Строение бесконечной силовской подгруппы в некоторых группах Шункова

Слойно конечные группы впервые появились без названия в статье С. Н. Черникова [1], а затем в его последующих публикациях за ними закрепилось название слойно конечных групп. Группа называется слойно конечной, если множество ее элементов любого данного порядка конечно. Почти слойно конечные группы – это расширения слойно конечных групп с помощью конечных групп. Класс почти слойно конечных групп значительно шире класса слойно конечных групп. В то время как только некоторые чер- никовские группы слойно конечны, все черниковские группы являются почти слойно конечными.

Здесь мы изучаем группы с условием: нормализатор любой конечной нетривиальной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью. Класс групп, удовлетворяющий этому условию, довольно широк. В нем содержатся свободные бернсай-довские группы нечетного периода ≥ 665 [2] и группы, построенные А. Ю. Ольшанским [3].

Определение. Группа называется группой Шунко- ва, если для любой ее конечной подгруппы H в фактор-группе NG(H)/H любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.

В настоящей работе доказывается следующая теорема.

Теорема. Пусть в группе Шункова G, не обладающей почти слойно конечной периодической частью, нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью. Если некоторая силовская 2-подгруппа группы G бесконечна, то она является расширением квазициклической 2-группы при помощи обращающего автоморфизма.

Заметим, что если группа Шункова удовлетворяет всем условиям теоремы, но обладает почти слойно конечной периодической частью, то бесконечная си-ловская 2-подгруппа может иметь самое разнообразное строение. В частности, в качестве бесконечной силовской 2-подгруппы может выступать любая чер-никовская 2-подгруппа. Результат находится в русле исследований классических объектов школы Шункова и найдет применение при изучении бесконечных групп с условиями конечности.

Ранее автором изучались периодические группы Шункова с условием почти слойной конечности нормализаторов конечных неединичных подгрупп [4] и группы Шункова с условием минимальности для не почти слойно конечных подгрупп [5; 6]. Группы Шункова с нормализаторами нетривиальных конечных подгрупп обладающих почти слойно конечной периодической частью, исследовались в классе групп без инволюций [7], при наличии в них сильно вложенной подгруппы с черниковской периодической частью [8], сильно вложенной почти слойно конечной подгруппы [9] и сильно вложенной подгруппы с почти слойно конечной периодической частью [10].

Необходимые определения и известные результаты, используемые в доказательстве. В этом пункте для удобства чтения статьи мы приведем необходимые определения и известные результаты, на которые в дальнейшем будем ссылаться как на предложения с соответствующим номером.

Определение. Элемент второго порядка называется инволюцией .

Определение. Элемент с конечным централизатором в группе G называется почти регулярным элементом группы G .

Определение. Элемент, который сопряжением при помощи некоторой инволюции переводится в обратный, называется строго вещественным относительно этой инволюции.

Определение. Если множество элементов конечного порядка в группе составляет подгруппу, то ее называют периодической частью этой группы.

Определение. Группа называется черниковской , если она либо конечна, либо является расширением прямого произведения конечного числа квазицикли-ческих групп с помощью конечной группы.

Определение. Группа обладает полной частью A , если A - абелева группа, порожденная всеми полными абелевыми подгруппами группы G , и G / A не обладает полными абелевыми подгруппами [11].

Определение. Подгруппа H группы G называется сильно вложенной в G , если H — собственная подгруппа группы G , содержащая инволюции, и H П x ^-1 Hx не содержит инволюций для x е G \ H .

Определение. Если произведение всех нормальных слойно конечных подгрупп группы слойно конечно, то будем его называть слойно конечным радикалом группы. Если группа F обладает слойно конечным радикалом, то мы будем обозначать его R ( F ).

Определение. Группа G с инволюцией i называется T0 - группой , если выполняются условия:

• (1)    все подгруппы вида <  i , ig >, g е G , конечны;

• (2)    силовские 2 -подгруппы из G - циклические группы или обобщенные группы кватернионов;

• (3)    централизатор C_G ( i ) бесконечен и обладает конечной периодической частью;

• (4)    нормализатор любой нетривиальной <  i >-инвариантной локально конечной подгруппы из G либо содержится в CG ( i ), либо обладает периодической частью, являющейся группой Фробениуса с абелевым ядром и конечным неинвариантным множителем четного порядка;

• (5)    C_G ( i ) Ф G и для всякого элемента c е G \ C_G ( i ), строго вещественного относительно i , т. е. c¹ = c ^-1, в C_G ( i ) существует такой элемент sc , что подгруппа <  c , sc ¹ csc > бесконечна.

