Стирание особенностей функций с нулевыми интегралами по кругам

Пусть Rm — вещественное евклидово пространство размерности m с евклидовой нормой | • |. Предположим, что m ^ 2, f G L1,loc(Rm) и выполнено равенство

j f (x + y) dx = 0                               (1)

| x | ^ r

(0 2021 Волчкова Н. П., Волчков Вит. В., Ищенко Н. А.

при некотором фиксированном r >  0 и всех y Е R m . Верно ли, что f = 0? Этот вопрос был рассмотрен в 1929 году известным румынским математиком Д. Помпейю [1], который утверждал, что при m = 2 ответ является положительным. Однако, спустя пятнадцать лет Л. Чакалов [2] обнаружил, что доказательство Д. Помпейю содержит ошибку. Более того, он показал, что функция f (x i ,X 2 ) = sin(Ax i ) имеет нулевые интегралы по всем единичным кругам в R ² , если число λ является нулем функции Бесселя J 1 . Впоследствии выяснилось, что аналогичные примеры ненулевых функций с условием (1) можно построить, используя метод, предложенный И. Радоном [3] еще в 1917 году. Этот метод основан на теореме о среднем для собственных функций оператора Лапласа и может быть распространен на произвольное двухточечно-однородное пространство X (см. [4, часть 2, п. 2.4]). Кроме того, он позволяет строить ненулевые функции на X , имеющие нулевые интегралы по всем сферам фиксированного радиуса.

Обозначим через V r (R m ) множество функций f Е L ^{1 , loc} (R m ), удовлетворяющих (1) при всех y ∈ R ^m . Его можно рассматривать как ядро преобразования Помпейю, ассоциированное с шаром радиуса r и группой движений M (m) пространства R m [5, часть 4, гл. 7]. Класс V r (R m ), а также различные его аналоги и обобщения активно изучались в течение последних пятидесяти лет в работах Ф. Йона, Д. Дельсарта, Д. Смита, Л. Зальцмана, К. А. Беренстейна и других авторов (см. обзоры [6–8] и монографии [4, 5, 9], содержащие обширную библиографию). Перечислим основные направления в этих исследованиях.

• 1.    Изучение нулевых множеств и соответствующие теоремы единственности для класса Vr(Rm) [4, 5, 9—11]. Данное направление восходит к теореме единственности Ф. Йона [10, гл. 6] для функций с нулевыми сферическими средними.

• 2.    Исследование допустимых ограничений на рост ненулевых функций класса V(Rm) и его аналогов на неограниченных областях (теоремы типа Лиувилля [4, 5, 9–13].

• 3.    Изучение функций с условиями типа (1), в которых r принадлежит заданному двухэлементному множеству [4–9, 11, 14, 15] (теоремы о двух радиусах). Первым результатом в этом направлении является классическая теорема Д. Дельсарта [16, 17] о характеризации гармонических функций посредством уравнения средних значений, выполненного только для двух радиусов.

• 4.    Описание функций класса V_r(R^m) в виде рядов по сферическим гармоникам [4, 5, 9, 18] (аналоги разложений Тейлора и Лорана из теории аналитических функций).

• 5.    Проблема продолжения [4, 5, 9].

• 6.    Теоремы о стирании особенностей [4, 5, 9, 18].

• 7.    Задачи интегральной геометрии о восстановлении функций из заданных классов по известным шаровым средним [4, 9, 19–22].

• 8.    Аппроксимация функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями специальных функций [4, 5, 9].

• 9.    Интерполяционные задачи для функций класса Vr (Rⁿ) [23].

• 10.    Изучение аналогов и обобщений класса Vr(Rm) на различных однородных пространствах и группах (например, на римановых симметрических пространствах) [4–9, 13–15, 20–22].

2.    Формулировка основного результата

В частности, важным направлением в рассматриваемой тематике является изучение условий, обеспечивающих стирание особенностей функций класса Vr (Rm ) и его аналогов. В настоящее время получено относительно немного результатов по указанной задаче. Все известные случаи относятся, в основном, к евклидову пространству со стандартной метрикой и касаются лишь функций специального вида (радиальные функции и их обобщения) (см. [5, часть 2, гл. 1, п. 1.6], [18, теорема 4]). Например, в работе [18] содержится следующий результат: если f Е Vr(Rm) П Cs(Rm \ {0}), s > m + 1 и f радиальна, то существует функция g Е Cs-m-1(Rm), равная f в Rm \ {0}.

