Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом

Уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики. Их систематическое изучение началось в середине прошлого века после основополагающих работ С.Л. Соболева, хотя многие представители этого класса были получены и изучены ранее, в частности, знаменитая система уравнений Навье – Стокса (см. прекрасный исторический обзор в [1]). В настоящее время исследования уравнений соболевского типа растут лавинообразно, упомянем здесь лишь несколько монографий, вышедших в последнее время и примыкающих к нашей проблематике [2 – 7]. Неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка

Av ^{( n )} = Bv + g                                   (1)

в предположении kerA = { 0 } изучались в различных аспектах [8 - 10]. Здесь операторы A,B Е L (V; G ) (т.е. линейны и непрерывны), V и G - банаховы пространства, свободный член g = g(t) моделирует детерминированную внешнюю нагрузку, натуральное число n >  2. Прообразом (1) служит уравнение

(А - A)v tt = aAv + g,                                (2)

моделирующее возмущение свободной поверхности несжимаемой жидкости при условии потенциальности движения и сохранении массы в слое [11], продольные колебания упругого стержня [12], а также возникающее при изучении звуковых волн в смектиках [13].

Принципиальный недостаток модели (2) с детерминированным свободным членом заключается в том, что в натурных экспериментах правая часть подвержена случайным возмущениям, например, в виде белого шума. Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения с различными аддитивными случайными процессами (т.е. рассматривается не только белый шум, но и более общие марковские и диффузионные процессы) сейчас активно изучаются [14]. Первенствует здесь традиционный подход Ито–Стратоновича–Скорохода, хотя в последнее время возникли многообещающие направления [15, 16]. Появились первые результаты по стохастическим уравнениям соболевского типа [17], базирующиеся на распространении подхода Ито – Стратоновича – Скорохода на уравнения в частных производных (см., например, [18]). Мы рассмотрим стохастическое уравнение соболевского типа высокого порядка

Ad^ ^{( n- 1)} = (B^ + g)dt + Ndw. (3)

Здесь в правой части символом dw обозначен белый шум, представляющий собой обобщенный дифференциал от винеровского процесса w(t). Требуется определить случайный процесс ^(t), удовлетворяющий (в некотором смысле) уравнению (3) при условиях

£^Н(0)= ^ m , m = 0,1,...,n — 1, (4)

где ^ m — заданные случайные величины. Поскольку производная d£ ^{( n- 1)} и белый шум корректно определены только в терминах обобщенных функций, прямое исследование подобного уравнения весьма сложно. Мы привлекаем к исследованию следующий прием: сначала мы переходим к стохастическому дифференциальному уравнению

Кроме настоящего введения, статья содержит три параграфа. Первый посвящен детерминированным линейным уравнениям соболевского типа высокого порядка с (A,p)-ограниченным оператором B в правой части. Второй параграф посвящен стохастическим линейным уравнениям соболевского типа высокого порядка. В третьем, абстрактные результаты иллюстрируются начально-краевой задачей для стохастического уравнения Буссинеска – Лява с аддитивным белым шумом.

1.    Детерминированные уравнения

Пусть V и G - сепарабельные банаховы пространства, операторы A, B Е L (V; G), причем оператор B (A,p)-ограничен, p Е { 0 } U N. В этом случае пространства V и G расщепляются в прямые суммы V = V ⁰ ® V ¹ и G = G ⁰ ® G ¹ , причем V ⁰ D ker A. Обозначим через A k (B k ) сужение оператора A(B) на подпространство V ^k , к = 0,1. Справедлива [5, гл. 4],

Лемма 1. Операторы A k , B k Е L ( V ^k ; G ^k ), к = 0,1; причем существуют операторы B ^{- 1} Е L (G ⁰ ; V ⁰ ) и A ^{- 1} Е L (G 1 ; V ¹ ).

Постороим множество ^(B) = {^n : ^ Е cA(B)}; оно компактно в C в силу компактности A-спектра aA(B) оператора B. Возьмем замкнутый контур y = {Ы = r : r > А, А Е ^(B)} и построим оператор функции t m

= ^ /

^ ^{n-m- 1} (^ ⁿ A — B)Ae^,

где m = 0,1,..., n — 1, а интеграл понимается в смысле Римана.

Лемма 2.   V • Е C “ (R; L (V;V ¹ )), (V tV^{l )} = V t, ,, где m = 0,1,...,n — 1, l = 0,1,...,m;

m m                                                       m t|

(V m ) ^{( l )} |    = O при m = l и (VV m ) ^{( l )} |    - проектор V на V ¹ вдоль V ⁰ .

