Статистические исследования точности высотного положения покрытий автомобильных дорог

Автомобильные дороги являются линейными сооружениями, необходимыми для обеспечения населения страны путепроводными артериями, без поддержания, развития и совершенствования которых невозможен подъем экономики области и страны в целом. Строительство таких объектов должно выполняться с высокой точностью, чтобы сооружение прослужило долго и соответствовало нормам, изложенным в стандартах (ГОСТах), СНиП, СП и проектно-конструкторской документации. Некачественное выполнение работ по строительству автомобильных дорог может привести к преждевременному выходу из строя транспортных средств и самого линейного сооружения.

В ранее действующих документах, регламентирующих возведение автомобильных дорог, приведены величины предельных погрешностей выполняемых работ. Например, невязка двойного нивелирного хода длиной L (км) при передаче высот допускалась 50√L, мм, в этом случае необходимо прокладывать ход технического нивелирования. Подобные рекомендации были и остаются при возведении линейных объектов в учебной литературе для выполнения геодезических работ. Например, в учебнике для студентов высших учебных заведений [1] невязка в ходе между реперами, высоты которых известны, не должна превышать 50√L, мм, где L ‒ длина в км. В учебниках и учебных пособиях для студентов высших учебных заведений других авторов [2], [3], [4] и [5] также приведены рекомендации. При этом ход технического нивелирования прокладывался с применением нивелира Н-3. С течением времени требования норматив-

ных документов, регламентирующих строительство автомобильных дорог, изменяются, как и инструментальная база приборов в производстве строительного процесса.

Исследование опытных зависимостей для связи характеристик продольной и поперечной ровности с параметрами изменения дорожного сооружения рассматриваются в работе [6]. Кроме того, приведены результаты экспериментальных исследований изменения высотного положения конструкции сооружения под влиянием многократных нагрузок.

Точность строительства автомобильных дорог, позволяющая обеспечить их ровность, ‒ один из основных показателей современного строительства [7]. Предельные допустимые значения амплитудных разностей высот для различных категорий дорог при нивелировании с шагами 5, 10 и 20 м регламентировались на время строительства дороги СНиП 3.06.03-85 [8], а в настоящее время СП 78.13330.2012 [9]. В разделе «Приемка выполненных работ» этих нормативных документов для определения ровности приведены предельные значения при нивелировании с шагами 5, 10 и 20 м.

В статье рассмотрены статистические исследования точности ровности поверхности асфальтного покрытия километрового участка автомобильной дороги в деревне Кокшенево Муромцевского муниципального района Омской области, построенной в 2013 г. в соответствии с СНиП 3.06.03-85 [8], при шаге нивелирования 20 м. Статистическими данными являются амплитудные разности высот, полученных по результатам нивелирования.

Материалы и методы

На верхнем слое асфальтного покрытия автомобильной дороги в деревне Кокше-нево протяженностью 1 км было выполнено нивелирование оси, левой и правой кромок с использованием электронного тахеометра. По результатам нивелирования получены высоты поверхности асфальтного покрытия автомобильной дороги и вычислены значения амплитудных разностей высот по формуле (1) согласно [8].

^ H . = H i ₂H '

—

H i + 1 ,

где    H i , H i+1 , H i+2 – высоты соседних точек.

На основе значений амплитудных разностей высот в статье выполнена математическая обработка статистических исследований ровности поверхности асфальтного покрытия автомобильной дороги; установлена закономерность распределения амплитудных разностей высот. Для проведения исследований рассчитана интервальная разность h ряда по формуле (2) согласно методике, приведенной в работе профессора Ю.В. Столбова [10].

R h =-------------,

1 + 3,32lg N где R – размах варьирования амплитудных разностей высот; N – количество амплитудных разностей высот.

Размах варьирования значения амплитудных разностей высот от максимального к минимальному определен по формуле

^R = ⁽ x max

x min ) ,

где x _min и x _max – соответственные варьирующие значения амплитудных разностей высот.

Число интервалов в ряду амплитуд позволяет определить формула к = Rh.                                (4)

За начало первого интервала принято значение х_тч = ( х ^ - к /2 ) .