• 1.    Всякая черниковская примарная группа обладает нетривиальным центром [12, теорема 1.6].

• 2.    Пусть G - группа с инволюциями, i - некоторая ее инволюция, удовлетворяющие следующим условиям: 1) все подгруппы вида <  i , i^g >, g е G , конечны; 2) в централизаторе CG ( i ) множество элементов конечных порядков конечно; 3) в группе G нормализатор любой нетривиальной <  i >-инвариантной конечной подгруппы обладает периодической частью. Тогда либо G обладает почти нильпотентной периодической частью, либо G - T 0 -группа [13, теорема 1].

• 3.    Локально конечная группа G тогда и только тогда почти слойно конечна, когда в G выполняется условие: нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы из G - почти слойно конечная группа [7, теорема 1].

• 4.    Любая почти слойно конечная группа G обладает слойно конечным радикалом, который имеет конечный индекс в группе G [14, свойство 1].

• 5.    Пусть группа Шункова содержит сильно вложенную подгруппу, обладающую почти слойно конечной периодической частью. Если в группе нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью, то сама группа обладает почти слойно конечной периодической частью [10, основная теорема].

• 6.    В локально конечной группе с черниковскими примарными подгруппами силовские примарные подгруппы сопряжены [15, теорема 7].

• 7.    Централизатор любого элемента из слойно конечного радикала почти слойно конечной группы

• 8.    В бесконечной локально конечной группе четверная подгруппа Клейна обладает инволюцией с бесконечным централизатором [16, теорема 2].

• 9.    Каждая полная подгруппа почти слойно конечной группы G содержится в центре слойно конечного радикала группы G [14, свойство 7].

имеет конечный индекс в группе; индексы в группе централизаторов остальных элементов бесконечны [14, свойство 4].

Доказательство основного результата. Пусть группа Шункова G не обладает почти слойно конечной периодической частью и нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью.

Рассуждения, аналогичные доказательству леммы 8 из [13] для групп без инволюций, показывают, что все примарные подгруппы из G являются черников-скими. Предположим, что в группе G имеется бесконечная силовская 2-подгруппа S . Обозначим через i некоторую инволюцию из центра подгруппы S группы G (такая найдется ввиду предложения 1). По условиям теоремы централизатор инволюции i в группе G обладает почти слойно конечной периодической частью C .

Предположим, что в централизаторе некоторой инволюции группы G множество элементов конечных порядков конечно. Тогда по условиям теоремы и предложению 2 либо G обладает почти нильпотентной периодической частью, либо G — T0 -группа. Если периодическая часть группы G почти нильпотентна, то G обладает периодической нильпотентной нормальной подгруппой K конечного индекса в периодической части группы G . Так как K обладает нетривиальным центром Z ( K ), то централизатор любого неединичного элемента из Z ( K ) по условиям теоремы обладает почти слойно конечной периодической частью, очевидно, содержащей K . Тогда K почти слойно конечна, а вместе с ней почти слойно конечна и периодическая часть группы G как расширение почти слойно конечной группы при помощи конечной группы. Таким образом, в случае, когда периодическая часть группы G почти нильпотентна, теорема доказана. T 0 -группой группа G быть не может, так как в группе Шункова не выполняется условие (5) из определения T 0 -группы.

Итак, в дальнейшем будем предполагать, что в централизаторе произвольной инволюции из G множество элементов конечных порядков бесконечно. Включим C в максимальную почти слойно конечную подгруппу H . Такая максимальная подгруппа найдется по лемме Цорна и ввиду почти слойной конечности локально конечных подгрупп, удовлетворяющих условиям теоремы (предложение 3).

Обозначим через M нормализатор подгруппы H в группе G. По предложению 4 почти слойно конечная группа H обладает слойно конечным радикалом R(H). Любой слой неединичных элементов из R(H) представляет собой конечное инвариантное множество элементов. По лемме Дицмана из [17] он порождает конечную нетривиальную нормальную в R(H) подгруппу, очевидно, являющуюся характеристической в R(H) и, следовательно, нормальной в M. Тогда по условиям теоремы группа M обладает почти слойно конечной периодической частью, которая ввиду максимальности подгруппы H совпадает с H.