Рассмотрим теперь неполное линейное уравнение соболевского типа высокого порядка

Av(n) = Bv.(5)

Вектор-функцию v Е C “ (R; V) назовем решением уравнения (5), если она обращает уравнение (5) в тождество при любом t Е R. Решение v = v(t) уравнения (5) назовем решением задачи Коши

v(m)(0) = vm, m = 0,1,..., n — 1(6)

для уравнения (5) (или просто решением задачи (5),(6)), если оно удовлетворяет условиям (6).

Лемма 3. Для любых v _m Е V ¹ существует единственное решение v = v(t) задачи (5), n — 1

(6), которое к тому же имеет вид v(t) = ^2 Vmvm- m=0

Наконец, следуя традиционной схеме, рассмотрим однородную (т.е. v _m = 0, m = 0,1,...,n — 1) задачу (6) для неоднородного неполного уравнения соболевского типа высокого порядка

Av ^{( n )} = Bv + g, (7)

где g : [0, т) ^ G - некоторая вектор-функция. Как нетрудно обнаружить, его единственным (в силу леммы 3) формальным решением будет вектор-функция

t j Vn—SA—1Qg(s)ds, 0

v(t) = — b H q B - ¹ (I — Q)g ^{( qn )} (t) + q =0

где H = B o 1 A o , а Q Е L (G) - проектор на G ¹ вдоль G ⁰ . Однако поскольку

p

v ^{( m )} (0) = — b H q B ₀ ^{- 1} (I — Q)g ^{( qn + m )} (0), q =0

то вектор-функция (8) не удовлетворяет однородным начальным условиям (6). В общей теории уравнений соболеского типа эта трудность преодолевается заменой задачи Коши на задачу Шоуолтера – Сидорова (см., например, [19]). Однако, поскольку мы намереваемся изучать стохастические явления в таких уравнениях, то мы пока что будем придерживаться традиционной парадигмы задачи Коши. Итак, подытожим наши рассмотрения.

Теорема 1. Пусть т Е R + , тогда для любой вектор-функции g Е C “ ((0,т); G) П C pn ^{+ n- 1} ([0,T); G) и для любых векторов v _m Е V 1,m = 0,1,...,n — 1, существует единственное решение v Е C “ ((0,т); V) П C ^{n- 1} ([0, т); V) задачи Коши

v ^{( m )} (0) = v m — ib H q B 0 ^{- 1} (I — Q)g ^{( qn + m )} (0) m = 0,1,...,n — 1, q =0

которое к тому же имеет вид n—1

^v(t) = b V L v m m =0

—

b H q B 0 ^{- 1} (I — Q)g ^{( qn )} (t) + q =0

t

V n^t — ^— 1 ^s A 1 ^{— 1} Qg(s)ds.

Замечание 1. Немного отходя от стандарта, множество V ¹ будем называть фазовым пространством уравнения (5) как множества допустимых начальных значений задачи Коши (6), содержащего все решения уравнения (5). В свое оправдание приведем следующее соображение: при переходе от уравнения (5) к системе первого порядка фазовым пространством полученной системы будет служить множество (V 1 ) n .

2.    Задача Коши для уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом

Пусть Q = (Q, A , P ) – полное вероятностное пространство, U – банахово пространство, наделенное борелевской ст-алгеброй. Отображение £ : Q ^ U назовем случайной величиной, множество случайных величин обозначим символом V (Q; U). В этом множестве выделим пространства Лебега L q (Q;U), q Е [0, + го ), и заметим, что вложение L q (Q;U) =^ L r (Q;U) плотно и непрерывно, если q >  r, а множество Q ограничено.

Пусть I , С R — некоторый промежуток, —го <  a < b <  + го . Рассмотрим следующие отображения: f : i a ^ V (Q;U), которое каждому t Е i a ставит в соответствие £ Е V (Q;U), и g : V (Q; U) х Q ^ U, которое каждой паре (£,ш) ставит в соответствие £(ш) Е U. Случайным процессом мы называем отображение п : i a х Q ^ U, имеющее вид п = пЗ, ш) = g(f (t),ш). Таким образом, при каждом фиксированном t Е i a случайный процесс п = n(t, • ) является случайной величиной, т.е. n(t, • ) Е V (Q; U), а при каждом фиксированном ш Е Q случайный процесс п = п(> ш) называется (выборочной ) траекторией. Множество случайных процессов со значениями в U мы обозначим символом P (i a х Q; U). Случайный процесс п Е P (1 ^ х Q; U) будем обозначать символами п = n(t), считая его зависимость от второй переменной ш Е Q имеющей место по умолчанию.

Через L q (i a х Q; U) обозначим множество { п Е P (i a х Q; U) : п(t, • ) Е L q (Q;U) при всех t Е I , } , q Е [1, + го ). Напомним, что п Е P (I , х Q;U) называется случайным процессом с п.н. непрерывными траекториями, если для почти всех ш Е Q отображение п(> ш) непрерывно. Множество случайных процессов из L q (I , х Q;U), чьи траектории п.н. непрерывны, обозначим через L q (I , х Q; U).