В данной работе изучаются непрерывные функции на комплексной плоскости C, имеющие нулевые интегралы по всем кругам из C, конгруэнтным единичному кругу относительно сферической метрики. Аналогом группы евклидовых движений в этом случае является группа дробно-линейных преобразований PSU(2). Найдено точное условие (см. формулу (2) ниже), при котором функции рассматриваемого класса, доопределенные соответствующим образом в бесконечно удаленной точке, обладают указанным свойством на расширенной комплексной плоскости C.

Как обычно, множество C всех комплексных чисел z = x + iy отождествляется с множеством пар (x,y) вещественных чисел, т. е. с евклидовой плоскостью R ² .

Пусть B = { z Е C : | z | С 1 } — замкнутый единичный круг на C с центром в нуле.

Обозначим через PSU(2) группу дробно-линейных преобразований вида

T a,c (z) =

az - c cz + a

где a, c Е C и | a | ² + | c | ² = 1

(см. [24, лекция 27]). Элементы группы PSU(2) являются преобразованиями расширенной комплексной плоскости C. Мера

д ( X      dm(z)

d^ ^{( z )}    (1 + | z | ² )

где dm(z) — мера Лебега на C, инвариантна относительно группы PSU(2). Положим

и

K + = ff Е C (C) : У f(z) d^(z) = 0, | a | ² + | c | ² = 1, | a | - | c | > o}, ^T a,c (B)

K- = ff Е C (C) :    j  f (z)d^(z)=0, | a | ² + | c | ² = 1, | a |-| c | С 0^.

^T a,c ^{( B )}

Основным результатом данной работы является следующая теорема.

Теорема 1. 1) Пусть f Е K + ,

lim

f (z)

z →∞ z

. 3

=0

f + (z)

^f(z), f (0),

при z ∈ C, при z = TO.

Тогда f + Е K - .

2) Существует функция f Е K +

такая, что

lim

f (z)

z →∞ z

= 1.

При этом интеграл fa (b) f (z) d^(z) расходится для любых a,c Е C , удовлетворяющих условиям | a | ² + | c | ² = 1 , | a | — | c | С 0 .

Второе утверждение теоремы 1 показывает, что условие (2) в первом утверждении является существенным.

3.    Обозначения и вспомогательные конструкции

В работе используются следующие стандартные обозначения: N, Z, Z₊ — соответственно множества натуральных, целых и целых неотрицательных чисел; [t] — целая часть числа t ∈ R; λ — комплексное сопряжение к числу λ ∈ C; ^m _n — биномиальные коэффициенты; (A) i — символ Похгаммера ((А) о = 1 и (A) i = А(А + 1)... (А + l — 1) при l G N); Г — гамма-функция; F(а, в; Y; z ) — гипергеометрическая функция Гаусса, т. е.

F(а,в; Y; z)= Е ( jj z j , | z | < 1, Y / z \ N ; j=0 ⁽Y ) j j!

R ^^{a,e )} (t) = F ^ — M>M + a + в + 1; a + 1; -— функции Якоби первого рода.

Лемма 1. Пусть k,n G Z ₊ , k > 2n . Тогда

-

t

2n

R^nX (x) = Eak,n,p (1 + x) ^P-k , p=0

где

= 2 ^k-p k! (k — 2n) 2n ( — 2n) p (2n + 1) p ^ak,n,p            p!(k + 2n)!(1 — k) _p         '

⊳ Из определения (4) и соотношения

F ^{( а,в} ; y ;^z) = ^{(1 —} z^{) Y-a-e} F ⁽ y ^{— a,}Y ^{— в}; y; ^z)

(см. [25, гл. 2, п. 2.9, формулы (1), (2)] имеем

RXnX(x~) = F (k — 2n, 2n + k + 1; k + 1; ¹ 2 x^

² F ( — 2n,2n + 1; k + 1;^ — x ) (1 + x) ^k                             2

2 ^k         ( — 1) ^j ( — 2n) j (2n + 1) j

(x — 1) ^j

(1+ x) ^k j=0       (1 + k) j j!2 j

2n 2n

■ s( Е

( — 2n) j (2n + 1) j ^{(1 + k )} j ^j!

(P) ) ( — 1) p 2 k^-P (1 + x) ^P-k

Поскольку (z) p+q = (z) p (z + p) q , внутренняя сумма в (6) преобразуется к виду

2n

Е j=p

( — 2n) j (2n + 1) j ^{(1 + k )} j ^j!