Лемма 1. Пусть F,W – две различные бесконечные максимальные почти слойно конечные подгруппы группы G, R ( F ) и R ( M ) – их слойно конечные радикалы. Тогда R ( F ) ∩ R ( W ) = 1 .

Доказательство повторяет доказательство леммы 10 из [13] для групп без инволюций.

Лемма 2. Если для некоторого элемента a конечного порядка из M пересечение CG ( a ) ∩ H бесконечно, то периодическая часть централизатора CG(a) содержится в M.

Доказательство повторяет доказательство леммы 11 из [13] для групп без инволюций.

Лемма 3. Если для некоторого элемента b конечного порядка из H ∩ H^g пересечения CG ( b ) ∩ H , CG ( b ) ∩ H^g бесконечны, то H = H^g.

Доказательство повторяет доказательство леммы 3 из [8] для групп без инволюций.

Предположим, что централизаторы всех инволюций из M имеют бесконечные пересечения с H . В группе G нет сильно вложенных подгрупп с почти слойно конечной периодической частью по предложению 5. Значит, группа M не является сильно вложенной в группу G . Тогда для некоторого элемента g из множества G \ M пересечение M ∩ M^g содержит инволюцию. По только что сделанному предположению, по условиям теоремы и лемме 2 группа H содержит бесконечную периодическую часть централизатора этой инволюции в группе G , аналогично получаем, что H^g также содержит бесконечную периодическую часть централизатора этой инволюции. Но тогда по лемме 3 H = H^g , что противоречит выбору элемента g .

Таким образом, в группе M найдется инволюция, централизатор которой в M обладает конечной периодической частью. Зафиксируем за этой инволюцией обозначение j .

Так как в локально конечной группе H с черников-скими примарными подгруппами силовские примар-ные подгруппы сопряжены по предложению 6, то можем выбрать инволюцию j из S .

Лемма 4. В максимальной почти слойно конечной подгруппе H из G все инволюции с бесконечными централизаторами в H порождают конечную подгруппу, которая содержится в R ( H ) .

Доказательство. Предположим, что это не так, и группа, порожденная инволюциями из H с бесконечными централизаторами в H, бесконечна. Так как H почти слойно конечна, то ввиду предложения 7 и леммы Дицмана в этом случае в H найдется инволюция k с бесконечным CH(k), для которой индекс |H : CH(k)| бесконечен. Обозначим через ℑ класс инволюций из H, сопряженных с k в H. Для произвольного элемента g ∈ G \ H рассмотрим подгруппу Hg = g–1Hg и ее подмножество ℜ = g–1 ℑ g. Ввиду того что G является группой Шункова, любые две инволюции из множеств ℑ и ℜ порождают конечные подгруппы. Тогда для произвольной фиксированной инволюции x из ℑ элементы bt = xt (t ∈ ℜ) имеют конечные порядки.

Если для бесконечного подмножества ℘ из ℜ порядки элементов bt , t ∈ ℘ нечетны, то по свойствам групп диэдра в ( b_t ) найдется элемент с_t со свойством ct ^–1 tct = x . Так как t принадлежит ℘ ≤ ℜ , то t = g ^–1 rg для некоторой инволюции r из ℑ . Отсюда получим c_t ^–1 g ^-1 rgc_t = x . Обозначая h_t = gc_t , видим: x ∈ h_t ^–1 Hh_t = = Ht . Инволюции x , r сопряжены с k в H и имеют бесконечные централизаторы в H . Отсюда централизатор инволюции x в Ht также бесконечен и по лемме 2 периодическая часть централизатора C_G ( x ) содержится в H ∩ Ht . Тогда по лемме 3 H = Ht и ht ∈ H = NG ( H ). Элемент g можно представить в виде g = ht ct ^–1 ( t ∈ ℘ ), тогда Hg = H c_t ^–1 ( t ∈ ℘ ).