Пусть K Е L ( U ) — симметрический положительно определенный оператор, Tr(K ) <  го .

Определение 1. Случайный процесс w Е L 0 (R + х Q; U) называется K-винеровским процессом , если

• (i)    w(0) = 0;

• (ii)    w – случайный процесс с независимыми приращениями, т.е. для любого конечного набора 0 = t o <  t1 < • • • <  t _{m -1} <  t m <  го случайные величины w(t 1 ), w(t ₂ ) — w(t 1 ), • • •, w(t m ) — w ( t _{m -} 1 ) независимы.

• (iii)    Приращения имеют гауссовское распределение, точнее

P о (w(t) — w(s)) ^{- 1} = N (0, (t — s)K), 0 <  s <  t

Лемма 4. Случайный процесс w Е L ₂ (I , х Q; U) является K-винеровским процессом точно тогда, когда

∞

w(t) = ^ V^ k 3 k (t)e k ,                                 (9)

k =1

где λ _k – собственные значения оператора K , e _k – соответствующие им ортонорми-рованные собственные функции, P k (t) — независимые стандартные броуновские движения на (Q, A , P ) c действительными значениями. Для T >  0 ряд (9) сходится в L ₂ (Q, A , P ; C ([0, T]; U)). В частности, для каждого K Е L (U), K >  0, Tr(K ) <  го существует K -винеровский процесс.

Лемма 5. Траектории w( - ) винеровского процесса п.н. недифференцируемы в любой точке t Е R ₊ и на любом промежутке i a С R + имеют неограниченную вариацию.

Это свойство – главная помеха при математическом изучении белого шума. Вернемся к задаче (3),(4). Не ограничивая общности, положим g = 0.

Определение 2. G -значный процесс e(t), t Е [0,T] назовем решением задачи (3),(4), если при всех t Е [0, T ]

A(e ⁽ n ^{- 1)} (t) — £ n - 1 ) = ^ B^(s)ds + ^ t Ndw P

- п.н.

причем

e ^{( m )} (0) = e m , m = 0,1,...,n — 2 P — п.н..

Пусть w Е L 2 (R + x Q; G ¹ ) - G ¹ - значный K -винеровский процесс. Тогда его обобщенный дифференциал, представляющий собой белый шум dw, также принадлежит пространству G ¹ . Таким образом, если оператор N Е L (G 1 ), то задача (3),(4) п.н распадается на две независимые задачи

H (£ ⁰ )^н = е ⁰ , € ⁰ (0) = е 0 ,...,(Л ^{( п- 1)} (0) = е П - 1 ,                     (10)

<1 ) ^{( n- 1)} = se ¹ + A - 1 Ndw, е 1 (0) = a..., (e 1 ) ^{( n- 1)} (0) = e n - 1 ,           (ii)

где операторы H = B ^— 1 A 0 , S = A ^{- 1} B 1 ; случайные процессы e ⁰ = (I — P )e,e 1 = P^; случайные величины e k Е L 2 (Q; V k ), k = 0,1 l = 0,..., n — 1.

Рассмотрим сначала задачу (10). В силу (A, р)-ограниченности оператора B оператор H Е L (V ⁰ ) нильпотентен степени не выше р, и можно убедиться, что уравнение в задаче (10) имеет единственное, причем P -п.н. тривиальное, решение. Следовательно, задача (10) разрешима только при нулевых начальных значениях ^ 0 , • • •, е П - 1 , а для разрешимости задачи (3),(4) необходимо, чтобы все начальные значения e 0 ,...,e n - 1 P-п.н. принадлежали пространству L 2 (Q; V ¹ ).

Вернемся к задаче (11). Поскольку производная de ^{( n- 1)} и белый шум корректно определены только в терминах обобщенных функций, прямое исследование подобного уравнения весьма сложно. Поэтому, сначала мы перейдем к стохастическому дифференциальному

уравнению

(e 1 ) ^{( n- 1)} (t) — e n - 1 = Г se(s)ds + Г A ^{- 1} Ndw.