Величины, характеризующие количественную характеристику появления значений x i в интервале, называются частотой и обозначаются n , а их отношение к общему числу выбранных значений наблюдений принято называть частостями, их вычисляют согласно [10] из отношения

W_t = n_t / N .                                       (5)

Набор интервалов и их частоты составляют статистическое распределение ряда амплитудных разностей высот. Частотой интервала характеризуется сумма частот амплитудных разностей высот, попавших в интервал, при этом сумма всех частот вариационного ряда равна их количеству в нем.

За количественное значение, вокруг которого группируются значения

амплитудных разностей x 1 , x 2 , x 3 ,

..

., x n величины х , принята средняя арифметическая

ряда, эта характеристика статистической оценки определяется формулой N

Е nx

X = —--

N

,

где N – количество амплитудных разностей высот; n i ‒ частота; x i – середины интервалов вариационных рядов.

Простейший количественный признак вариации наблюдаемых значений ряда относительно своего среднего значения x характеризуется дисперсией Д и стандартом σ, эти характеристики устанавливают по формулам: k

Е n i •( х - ^{х )2} д =—------

N

,

(Г =

Пользуясь «исправленным» средним квадратическим отклонением (СКО) можно вычислить значение среднеквадратической погрешности (СКП) определения амплитудных разностей высот согласно [10] по формуле

m =

2 n_z ( х  ^{х ) ;}

i = 1 _______________

N1

По величине СКП, пользуясь формулой (10), рассчитывается величина М ‒ СКП среднего арифметического значения ряда амплитудных разностей высот. Величина СКП самой СКП ‒ m ‒ может быть вычислена по формуле (11)

m

м = ^ ;

N

m mm   42(N  1) '

Предложенная по формулам (2)‒(11) оценка точности является точечной и определяется одним числом. В статье рассматривается интервальный ряд с максимальным и минимальным значениями амплитуд высот, поэтому в данном случае следует

использовать интервальные оценки. Интервальная оценка точности подразумевает определение двух значений, характеризующих как точность, так надежность полученных оценок [10].

Для оценки среднего значения амплитудных разностей высот X и СКО, или дисперсии, нами применен метод «доверительных интервалов». Для определения границ доверительных интервалов использованы точечные характеристики X и т, доверительная вероятность P = 0,95 и уровень значимости (точность оценки) q = 0,05 . При построении доверительных интервалов с доверительной вероятностью P = 0,95 учитывается, что появление значений амплитудных разностей высот, превышающих по абсолютному значению величину, равную 2 т , будет минимальным и исследуемые интервальные ряды имеют ограниченный объем.

Для математического ожидания а и стандарта а в пределах интервального ряда доверительные интервалы будут иметь вид x —t • m / .N < a < x +t • m 1JN,                      (12)

m — t • mФ • ( N - 1 ) <  a <  m + 1 • m /V ² • ( N - 1 ) ,                (13)

где t - коэффициент перехода от предельных значений к СКП, определяемый из таблиц [11], [12] по доверительной вероятности P = 0,95 и количеству амплитудных разностей высот N.

Методика оценки для определения доверительных интервалов для математического ожидания а и стандарта а справедлива при числе амплитудных разностей высот N > 50. В результатах исследований используется ограниченный интервальный ряд, состоящий из 49 амплитудных разностей высот, поэтому для оценки математического ожидания применяется распределение Стьюдента и в неравенство (12) вводится коэффициент t - нормируемый множитель, который заменяет коэффициент t и зависит как от доверительной вероятности Р = 0,95, соответствующей выполнению геодезических работ, так и от количества амплитудных разностей высот в ряду. Доверительный интервал в этом случае для оценки математического ожидания запишется в виде x — t ■ т I 4N < a < x + t • т 1XN.                   (14)

Доверительный интервал для оценок стандарта а с применением распределения критерия Пирсона х 2 с N - 1 степенями свободы будет определяться неравенством т (1 — g )<^ < т (1 + g),                         (15)

где т - СКП амплитудных разностей высот; g - коэффициент, выбираемый по таблицам [11], [12] и зависящий от объема вариационного ряда и вероятности.