Для двух различных инволюций t , w из ℘ соответствующие строго вещественные элементы c_t , c_w также различны. Иначе из их совпадения вытекало бы равенство x = c_t ^–1 t c_t = c_w ^–1 wc_w , что невозможно для различных инволюций t , w . По свойствам групп диэдра элемент j_t = xc_t ^–1 из Hg есть инволюция. Множество таких инволюций по мощности совпадает с мощностью множества ℘ и, значит, бесконечно. В качестве представителя смежного класса Hg берем инволюцию u = xct ^–1 для некоторого t из ℘ . Тогда инволюцию jt можно представить в виде j_t = s_tk ( t ∈ ℘ ), где s_t принадлежит H и является строго вещественным относительно инволюции k ввиду ( st k )² = ( jt )² = 1 (отсюда k ^–1 stk = st ^–1).

Очевидно, группа Z = <  st | t ∈ ℜ > бесконечна и ввиду вложения Z ≤ H группа Z почти слойно конечна. Инволюция u нормализует Z и не содержится в H . Включим почти слойно конечную периодическую часть нормализатора NG ( Z ) в максимальную почти слойно конечную подгруппу W группы G (это можно сделать по лемме Цорна ввиду почти слойной конечности локально конечных подгрупп, удовлетворяющих условиям теоремы (см. предложение 3)). Пересечение H ∩ W бесконечно (в нем содержится подгруппа Z ). Отсюда по лемме 1 получаем совпадение H = W и включение u ∈ H вопреки выбору u .

Противоречие означает, что для любого элемента x ∈ ℑ найдется бесконечное подмножество ℘ _x множества ℜ такое, что порядки элементов bt = xt ( t ∈ ℘ x ) четны. Обозначим через Ψ множество инволюций вида j_t из <  b_t >  ( t ∈ U _x ). По свойствам групп диэдра и лемме 2 Ψ ≤ H ∩ H^g . Ввиду максимальности H из бесконечности множества Ψ следовало бы по лемме 1 совпадение H = H^g , что противоречило бы выбору пары H , g . Следовательно, Ψ — конечное множество и, не нарушая общности рассуждений, будем считать, что оно состоит из одной инволюции jx . По свойствам групп диэдра { x , ℘ x } ≤ CG ( jx ) и ℘ x – бесконечное множество инволюций из H^g . По лемме 2 x принадлежит CG ( jx ) ≤ H^g . Отсюда ввиду произвольности выбора инволюции x из бесконечного множества ℑ получаем ℑ ≤ H ∩ H^g . Как и выше, в такой ситуации приходим к противоречию с выбором пары

H , g . Т. е. все инволюции с бесконечными централизаторами в H порождают конечную подгруппу, которая содержится в слойно конечном радикале R ( H ) группы H по определению слойно конечного радикала и по предложению 2. Лемма доказана.

Лемма 5. В максимальной почти слойно конечной подгруппе H из G нет элементарной абелевой подгруппы 8-го порядка с почти регулярной инволюцией в H.

Доказательство. Пусть лемма неверна и F – элементарная абелева подгруппа восьмого порядка из H , k – ее почти регулярная в H инволюция.

Так как по предложению 8 в бесконечной локально конечной группе четверная подгруппа Клейна обладает инволюцией с бесконечным централизатором, то в F найдется инволюция с бесконечным централизатором в H . Обозначим ее через m . Так как F = < m > × K , где K – группа диэдра, то снова по тем же соображениям некоторая инволюция l из K также не является почти регулярной в H . Так как по лемме 4 инволюция m находится в конечном нормальном в H делителе Hm , а l , соответственно, в конечном нормальном в H делителе Hl , то их произведение ml также попадет в конечный нормальный делитель HmHl и ml также имеет бесконечный централизатор в H . Таким образом, подгруппа L = <  m > × <  l > имеет бесконечный централизатор в H конечного индекса в H . Теперь рассмотрим максимальную почти слойно конечную в G подгруппу W , содержащую периодическую часть Ck централизатора CG ( k ). Очевидно F <  Ck ≤ W . Как и выше, найдем в F = <  k > × L подгруппу L 1 четвертого порядка с бесконечным централизатором в W конечного индекса в W , нетривиально пересекающуюся с L . Таким образом, пересечение L ∩ L 1 содержит некоторую инволюцию, периодическая часть централизатора которой содержится в H ∩ W . Так как периодическая часть централизатора любой инволюции в G бесконечна, то H , W пересекаются по бесконечной подгруппе и, значит, пересекаются нетривиально по своим слойно конечным радикалам. По лемме 1 H = W и, учитывая конечность централизатора C_H ( k ) и бесконечность централизатора CW ( k ), получаем противоречие. Лемма доказана.

