Степенно-логарифмические особенности решения одного класса сингулярных интегральных уравнений плоской теории упругости
Автор: Андреев Андрей Вячеславович
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 1 т.7, 2014 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается класс одномерных сингулярных интегральных уравнений (СИУ) с обобщенными ядрами и комплексно-сопряженной неизвестной функцией, описывающий краевые задачи теории упругости в двумерных областях с особыми точками. В рамках теории функций комплексной переменной и на основе аппарата теории специальных функций разработан метод определения особенностей степенно-логарифмического типа в решении интегрального уравнения. С помощью асимптотического анализа характеристической части СИУ задача отыскания показателя степенно-логарифмической особенности решения на конце промежутка интегрирования сведена к группе независимых трансцендентных уравнений относительно этого показателя. Проведен анализ построенных уравнений для комплексного и вещественного показателей особенности, выполнено сопоставление с полученными ранее результатами для классической степенной асимптотики решения. Показано, что степенно-логарифмическая особенность с комплексным показателем может иметь место только в случае, когда краевая задача не разделяется на нормальную и сдвиговую подзадачи, а для вещественного показателя особенности логарифмическое усиление не реализуется в общем случае. Представлены результаты расчетов показателя комплексной степенно-логарифмической особенности для двумерной задачи теории упругости при наличии трещины, выходящей под произвольным углом на границу раздела двух сред.
Сингулярное интегральное уравнение, обобщенное ядро, степенно-логарифмическая асимптотика, концентрация упругих напряжений, комплексный и вещественный показатель особенности
Короткий адрес: https://sciup.org/14320705
IDR: 14320705 | УДК: 539.3 | DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.1.4
Power-logarithmic singularities of solution for a class of singular integral equations arising in two-dimensional elasticity
The study is concerned with a class of one-dimensional singular integral equations (SIE) with generalized kernels and the complex conjugate unknown function that describes the elasticity problems in two-dimensional domains with singular points. Within the theory of complex variable functions and based on the formalism of the theory of special functions, a method for determination of the power-logarithmic type singularity in the solution of the integral equation is developed. By means of an asymptotic analysis for the characteristic part of a SIE, the problem of determining a solution singularity exponent at the end of the integration interval is reduced to a group of independent transcendental equations for this exponent. The analysis of the obtained equations for complex and real exponents is carried out, and a comparison with the previous results for classical power-type solution asymptotics is performed. It is shown that the power-logarithmic singularity with a complex exponent can only take place when the boundary value problem is not divided into normal and shear subproblems, and for the real exponent the logarithmic intensification of singularity is not realized in the general case. Numerical results for the complex power-logarithmic singularity exponent are presented for the two-dimensional elasticity problem of a crack approaching the interface at arbitrary angle.
Список литературы Степенно-логарифмические особенности решения одного класса сингулярных интегральных уравнений плоской теории упругости
- Paggi M., Carpintery A. On the stress singularities at multimaterial interfaces and related analogies with fluid dynamics and diffusion//Appl. Mech. Rev. -2008. -V. 61, N. 2. -P. 020801.
- Erdogan F.E., Gupta G.D., Cook T.S. The numerical solutions of singular integral equations//Mechanics of fracture. V. 1. Methods of analysis and solutions of crack problems/Ed. G.C. Sih. -Noordhoff Intern. Publ., 1973. -P. 368-425.
- Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. -Киев: Наукова думка, 1981. -324 c.
- Линьков А.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. -СПб.: Наука, 1999. -382 с.
- Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. -511 c.
- Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. -Тбилиси: Мецниереба, 1979. -135 c.
- Savruk M.P., Madenci E., Shkarayev S. Singular integral equations of the second kind with generalized Cauchy-type kernels and variable coefficients//Int. J. Numer. Meth. Eng. -1999. -V. 45, N. 10. -P. 1457-1470.
- Андреев А.В. Метод определения комплексных особенностей степенного типа в решениях сингулярных интегральных уравнений с обобщенными ядрами и сопряженными неизвестными//МТТ. -2009. -№ 5. -C. 42-58.
- Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Наука, 1977. -640 с.
- Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity -II: Asymptotic identification//Appl. Mech. Rev. -2004. -V. 57, N. 5. -P. 385-439.
- Dempsey J.P. Power-logarithmic stress singularities at bi-material corners and interface cracks//J. Adhes. Sci. Technol. -1995. -V. 9, N. 2. -P. 253-265.
- Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В., Шардаков И.Н. Сингулярность напряжений в вершине однородных и составных конусов при разных граничных условиях//ПММ. -2008. -Т. 72, № 3. -С. 477-484.
- Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. -М.: Физматлит, 2002. -Т. 1. Элементарные функции. -632 с.
- Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. -М.: Физматлит, 2003. -Т. Специальные функции. Дополнительные главы. -688 с.
- Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. -М.: Наука, 1984. -344 c.
