Стохастическая задача Коши в гильбертовом пространстве: модели, примеры, решения
Автор: Старкова Ольга Сергеевна
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 4 т.9, 2016 года.
Бесплатный доступ
Работа посвящена стохастической задаче Коши для нелинейного уравнения первого порядка со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве с мультипликативным шумом в некотором другом гильбертовом пространстве. В первую очередь в работе представлена модель временной структуры процентной ставки, которая является мерой текущего рынка облигаций. Случайность процесса, описывающего временные структуру цены облигации, обусловлена тем, что экономические показатели изменяются во времени и неизвестны заранее. Рассмотрены методы вычисления форвардной кривой, описывающей временную структуры цены облигации, и переход от них к решению задачи Коши указанного вида. Приведены условия на исходные отображения, необходимые для существования и единственности решения, и построены примеры отображений, удовлетворяющих этим условиям. Рассмотрены слабое и мягкое решения задачи Коши, приведены результаты существования и единственности мягкого решения, показана связь мягкого и слабого решений, из которой следует существование и единственность слабого решения задачи Коши.
Стохастическая задача коши, белый шум, винеровский процесс, слабое решение, мягкое решение, цена облигации, форвардная кривая
Короткий адрес: https://sciup.org/147159401
IDR: 147159401 | УДК: 519.216.73, | DOI: 10.14529/mmp160406
Stochastic Cauchy problem in Hilbert spaces: models, examples, solutions
The paper is concerned with the stochastic Cauchy problem for nonlinear first order equation with values in a separable Hilbert space and with multiplicative noise in some other Hilbert space. First, a model of the term structure of interest rate that is a measure of the current bond market is represented. Stochastic behavior of the process describing a temporary bond price structure is caused by the fact that the economic indicators change in time and are not known in advance. We consider methods of calculating the forward curve, which describes the temporal structure of the bond price, and the transition from these methods to the solution of the Cauchy problem of mentioned type. Secondly, we show conditions on initial mappings which are necessary for existence and uniqueness of solution and build examples of mappings satisfying these conditions. We construct weak and mild solutions, show the results of existence and uniqueness of mild solution and the relationship of soft and weak solutions, which implies the existence and uniqueness of a weak solution of the Cauchy problem.
Список литературы Стохастическая задача Коши в гильбертовом пространстве: модели, примеры, решения
- Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Cambridge Univ. Press, 1992 DOI: 10.1017/CBO9780511666223
- Gawarecki L., Mandrekar V. Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensions. Berlin, Heidellberg, Springer-Verlag, 2011 DOI: 10.1007/978-3-642-16194-0
- Melnikova I.V. Filinkov A.I., Anufrieva U.A. Abstract Stochastic Equations I. Classical and Distributional Solutions. Journal of Mathematical Sciences, 2002, vol. 111, no. 2, pp. 3430-3465 DOI: 10.1023/A:1016006127598
- Melnikova I.V., Filinkov A.I. Abstract Stochastic Problems with Generators of Regularized Semigroups. Journal of Communications in Applied Analysis, 2009, vol. 13, no. 2, pp. 195-212.
- Alshanskiy M.A., Melnikova I.V. Regularized and Generalized Solutions of Infinite-Dimensional Stochastic Problems. Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, no. 11, pp. 1-28 DOI: 10.1070/SM2011v202n11ABEH004199
- Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation. Econometrica, 1992, vol. 60, no. 1, pp. 77-105 DOI: 10.2307/2951677
- Musiela M. Stochastic PDEs and Term Structure Models. Journees Internationales de France, IGR-AFFI, La Baule, 1993.
- Filipovic D. Consistency Problems for Heath -Jarrow -Morton Interest Rate Models. Berlin, Heidellberg, Springer, 2001.
- Balakrishnan A.V. Applied Functional Analysis. Berlin, Heidellberg, Springer, 1976.