Предположим, что полная часть S группы S обладает больше чем одной инволюцией, и кроме i в S нашлась инволюция l .

Напомним, что в S имеется почти регулярная в H инволюция j . Если jlj = l, то <  i > × <  l > × <  j > – элементарная абелева группа, существование которой противоречит лемме 5. Тогда jlj = k ≠ l .

Если ik = l , то поскольку i , l ∈ S полной части группы S , мы можем выбрать элементы l ₁² = l , k ₁²= k и одновременно jl 1 j = k 1 .

Тогда jl ₁ k ₁ j = jl ₁ jjk ₁ j = k ₁ jjl ₁ jj = k ₁ l ₁. Так как l ₁, k ₁ ∈ S , то k ₁ l ₁ = l ₁ k ₁ и jl ₁ k ₁ j = l ₁ k ₁, т. е. l ₁ k ₁ ∈ C_H ( j ) и порядок элемента l 1 k 1 равен четырем. Продолжая рассуждения таким же способом, получаем элемент l 2 k 2 ∈ CH ( j ) порядка 8, элемент l 3 k 3 ∈ CH ( j ) порядка 16 и т. д. Противоречие с почти регулярностью инволюции j в группе H означает невозможность случая ik = l .

Остался случай, когда ik ≠ l . Чтобы его исключить, заметим, что для инволюции kl ≠ i выполняется jklj = jkjjlj = jjljjk = lk . Так как l, k е S, то kl = lk и тогда в S найдется элементарная абелева группа <  i > × <  kl > × x <  j >, которая, как мы показали выше не может содержаться в S .

Таким образом, в полной части S инволюция i единственна. Отсюда следует, что S является квази-циклической 2-группой.

Инволюция i является единственной центральной инволюцией в группе S , так как если бы в ней нашлась другая центральная инволюция z , то в H нашлась бы и элементарная абелева группа <  i > × x <  z > х <  j >, существование которой противоречит лемме 5.

Завершение доказательства теоремы. Пусть k – некоторая инволюция из H , не сопряженная в M с инволюцией i и имеющая в H бесконечный централизатор. Класс инволюций, сопряженных с инволюцией k в группе G не может содержаться в подгруппе H , так как в этом случае подгруппа, порожденная этим классом, была бы почти слойно конечной подгруппой, инвариантной в группе G . Но в такой подгруппе всегда найдется конечная характеристическая подгруппа, нормализатор которой по условиям теоремы обладает почти слойно конечной периодической частью и совпадает с группой G , что невозможно. Тогда найдется инволюция t = kg t H (очевидно, в этом случае g t M). Аналогично найдется инволюция u = i f t Hg . Рассмотрим группу D = <  u , t >.

В случае нечетности порядка элемента ut группа D была бы группой Фробениуса. По свойствам групп Фробениуса в D найдется элемент d такой, что u^d = t . Тогда ( i ^f ) ^d = u^d = t = k^g , что влечет i = fdg ^–1 kgd ^–1 f ^–1. Согласно предположению, gd¹f ^-1 t M .

Тогда пересечение H ∩ fdg ^–1 Hgd ^–1 f ^–1 содержит инволюцию i . По лемме 4 инволюции i , k содержатся в R ( H ), тогда инволюция i = fdg ^–1 kgd ^–1 f ^–1 содержится в R ( fdg ^–1 Hgd ^–1 f ^–1). Отсюда по лемме 1 получаем совпадение H = fdg ^–1 Hgd ^–1 f ^–1, что противоречит выбору элемента gd ^-f ¹ t M = NG ( H).

Значит, ut – элемент четного порядка. Обозначим через w инволюцию из <  ut >. По свойствам групп диэдра w является центральной инволюцией в D и, следовательно, принадлежит H^g ввиду леммы 2 и бесконечности пересечения CG ( t ) с H^g (лемма 2 справедлива для групп H^g и M^g как для соответственно сопряженных с H и M ).

Обозначим через S ₁ силовскую 2 -подгруппу из H^g , содержащую t и w . Так как в H^g все силовские 2 -подгруппы сопряжены, то можно считать, не нарушая общности рассуждений, что i^g также принадлежит S 1 , причем i^g ≠ t = k^g , иначе получили бы противоречие с предположением.

