e(i-П )(F- 2 -n),
	cos2 n Frt = Qe ,	(4.55)
	r — ro n = arctan 1 |q । 1, Qe = 0.	(4.56)

Разложение f2 (4.54) по степеням 1/r дает f 2(r) = 1 -

v(n — F ) r

(4-57)

(4.58)

т.е. масса равна м = 2 (n — F) = ^ (П — F).

Вычисление дилатонного заряда, дает

2Ф 17 п х /п   2M    \

= ^6XP[Л — 2) (2 — Q. П

Qd = lim [h2фr] r^^ L    J	= lim [h2 ^ ф' 1 = lim n ^ n L     v    'J    n ^ n	Q2e(n 2 )(f v	2 n) ^ F ^	(4.59)
ИЛИ	Qd = ^ — П ) = |Qe| 2v	(F — п) 2      .		(4.60)
Таким образом,	2M _ F = П   |Qe| ,Qd =	-M.		(4.61)

Выбором начала на оси r можно добиться го = 0, поэтому выражения (4.52)-(4.55) можно перепи сать в виде

(4.62)

dt2 ds2 = —2ф + е2ф [dr2 + (r2 + Qe) (d02 + sin20d^ )] ,	(4.63)
_ cos2 n _   Qe rt = Qe = r2 + Q2 ’	(4.64)
Qd = —M, Qe = 0, n = arctan ^ |Qj“|^ •	(4.65)

Это решение описывает кротовую пору, причем область r ^ —то также является асимптотически плоской. Однако ф(г ^ —то) = const = 0. Положение горловины определяется уравнением

	r   |Qe| arctan      J + ’2 ’ M = 0.	(4.66)
В частном случае
	2M = n|Qe|	(4-67)
получим
	е2ф = en2/4 - n 2	(4.68)
ds2 =	en2/4-n2 + еП /4 ' [dr2 + (r2 + Q2) (N 2 + Sin20d^2)] ,	(4.69)
	Q e rt    r2 + Q2,	(4.70)
	Qd = M = 2|Qe| = 0, n = arctan (jQ-|^ •	(4.71)

Это решение описывает симметричную на обоих асимптотиках (r ^ ±то) кротовую пору.

Заключение

В работе получены статические сферически симметричные асимптотически плоские решения теории Эйнштейна-Максвелла-анти-дилатона. Эти решения определяются массой M, электрическим Qe и анти-дилатонным Qd зарядами и в зависимости от величии этих зарядов разбиваются па. пять типов:

тип AI: Qd - M ² + Q2 < 0, M + Qd = 0;

тип BI: Qd - M ² + Q2 = 0, M + Qd = 0;

тип BII:   Qe = 0, M + Qd = 0;

тип CI: Qd — M ² + Q 2 > 0, M + Qd = 0;

тип CII: Qe = 0,M + Qd = 0.

Тип А соответствует черным дырам с двумя горизонтами. Тип В соответствует экстремальным черным дырам (два. горизонта совпадают). Тип С соответствует кротовым порам.

Рассмотренные в этой работе решения соответствуют случаю А = — 1 статьи [8]. Решения типов AI, BI, CI совпадают с соответствующими решениями этой работы. Решения типов ВИ и СП являются новыми.