Стохастическая задача о восстановлении и замене оборудования

Задача о восстановлении и замене оборудования рассматривалась в детерминированной постановке Р.Беллманом и решалась методом динамического программирования [1]. В предлагаемой работе состояние промышленного оборудования в процессе эксплуатации и ремонта описывается марковской цепью с двумя состояниями: состояние 1 соответствует исправному оборудованию, состояние 0 – оборудованию, находящемуся в ремонте.

• 1.    Постановка задачи

Время предполагается дискретным ( например, единица измерения – 1 ч). Исправное эксплуатируемое оборудование, с вероятностью p n остается исправным на следующем шаге и с вероятностью 1– p n переходит в состояние ремонта. В связи со старением оборудования вероятность p n уменьшается по закону геометрической прогрессии:

P n = « P n - 1 ,

P 0 = 1,                                           (1)

0 < a < 1, q – вероятность того, что неисправное оборудование на следующем шаге останется в ремонте.

Можно ввести в модель изменяющуюся вероятность q , возрастающую с течением времени, что моделирует усложнение ремонта устаревающего оборудования. Для непрерывного времени стохастическая постановка задачи рассматривается в работе [2].

Введём величины Q 1 [ n ] и Q 0 [ n ]:

Q 1 [ n ] – вероятность рабочего состояния оборудования на временном шаге n ;

Q 0 [ n ] – вероятность того, что на шаге n оборудование находится в ремонте;

Q [ n ] = ( Q 1 [n ], Q ₀ [ n ] ) — вектор распределения вероятностей.

Тогда определим:

Q [ n ] = Q [0] ■ A [1] ■ A[2] ■ ... ■ A[n ],                 (2)

где

A [ n ] -

pn

.^{1 -} q

• ^{1    -} P n ^q

переходная матрица

вероятностей.

Доход, полученный в течение шага n , можно рассчитать по формуле:

D [ n ] - п Q 1 [ n ] - cQ 0 [n ] ,                      (3)

п – доход, получаемый от работающего оборудования в единицу времени, с – расход за ремонт в единицу времени.

Стохастическая задача о восстановлении и замене оборудования

Тогда средний доход за время жизни оборудования N:

N

P r [ N ] - - S ( n Q 1 [ n ] - cQ 0 [ n ] ),       (4)

Nn - 1

а общий доход вычисляется по формуле:

N

P r [ N ] = S ( n Q i [ n ] - cQ 0 [ n ] ).              (5)

n - 1

В таком случае решение задачи о замене оборудования сводится к нахождению N 0 – точки максимума функции P r [ N ] . Считаем, что в момент времени N 0 целесообразно заменить оборудование новым.

2. Алгоритм выбора и обоснование модели замены оборудования

Функции общего и среднего дохода нелиней-

Пусть      lim an ^ b. По условию n ^^

0 < a <  1 ^ lim a n ^ 0.

n ^^

Тогда будем искать значение b из уравнения: b - (1 - b )(1 - q ).

В итоге получаем: b -1-—   или

2 - q lim a n ^ 1 - ----;

n ^~         2 - q

Из соотношения (4) получаем

1N lim PitN] - lim — SnQ1[n] -cQ0[n] -

N ^^         N ^-^ TV 1

n - 1

1 ^N lim — У п a n ^^ N , n - 1

^- c ^{(1 -a} n )•

Таким образом, ны и, по-видимому, не выражаются в аналитическом виде известными методами. Отыскание момента замены оборудования нетрудно реализовать численными методами. Предпримем попытку ана-

lim Pr'[N] - п 11--— n^~         I 2 -q

- c ------.

2 - q

литического исследования:

p 0 = 1; p n +1 = αP n значит, P n = α ⁿ ; Отсюда

получаем: A[n ] -

a ⁿ

^{1 -} q

1 -a ⁿ

q

. Из выражения (2)

вытекает, что Q[ n ] = Q[ n– 1]A[ n ].

Вычислим начальные значения членов

последовательности Q[n]:

Значит, функция среднего дохода имеет горизонтальную асимптоту, с течением времени средний доход от эксплуатации стабилизируется, причем его предельная величина зависит от начальных параметров п, с и q . Очевидно, это предельное значение может быть как отрицательным, так и положительным или нулевым. Путем несложных выкладок можно вывести условие нулевого предельного среднего дохода:

Q [1] - [ 1;0 ] .

a

^{1 -} q

1 -a

q

- [ a ;1 -a ] .

c - 1 - q . п

Q [2] - [ a ;1 -a ] .

a ²

1 -a ²

,^{1 -} q

q

— ^[a + (1 — a )(1 — q ); a (1 — a ) + (1 — a ) q J .

Из условия задачи вытекает, что сумма 1 и 2-й компоненты вектора Q[ n ] равна единице (это вероятности состояний, образующие полную систему вероятностей).

Тогда примем:

Модель имеет смысл при условии, что средний доход превышает затраты на ремонт. Только в этом случае существует предел уравнения (7).

Параметр α определяет лишь быстроту стабилизации среднего дохода (чем больше значение α, тем медленнее стабилизируется доход), от него значение предельного дохода не

a ₁ - a ; a ₂ - a ³ + (1 - a )(1 - q );

1 - a ₂ - a (1 - a ²) + (1 - a ) q .

зависит.

Рассмотрим функцию общего дохода.

Так как Pr[N] = N·Pr’[N], учитывая соотношение (5), делаем вывод, что функция общего дохода

имеет наклонную асимптоту:

Запишем

Q [ n ] -

[ ^a n -b^{1 -a} n - 1

a n

.^{1 -} q

1 -a n ^q

Pr[ N ] = n \ 1---— I - c—-— ■ N + m , I ( 2 - q J 2 - q J

- [a n ₄a n + ⁽¹ -a n - 1 ⁾⁽¹ - q ^( a n - 1 a n + Q-a n - 1 ⁾⁽¹ - q ) ) ] .

Отсюда находим выражение для a _n :

a n -a n ₄a n + (1 -a „ ₄)(1 - q ).              (7)

где m – некоторая константа, определяемая параметрами п, c , q .

c

При — + q -1 < 0 (в частности, при с > п) об-п щий доход, в конечном счёте, будет убывать. Как свидетельствуют расчеты, если при этом взять малое α → 0 и большое q → 1, экстремума внутри отрезка не будет, так как функция начнёт убывать

Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника», выпуск 17

Р.Ю. Шаров с первого же шага. Иначе экстремум будет иметь место. Причём чем больше q, тем быстрее функция достигает экстремума.

c

При — + q -1 > 0 общий доход, в конечном п счёте, будет расти. При этом экстремум внутри отрезка возможен лишь в том случае, если функция возрастает медленно и имеет существенные начальные колебания (при малых α → 0, при c

+ q -1 ^ +0). В остальных случаях доход моно-п тонно возрастает, начиная с самого первого шага.

В целях иллюстрации модели была составлена программа с использованием математического пакета Matlab. Программа рассчитывает зависимость значений точки оптимума от начальных параметров.

Недостаток данной модели состоит в том, что она допускает возможность бесконечного роста дохода от бесконечно старого оборудования. Модель можно сделать более реалистичной, введя, например, коэффициент удорожания ремонта или коэффициент понижения прибыли (с каждым последующим шагом). В таком случае общий доход, в конечном счете, будет падать даже при самых благоприятных условиях.