Инволюция w имеет конечный централизатор в H^g , так как иначе ввиду леммы 2 инволюция u попала бы в H^g вместе с бесконечной периодической частью централизатора CG ( w ), а это противоречит выбору инволюции u .

Рассмотрим максимальную элементарную абелеву подгруппу R = <  t > × <  w > из S ₁ (ввиду леммы 5 в группе H^g нет элементарных абелевых подгрупп 8го порядка, содержащих инволюцию w ).

Инволюция i является единственной центральной инволюцией в группе S и, так как силовская 2 -подгруппа S из H сопряжена с силовской 2 -подгруппой S 1 из H^g (см. предложение 6) при помощи некоторого элемента x , то группа S 1 обладает единственной центральной инволюцией. Если эта центральная инволюция не t , то ввиду максимальности элементарной абелевой подгруппы R центральная инволюция из S ₁ совпадает либо с w , либо с tw . В первом случае w централизует бесконечную подгруппу S ₁<  H^g , что невозможно ввиду ее почти регулярности в H^g , а во втором случае снова tw имеет бесконечный централизатор в H^g по лемме 4 имеющий конечный индекс в H^g , аналогично | H^g : CG ( t ) ∩ H^g | < ∞, тогда подгруппа R = <  tw > × <  t > также имеет бесконечный централизатор в H^g . Отсюда и централизатор элемента w в группе H^g бесконечен, что противоречит почти регулярности w в H^g . Таким образом, инволюция t является единственной центральной инволюцией в группе S 1 . Тогда i^x = t = k^g , или i = xg ^–1 kgx ^–1, причем gx ^-1 t M по предположению. Тогда пересечение H ∩ xg ^–1 Hgx ^–1 содержит инволюцию i = xg ^–1 kgx ^–1, снова, как и выше в такой ситуации для i е H П fdg ¹ Hgd ^-1 f ^-1 получаем H = xg ^-1 Hgx ^-1, что противоречит выбору элемента gx ^-1 t M = NG ( H). Таким образом, все инволюции из H с бесконечными централизаторами в H сопряжены в M .

По предложению 4 группа H обладает слойно конечным радикалом R ( H ), причем S содержится в центре Z ( R ( H )) по предложению 9. Для произвольного элемента h из M = NG ( H ) подгруппа S ^h так же, как и S , является полной 2-подгруппой и также содержится в центре Z ( R ( H )) по предложению 9. Очевидно группа < S , S ^h > является полной абелевой 2-группой и по теореме 9.1.6 из [18] разлагается в прямое произведение квазициклических 2-подгрупп. Как мы показали выше, S является квазициклической 2-группой, тогда ввиду сопряженности (см. предложение 6) силовских 2-подгрупп в H группа <  S , S ^h > также является ква-зициклической 2-группой и S = S ^h . Таким образом, подгруппа S нормальна в M . Если бы CS ( S ) ≠ S , то S как полная абелева группа выделялась бы прямым множителем в некоторой большей абелевой подгруппе из CS ( S ). Но тогда в CS ( S ) \ S нашлась бы инволюция t с бесконечным централизатором в S . По доказанному выше, все инволюции из S с бесконечными централизаторами в H сопряжены в M , т. е. инволюция t из CS ( S ) \ S сопряжена с инволюцией i е S . Противоречие c нормальностью S в M . Следовательно, CS ( ,S) = ,S .

Так как подгруппа S нормальна в S, то j е NG( S). Тогда j индуцирует в S нетривиальный автоморфизм, переводящий каждый элемент из S в обратный. Ввиду строения группы автоморфизмов квазициклической группы других автоморфизмов у S нет. Таким образом, S = S λ (j) и инволюция j сопряжением переводит каждый элемент из S в обратный. Теорема доказана.

Мы полностью изучили строение бесконечной си-ловской 2-подгруппы в группах Шункова, не обладающих почти слойно конечной периодической частью, при условии почти слойной конечности периодических частей нормализаторов конечных нетривиальных подгрупп. Доказано, что если некоторая си-ловская 2-подгруппа такой группы бесконечна, то она является расширением квазициклической 2-группы при помощи обращающего автоморфизма. Этот результат найдет применение при изучении бесконечных групп с условиями конечности.