Результаты исследований

Статистическая обработка амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги по оси выполнена с использованием формул (2)‒(9), приведена в табл. 1, по левой кромке - в табл. 2, по правой кромке - в табл. 3, доверительные интервалы, рассчитанные по формулам (14)-(15), приведены ниже указанных таблиц.

Таблица 1

Интервалы, мм		Часто-та, n i	Частость, W i	Середина интерв. xi , мм	nx i ,, мм	х - x, мм	n i ( х i - x ), мм	n i (x i - x )2, мм	t1	t 2	1 Ф ( t 1 ),	1 Ф ( t 2 ),	P(x i )
a	b
‒13,98	‒9,32	3	0,06	‒11,65	‒34,95	‒11,89	‒35,66	423,96	‒2,33	‒1,57	‒0,49	‒0,44	0,05
‒9,32	‒4,66	5	0,10	‒6,99	‒34,95	‒7,23	‒36,14	261,20	‒1,57	‒0,80	‒0,44	‒0,29	0,15
‒4,66	0	16	0,33	‒2,33	‒37,28	‒2,57	‒41,08	105,49	‒0,80	‒0,04	‒0,29	‒0,02	0,27
0	4,66	18	0,37	2,33	41,94	2,09	37,66	78,79	‒0,04	0,73	‒0,02	0,27	0,28
4,66	9,32	3	0,06	6,99	20,97	6,75	20,26	136,78	0,73	1,49	0,27	0,43	0,16
9,32	13,98	2	0,04	11,65	23,30	11,41	22,82	260,48	1,49	2,25	0,43	0,49	0,06
13,98	18,64	2	0,04	16,31	32,62	16,07	32,14	516,63	2,25	3,02	0,49	0,50	0,01
Сумма		49		1,00		11,65		1783,34

Статистическая обработка амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги (ось дороги)

x = 11,65/49 = 0,24 мм                   М = 6,10/749 = 0,87 ммm = 71783/48 = 6,10 мм                    mm = 6,10/72 (49 - 1) = 0,62 мм

Доверительный интервал для « »:x -t • M

qqq

0,24- 2,01^ 0,87 <a< 0,24 + 2,01 0,87      - 1,50 мм < a< мм

Доверительный интервал для «σ»:m • (1 — g)

6,10 • (1 - 0,21) < о < 6,10 • (1 + 0,21)        5,31 мм < о < 7,31 мм

Статистическая обработка амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги (левая кромка)

Таблица 2

Интервалы, мм		Частота ni	Частость Wi	Середина интерв. xi ,мм	nxi, мм	xi - x , мм	ni(xi- x ), мм	ni(xi- x )2, мм	t1	t2	1 ФМ 2	1Ф(t2) 2	P(xi)
a	b
‒21,18	‒14,12	2	0,04	‒17,65	‒35,30	‒17,58	‒35,16	617,97	‒2,47	‒1,64	‒0,49	‒0,45	0,04
‒14,12	‒7,06	7	0,14	‒10,59	‒74,13	‒10,52	‒73,63	774,39	‒1,64	‒0,82	‒0,45	‒0,29	0,16
‒7,06	0	16	0,33	‒3,53	‒56,48	‒3,46	‒55,33	191,32	‒0,82	0,01	‒0,29	0,00	0,30
0	7,06	17	0,35	3,53	60,01	3,60	61,23	220,57	0,01	0,84	0,00	0,30	0,30
7,06	14,12	4	0,08	10,59	42,36	10,66	42,65	454,72	0,84	1,66	0,30	0,45	0,15
14,12	21,18	2	0,04	17,65	35,30	17,72	35,44	628,14	1,66	2,49	0,45	0,49	0,04
21,18	28,24	1	0,02	24,71	24,71	24,78	24,78	614,15	2,49	3,31	0,49	0,50	0,01
Сумма		49	1		‒3,53			3501,26					0,99

x = -3,53/49 = -0,07 мм                  М = 8,54/ 749 = 1,22 ммm = 73501,26/48 = 8,54мм               mm = 8,54/ 72 • (49 -1) = 0,87мм