2np

P = Е q=0

^{( 2n)} p+q ^{(2n +} 1) p+q ^{(1 + k)} p+q P^! q!

^{( — 2n)} p ⁽²n ⁺ l) p (1 + k) p p!

2np Е q=0

( — 2n + p) q (2n + 1 + p) q (1 + k + p) q q!

Усеченный гипергеометрический ряд Гаусса в (7) выражается через обобщенную гипергеометрическую функцию 3 F 2 по формуле

2n - p Е q=0

( — 2n + p) q (2n + 1 + p) q (1 + k + p) q q!

(4n + 1)!

(2n — p)! (2n + p + 1)

/ p — 2n, 2n + 1 + p,k + 2n + 1; 1

\ k + p + 1, 2n + p + 2

(см. [25, гл. 4, п. 4.5]). Тогда используя равенство

/    ^— N ^,a,e ; ¹    \ _ ⁽ y ^{— a)} N ⁽Y ^{— e)} N

VY, 1 + a + в — Y — N j    (y)n(y — a — £)n

(см. [26, гл. 7, п. 7.4.4, формула (88)]), получаем

2n - p Е q=0

( — 2n + p) q (2n + 1+ p) q (1 + k + p) q q!

(4n + 1)! (k — 2n) 2n - p (p — 2n) 2n - p

^{(2n — p)! (2n +} p ^{+ 1)! (1 + k + p)} 2n - p ^{( — 4n — 1)} 2n - p

Учитывая, что

( — z) j ( — 1) ^j _

r(z + 1) r(z + 1 — j)^,

отсюда находим

2n - p Е q=0

( — 2n + p) q (2n +1+ p) q _ (k — p — 1)!(k + p)!

(1 + k + p) _q q!         (k + 2n)!(k — 2n — 1)!'

Соотношения (6), (7) и (8) влекут равенство (5). >

Лемма 2. Пусть

Тогда

a m,n (x) _ (x + 2n — m) m - i (x + 2n — 1) m - i ,		m, n _ 1, . .		. ,p, p >  2,
A p (x) _	a i,i (x) a i,2 (x) . . . a 2,i (x) a 2,2 (x) . . . ...        ...      ...	a i,p (x) a 2,p (x) ...	.
	a p,i (x) a p,2 (x)   ...	a p,p (x)
A p (x) _	p - 1 p - j+1 Y n (x + 2j j=1   n=2	- 4

где Y n (x) _ 2(n — 1)(2x + 2n — 1).

<1 Вычтем из (j + 1)-й строки определителя Ap(x) j-ю строку, умноженную на (x — j + 1)(x + j), где j _ p — 1, p — 2, ..., 1. Учитывая, что aj+i,n(x) — aj,n(x)(x — j + 1)(x + j) _ aj,n(x)Yn(x),

имеем Ap(x) = 1             1 0        Y2(x) 0     a2,2(x)Y2(x) 0     as,2(x)Y2(x) 1 •• Y3(x) • • a2,3(x)Y3(x) •• a3,3(x)Y3(x) •• 1 Yp(x) a2,p(x)Yp(x) a3,p(x)Yp(x) = Поскольку am,n(x + . 2) ..           ...                   ... 0   ap-i,2(x)Y2(x) ap-i,3(x)Ya(x) 1             1        ...        1 a2,2(x)      a2,3(x)     • • •     a2,p(x) a3,2(x)      a3,3(x)     • • •     a3,p(x) ...           ...       ...       ... ap-i,2(x) ар-1,з(х) ••• ap-i,p(x) = am,n+i(x), отсюда получаем соог ...           ... • • ap-i,p(x)Yp(x) p • П Yn(x) n=2 ношение Ap(x) = Ap- p i(x + 2) П Yn(x), n=2 которое влечет равенство (9). >

Лемма 3. Пусть k Е N , к >  3 и

[ k - 1 ]

x^ l - m +O ^^{1 + Х} ^ E cn^ ^(x) = ⁰ n=1

для некоторых констант c _n ∈ C . Тогда все c _n равны нулю.