Как нетрудно обнаружить, ее единственным формальным решением будет случайный процесс n-1

e1(t) = £ vmem + m=0

j VtSA^Ndw^).                  (13)

Следуя традиционной схеме, рассмотрим однородную (т.е. e m = 0,m = 0,1,..., n — 1) задачу (3). Аналогично Н.Винеру, представим стохастический интеграл по белому шуму в следующем виде:

t                                           t

V n ^t - ^- 1 ^s A 1 ^{- 1} Ndw(s) = —

dtV n - 1 A - ¹ Nw(s)ds

t

V n ^t - ^- 2 ^s A 1 ^{- 1} Nw(s)ds, 0

где интеграл

t

I (.)=/

V t 2 A ' N w(s)ds

понимается как потраекторный (т.е. для каждого ш Е Q) интеграл Римана по отрезку [0, t] от непрерывной функции V t - S A ^{- 1} w(s, ш). Можно показать, что в силу свойств пропагаторов и непрерывности траекторий K -винеровского процесса, интеграл I Е C ^{n- 1} ((0, T); V ¹ ), причем

t

I m (t) = у V t - m -₂ A - ¹ Nw(s)ds, 0

m = 0,..., n — 2;

t

I ^{( n- 1}) (t) = A ^{- 1} Nw(s) +

j 2П j(^ⁿA — B) ^{- 1} Be^ ^{t-s )} d^A ^{- 1} Nw(s)ds.

0 Y

Следовательно, формула (13) опеределяет единственное ≪ классическое ≫ решение задачи (3),(12) и искомое решение задачи (10). Кроме того, при фиксированном t случайная величина I (t) имеет гауссовское распределение. Это следует из построения интеграла и факта, что для элементарных детерминированных процессов стохастический интеграл является гауссовской случайной величиной. При этом коварационный оператор имеет вид:

t

Cov(I(t)) = j V-^NKN * (A - ¹ ) * (V _ns - 1 ) * ds.

Теорема 2. Пусть оператор B (A,p) -ограничен, оператор N Е L (G 1 ). Пусть w Е

L2(R+ x Q; G ¹ ) - G ¹ -значный K-винеровский процесс, причем при некотором T >  0

TT j IlKs-M^NhL2ds = j Tr(VrS-1 A-1 NKN*(A-1)*(VTs-1)*)ds< ^.

Тогда для любых попарно независимых £ о >- - - >  £ п - 1 Е L 2 (Q; V ¹ ), независимых с w при каждом фиксированном t , существует решение задачи (3), (4):

n - 1

«t) = Е vm и — I (t).

m =0

3.    Задача Коши для стохастического уравненияБуссинеска – Лява с аддитивным белым шумом

Пусть D C R ⁿ - ограниченная область с границей dD класса C ^го . В цилиндре D x [0, T ], T Е R ₊ рассмотрим задачу Коши - Дирихле

^(x, 0) = ^о(х), €t(x, 0) = €1(x), x Е D,(16)

^(x,t) = 0, (x,t) Е dD x [0, T](17)

для уравнения

(A — Ax)dt^t = aAx^dt + dw.

Введем в рассмотрение пространства V = {v G W2(D) : v(x) = 0, x G dD} и G = L 2 (D). Простанство V — банахово с нормой

n

(E =А x i

_D k,l =1

n

+ E v2k + v^dx, k=1

а пространство G — гильбертово со скалярным произведением (• , •) . Формулой

( Lv, w

n

> = E k =1 _D

" x k x _k wdx,v,w G V,

зададим оператор L : V ^ G. Справедлива

Лемма 6. [5] Оператор L G L (V; G), его спектр ct ( L ) вещественен, отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке — го .

Обозначим через { A k } множество собственных значений оператора L, занумерованных по невозрастанию с учетом кратности, а через ϕ k – множество соответствующих собственных функций, ортонормированных в смысле G. Положим A = A — L,B = aL. Имеет место

Лемма 7. [5] При любых а, в G R \ { 0 } оператор B (A, 0)-ограничен.

Построим пропагаторы уравнения (18):

V0 = E Е λ>λ k

αλ k

A — A k

t( ,W )^ к + E cos J ^{aA k} t(,^ k )^ к , X_k    V ^Xk

Vt=E .■■ ^sh • ■■ ■ ⁺ e \'a    /AEA*■ ■ ■>^

Кроме того,

_{V 1} t - s

A ^{- 1} = ^E , ⁽'^{V k ) ф к} sh.        (t — s)+

x_k V( ^A—A k ^{) oA}k  V ^A - ^A k

+ ^E    (^kE^ s_in I ^Ak (t — s).

»x_k ^— V ^(A k ^{— A)aA} k     V ^A k ^A

В силу теорем 1, 2 и

леммы 2 имеет место

Теорема 3. Пусть w G

L 0 (R + x Q; G ¹ ) - G ¹ -значный K-винеровский процесс. (В качестве

K возьмем оператор Грина — L^-1 ,который будет ядерным, если n = 1, 2, 3.) Тогда при любых а, в G R \ { 0 } , A G R, T G R + , для любых независимых ^q, ^ 1 G L 2 (Q; V ¹ ), независимых с w при каждом фиксированном t , существует п.н. решение задачи (3), (4), которое к тому же имеет вид:

t

^(t) = Vq^q + V^i + j Vt s A - 1dw(s).