Доверительный интервал для « »:

x -t • M < a < x +t • M,        где t (N = 49; P = 0,95) = 2,01

qq   q

- 0,07 - 2,01 • 1,22 < a < -0,07 + 2,01 • 1,22       - 2,52 мм < a < 2,38 мм

Доверительный интервал для «σ»:

m • (1 - g) <ст <m • (1 + g),        где g(N = 49, P = 0,95) = 0,21

8,54 • (1 - 0,21) < ст < 8,54 • (1 + 0,21)          6,75 мм < ст < 10,33 мм

Таблица 3

Статистическая обработка амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги (правая кромка)

Интервалы, мм		Частота ni	Частость Wi	Середина интерв. xi мм	nxi, мм	xi- x , мм	ni(xi- x ), мм	ni(xi- x )2, мм	t1	t2	1 Ф(t1) 2	1 Ф(t2) 2	P(xi)
a	b
‒15,6	‒10,4	8	0,16	‒13,00	‒104,00	‒12,84	‒102,73	1319,09	‒1,96	‒1,30	‒0,48	‒0,40	0,07
‒10,4	‒5,2	2	0,04	‒7,80	‒15,60	‒7,64	‒15,28	116,76	‒1,30	‒0,64	‒0,40	‒0,24	0,16
‒5,2	0	13	0,27	‒2,60	‒33,80	‒2,44	‒31,73	77,45	‒0,64	0,02	‒0,24	0,01	0,25
0	5,2	17	0,35	2,60	44,20	2,76	46,91	129,42	0,02	0,68	0,01	0,25	0,24
5,2	10,4	5	0,10	7,80	39,00	7,96	39,80	316,74	0,68	1,34	0,25	0,41	0,16
10,4	15,6	2	0,04	13,00	26,00	13,16	26,32	346,33	1,34	2,00	0,41	0,48	0,07
15,6	20,8	2	0,04	18,20	36,40	18,36	36,72	674,12	2,00	2,66	0,48	0,50	0,02
Сумма		49	1		‒7,80			2979,92					0,97

X = -7,80/49 = -0,16 мм                М = 7,88/749 = 1,13 мм m = 42979,92/48 = 7,88 мм            mm = 7,88 / 72 • (49 -1) = 0,80 мм

Доверительный интервал для « »:

x - t_q • M <a <x + t_q • M,           где t_q (N = 49; P = 0,95) = 2,01

- 0,16 - 2,01-1,13 < a < -0,16 + 2,01-1,13           - 2,42 мм < a < 2,10 мм

Доверительный интервал для «σ»:

m • (1 - g) <ст <m • (1 + g),             где g(N = 49, P = 0,95) = 0,21

7,88 • (1 - 0,21) < ст < 7,88 • (1 + 0,21)     6,22 мм < о < 9,53 мм

Интервальный шаг, вычисленный по формуле (2) для значений амплитудных разностей высот по оси, левой и правой кромкам, при статистических исследованиях соответственно ±4,66; ±7,06 и ±5,2 мм. Количество интервалов в трех рядах, определенное по формуле (4), получилось равным семи. Сумма относительных частот, вычисленная по формуле (5), равна 1. Среднее значение в интервале, установленное по формуле (6) по оси, левой и правой кромкам, соответственно ‒0,05; ‒0,07 и ‒0,16 мм. Значение СКП, вычисленной по формуле (9) для трех рядов, получилось равным соответственно 6,32; 8,54 и 7,88 мм. СКП среднего арифметического значения ряда амплитудных разностей высот, вычисленная по формуле (10), равна соответственно 0,90; 1,22 и 1,13 мм. Характер эмпирического распределения амплитудных разностей высот демонстрирует кривая теоретического распределений и гистограмма

(кривая эмпирического распределения). Представленные для распределений амплитудных разностей высот кривые показан: по оси (рис. 1), по левой (рис. 2), по правой кромкам (рис. 3).

Построение кривой теоретического распределения выполняется по серединам интервалов и значениям вероятностей, им соответствующих P(x_t), а кривая эмпирического распределения (гистограмма) ‒ по относительным частотам и серединам интервалов ‒ согласно данным табл. 1‒3. Гистограмма имеет вид ряда прямоугольников в форме ступенчатой фигуры, она не дает полного представления о характере эмпирического распределения.

Практическая кривая   —■— Теоретическая кривая

Рис. 1. Кривая практического и теоретического распределений амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги (ось дороги)

Рис. 2. Кривая практического и теоретического распределений амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги (левая кромка)

Рис. 3. Кривая практического и теоретического распределений амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги (правая кромка)

В качестве нулевой статистической гипотезы полученных значений амплитудных разностей высот, в пределах интервального ряда, можно принять гипотезу о нормальном характере их распределения, при этом вероятности P(х,) будут определены согласно [10] по формуле Лапласа

t

Ф(t) =       ( e -t2 2 • dt,                               (16)

V2п о где t = (a - х)/m или t = (b - x)/m; a и b - границы интервалов; X - средняя арифметическая характеристика вариационного ряда; m – СКП амплитудных разностей высот.

Значения Ф(t) можно выбрать из таблиц [11], [12]. Сумма вероятностей, полученных в границах интервалов, должна быть близкой к единице.

В исследованиях нами принято, что распределение значений амплитудных разностей высот по результатам статистического анализа подчиняется нормальному закону. Гипотеза правдоподобна при вероятности того, что величина х, являющаяся случайной, приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемые в интервальном ряду [11]. Мерой расхождения принята величина х2 (хи-квадрат), вычисляемая как сумма отклонений эмпирических и теоретических частот. В теории вероятностей величина х² носит название критерия Пирсона, ее определяют по формуле

к хН» =Z(", - NP(xi)) / NP(x.),                      (17)

i-1

где n - эмпирические частоты; NP(x_t) - теоретические частоты; к - число интервалов; P(х₄) - теоретическая вероятность попадания xi в интервал.

n

N = Z ", .                                   (18)

=1

В наших исследованиях значение критерия Пирсона %² по оси составляет 8,90. Его вычисление выполнено в табл. 4, по левой кромке 2,12 (табл. 5), по правой кромке 12,13 вычисления приведены в табл. 6.

Таблица 4

Вычисление критерия Пирсона χ² для оценки сходимости эмпирического распределения амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги с нормальным распределением (ось дороги)

Интервалы, мм		Частота ni	Вероятность P(xi)	Теорет. частота NP(xi)	ni – NP(xi)	[ni – NP(xi)]2	[ni –NP(xi)]2 NP(xi)
a	b
‒13,98	‒9,32	3	0,05	0,05	2,36	0,64	0,41
‒9,32	‒4,66	8	0,16	0,15	7,53	0,47	0,22
‒4,66	0	13	0,28	0,27	13,33	-0,33	0,11
0	4,66	18	0,26	0,28	13,88	4,12	16,96
4,66	9,32	3	0,16	0,16	8,07	-5,07	25,66
9,32	13,98	2	0,06	0,06	2,74	-0,74	0,55
13,98	18,64	2	0,01	0,01	0,53	1,47	2,16
Сумма		49	0,98				χ2выч = 8,90

2,АА„.^

При семи интервалах число степеней свободы к = 3 % (0,04,3) = 9,5.

Таким образом, 8,90 ^9,5 . Нулевая гипотеза не отвергается

Таблица 5

Вычисление критерия Пирсона χ² для оценки сходимости эмпирического распределения амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги с нормальным распределением (левая кромка)

Интервалы, мм		Частота ni	Вероятность P(xi)	Теорет. частота NP(xi)	ni – NP(xi)	[ni – NP(xi)]2	[ni –NP(xi)]2 NP(xi)
a	b
‒21,18	‒14,12	2	0,04	2	0	0	0,00
‒14,12	‒7,06	7	0,16	8	‒1	1	0,13
‒7,06	0	16	0,30	15	1	1	0,07
0	7,06	17	0,30	14	3	9	0,64
7,06	14,12	4	0,15	7	‒3	9	1,29
14,12	21,18	2	0,04	2	0	0	0,00
21,18	28,24	1	0,01	0	1	1	0,00
Сумма		49					χ2выч = 2,12

2zaa„.^

При семи интервалах число степеней свободы к = 3 % (0,04, 3) = 9,5.

Таким образом, 2,12 < 9,5. Нулевая гипотеза не отвергается

Значения критерия Пирсона, вычисленные по оси и левой кромке, не превышают 2

критическое, χ , которое составляет 9,5 в соответствии с [11], [12], при уровне значимости q = 1 - P = 0,05 и вероятности Р = 0,95. Критерий Пирсона является чувствительным критерием, так при его вычислении для правой кромки дороги (табл. 6) значение составило 12,13. Вычисленное значение критерия Пирсона превышает критическое, равное

9,5, тем самым отвергается гипотеза нормального распределения амплитудных разностей высот. В этом случае для оценки сходимости распределения амплитудных разностей высот с нормальным был применен критерий Б.С. Ястремского (табл. 7).

Таблица 6

Вычисление критерия Пирсона χ² для оценки сходимости эмпирического распределения амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги с нормальным распределением (правая кромка)

Интервалы, мм		Частота ni	Вероятность P(xi)	Теорет. частота NP(xi)	ni – NP(xi)	[ni – NP(xi)]2	[ni –NP(xi)]2 NP(xi)
a	b
‒15,6	‒10,4	8	0,07	4	4	16	4,00
‒10,4	‒5,2	2	0,16	8	-6	36	4,50
‒5,2	0	13	0,25	12	1	1	0,08
0	5,2	17	0,24	12	5	25	2,08
5,2	10,4	5	0,16	8	-3	9	1,13
10,4	15,6	2	0,07	3	-1	1	0,33
15,6	20,8	2	0,02	1	1	1	0,00
Сумма		49					χ2выч = 12,13

2zaa,.^

При семи интервалах число степеней свободы к = 3     % (0,04, 3) = 9,5.

Таким образом, 12,13 > 9,5. Нулевая гипотеза отвергается

Таблица 7

Вычисление критерия Ястремского Б.С. для оценки сходимости эмпирического распределения амплитудных разностей высот асфальтного покрытия автомобильной дороги с нормальным распределением (правая кромка)

Интервалы, мм		Частота ni	Вероятность P(xi)	Теорет. частота NP(xi)	ni – NP(xi)	[ni – NP(xi)]2	1–P(xi)	NP(xi)[1– P(xi)]	[ni – NP(xi)]2 NP(xi)[1– P(xi)]
a	b
‒15,6	‒10,4	8	0,07	4	4,000	16,000	0,928	3,713	4,31
‒10,4	‒5,2	2	0,16	8	‒6,000	36,000	0,836	6,686	5,38
‒5,2	0	13	0,25	12	1,000	1,000	0,753	9,037	0,11
0	5,2	17	0,24	12	5,000	25,000	0,756	9,076	2,75
5,2	10,4	5	0,16	8	‒3,000	9,000	0,843	6,742	1,33
10,4	15,6	2	0,07	3	‒1,000	1,000	0,932	2,795	0,36
15,6	20,8	2	0,02	1	1,000	1,000	0,981	0,981	1,02
Сумма		88							Q =15,27
При семи интервалах 5 = 7, Ө=0,6,      J = —(Q—^— ■  J = —15,27—7— = 2 42. (25 - 4Ө)'       22 ■ 7 - 4 ■ 0,6    ’ Так как 2,42 < 3, то нулевая гипотеза подтверждается

Заключение

По итогам выполненных исследований установлено, что полученные значения амплитудных разностей высот подходят под закон нормального распределения. Амплитудные разности высот поверхности асфальтного покрытия соответствуют требованиям регламентирующего документа СНиП 3.06.03-85 [7] и не превышают 24 мм. Величины полученных амплитудных разностей высот соответствуют дорогам I, II и

III категории с применением комплектов дорожных машин без автоматической системы задания высот. Выполненные исследования показывают, что при строительстве автомобильной дороги был налажен технологический процесс производства строительных и разбивочных работ для обеспечения ровности поверхности асфальтного покрытия автомобильной дороги.

L.A. Pronina, A.G. Madiev

Omsk State Agrarian University named after P.A. Stolypin, Omsk

Statistical investigations of the high-position accuracy of the automobile road coverings