<1 По лемме 1 имеем

[ k - ¹ ]                    [ k - 1 ] 2n                          _-

(1+ x) E cnRn—k(x) = E E cnak,n,p(1 + x)p+ n=1                n=1 p=0

[ k -¹ ] /I k -¹ ]

E I E p=1 \ n > ^p

c n α k,n,p

,       x k— 3     ⁺ ,       X k— 3

(1 + x) 2 p (1 + x) 2

[ k ^{- 1} ]

£ cnak,n,o n=1

Тогда из условия (10) заключаем, что числа c _n удовлетворяют системе линейных уравнений

[ k ^{- 1} ]

£ с п в кп о = 0;

n=1

* [ k ^{- 1} ]

Г к - 3

£ Спвк,п,р = 0,  1 ^ p < n>p где вк,п,р = a2knip • Полагая

'                                        (- 1) ^p

Пкр   2Pp!(1 - k)p’ видим, что определитель этой системы равен вк,1,0 вк,2,0 • • • ek,[k-1 ],0 Пк,0 Пк,1 •

•• ^П к, [ k ^{- 3} ] ^A[ k ^{- 1} ]⁽²⁾.

Указанное произведение отлично от нуля на основании леммы 2. Отсюда c n = 0 для любого n = 1,..., [k ^{- 1}]. >

Обозначим

^T(z)= - z,

C symm (C * ) = {f e C (C * ) : f = f о t } , где C * = C \ { 0 } .

Пусть D ‘ (O ) — пространство распределений на открытом множестве проколотой сферы C, D(O ) — пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций в O .

Лемма 4. Пусть f n e C _symm (C * ) , n e N , и последовательность { f n } n=i сходится к функции f e C (C * ) в пространстве D ‘ (C * ) . Тогда f e C _symm (C * ) .

• <1 Легко видеть, что для любой функции ^ e D (C * ) функция ^ = у о T также принадлежит D (C ^* ). По условию имеем

  lim n →∞

  
  

  I ^f n ^(z)^^(z) d^^(z) = I

  
  

  ^f (z)#) d^^(z).

  
  

  C ^∗

  
  

  C ^∗

  
  

  В силу инвариантности меры ^ относительно группы PSU(2) и сопряжений, отсюда получаем

  
  

  ^lim [ ^f n ^(T(z)M^z) d^^(z) = [ ^{f ( T ( z ))} y ^{( z )} d^^(z). n →∞

  
  

  C ^∗

  
  

  C ^∗

  
  

  Поскольку f n e C _symm (C * ), это равенство переписывается в виде

  
  

  lim [ f n (z>(z) d^(z) = [ f (T(z)>(z) d^(z). n →∞

  
  

  C ^∗

  
  

  C ^∗

  
  

  Снова используя сходимость { f n } n=i к f , приходим к соотношению

  
  

  ^lim [ ^{f (z}M^z) d^^(z) = [ ^{f (T(z))}yC^z) d^^(z). n →∞

  
  

  C ^∗

  
  

  C ^∗

  
  

  Учитывая произвольность функции ^ e D (C * ), заключаем, что f e C _symm (C * ). >  Лемма 5. Пусть f e K . П C _symm (C * ) . Тогда f + e K - .

  < Ясно, что функция f, доопределенная в то значением f (0), непрерывна в C.

  Далее, предположим, что | a | — | c | < 0. Используя условие f e C _symm (C * ), а также

  учитывая инвариантность ^ относительно группы PSU(2) и сопряжений, имеем

  
  

  j ^{f (z)} d^^(z) = j ^{f ( T ( z )) d}^^(z) = jf ^{( t} 0,1 ( ^T a,c ^(z))) d^^(z)

  
  

  ^T a,c (B)

  
  

  ^T a,c (B)

  
  

  B

  
  

  = ^f' al - ал )) *> = j^f   al-л )) *>

  
  

  B

  
  

  B

  = jf ^{( T} -c,a ^{( z ))} d^^(z) =    j ^{f ( z )} d^ ⁽ z).

  
  

  B

  
  

  ^T — c,a ^{( B )}

  
  

  Условие f e K + показывает, что последний интеграл равен нулю.

  
  

Пусть теперь | a | = | c | . Тогда

Поскольку

a = 7 2 e i^a , c = "12 e^,

α, β ∈ R,

e iα z _- e - iβ

^{T a}c ^{( z )} = e ie z ₊ e - ia •

T a,_c (e ^{-i ( a + e )} ) = 0,    ТаД - e ^{-i ( a + e}) ) = _TO ,

множество T _a,_c (B ) является поворотом вокруг нуля замкнутой верхней полуплоскости. Интеграл от функции f по т _а,_с (В) преобразуется следующим образом: