Строение подмногообразий с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в евклидовом пространстве

Пусть F n — n -мерное (п >  2) гладкое подмногообразие в (п + р) -мерном (р >  2) евклидовом пространстве E ^n+p . Обозначим через b вторую фундаментальную форму F ⁿ , через V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Определение 1. Вторая фундаментальная форма b = 0 называется параллельной (в связности V ), если V b = 0 .

Подмногообразия с V b = 0 называются параллельными (см. [7-10]). Условие V b = 0 является аналитическим признаком локально симметрических подмногообразий ([4-6]). Общая задача классификации подмногообразий с V b = 0 в евклидовых пространствах решена в [5]. Классификация подмногообразий с V b = 0 в пространствах постоянной кривизны завершена в [4].

Определение 2. Вторая фундаментальная форма b = 0 называется рекуррентной, если на F n существует 1-форма ц такая, что V b = ц ® b .

Полная локальная классификация и геометрическое описание подмногообразий c не параллельной рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной кривизны получены в [2]. Cвойства кэлеровых подмногообразий с рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной голоморфной секционной кривизны изучались в работе [1].

Определение 3. Вторая фундаментальная форма b = 0 называется циклически рекуррентной, если на F ⁿ существует 1-форма µ такая, что

V x b(Y, Z ) = ц(Х)b(Y, Z ) + ц(Y)b(Z, X ) + ц(Z )b(X, Y )             (1)

для любых векторных полей X,Y, Z , касательных к F ⁿ .

В настоящей работе доказываются следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть связное подмногообразие F ⁿ в евклидовом пространстве E n+p имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму b. Если F ⁿ не лежит локально ни в одном E ⁿ⁺¹ с E n+p и имеет плоскую нормальную связность, то F ⁿ является:

• 1)    открытой частью риманова произведения S m ¹ х ... х S m r с E n+r С E n+p m t -мерных сфер S m t с E m ^{t +1} , t = 1,r , m i + .. .m r = n, 2 <  r <  min { n,p } , или

• 2)    открытой частью риманова произведения E ^m х S m ¹ х ... х S m r с E ^{n + r} С E ^{n + p} m-мерной плоскости E ^m и m t -мерных сфер S m t с E m ^{t +1} , t = 1,r , m i +.. .m r = n — m, 2 <  r <  min { n — m,p } .

Теорема 2. Пусть связное подмногообразие F ⁿ в евклидовом пространстве Eⁿ+² имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму b. Если F ⁿ является изотропным подмногообразием, то F ⁿ является:

• 1)    открытой частью n-мерной плоскости E ⁿ с E ⁿ⁺² , или

• 2)    открытой частью n-мерной сферы S ⁿ с E ⁿ⁺¹ с E ⁿ⁺² .

1.    Основные леммы

Пусть En+p — евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами (x1, x2,..., xn+p), <, > — скалярное произведение в En+p. Пусть Fn — гладкое подмногообразие в En+p. В окрестности каждой точки x Е Fn подмногообразие Fn можно задать уравнениями xa = fa(u1,...,un),   (u1,...,un) Е D, a = 1,n + p, где D — некоторая область параметрического пространства (u1,..., un), f “(u1,..., un) Е Е C“(D). Пусть

r(u1,..., un) = {f 1(u1,..., un), f 2(u1,..., un),..., fn+p(u1,..., un)} — векторное параметрическое уравнение подмногообразия Fn в окрестности точки x Е Fn.

Пусть индексы i,j,k,l принимают значения от 1 до n , индексы а,в,^ — от 1 до р .

Рассмотрим нормальное оснащение подмногообразия F ⁿ , заданное полем орто-нормированных реперов { n _a } в нормальном расслоении T ^± F ⁿ подмногообразия F ⁿ , < n _а ,n в >= 5 _ав — символ Кронекера, матрица ||5 ^ав || = ||5 _а в||^-1 . Обозначим

_ df(u ¹ ,...,u ⁿ ) _ d ² f(u 1 ,..., u ⁿ ) _      dn _a (u ¹ ,...,u n )

^{r i}            ∂u ^{i        , r ij}          ∂u ⁱ ∂u ^{j , n α | i}            ∂u ^{i         .}

Векторы { _ i (x) } образуют базис касательного пространства T _x F ⁿ подмногообразия Fⁿ в точке x . Метрическая форма подмногообразия F ⁿ имеет вид: ds ² = g ij du^ldu ^j , где g ij =< r i ,r j > . Обозначим через II (n _a ) = b _aij du¹ du j вторую квадратичную форму подмногообразия F ⁿ относительно нормали n _а , где b _aij = <  n _а ,r ij > . В каждой точке x Е F ⁿ оператор Вейнгартена A _a : T x F ⁿ —> T x F ⁿ относительно нормали n _a (x) определяется по формуле <  A _a r _i (x),r j (x) >=< n _a (x),-_ ij (x) > . Коэффициенты T ^eii =< n _a ,n eii >  называются компонентами нормальной связности D подмногообразия

Fn. Ковариантная производная вектора na в нормальной связности D вычисляется по формуле Dinia = Г^вПр, где Г^^? = ^ '"1^. Линейные формы Шар = 1^dui называются линейными формами кручения подмногообразия Fn. Компоненты тензора нормальной кривизны R⊥ вычисляются по формуле dr^a   дг^а     .   .

⊥ α       β | ⁱ       β | j      ⊥ σ ⊥ α      ⊥ σ ⊥ α

R e l ij = du j — du i ^{+ 1} e|i ¹ " j — ¹ e i j ¹ " i •

Ковариантная производная второй фундаментальной формы b в связности Ван дер Вардена — Бортолотти V вычисляется по формуле

∂b ^α

α       jk     l α      l α ⊥ α β

Vibjk     du    1 ijblk 1 ikbjl + 1 e|i bjk, где Pij — символы Кристоффеля, вычисленные относительно метрического тензора gij, bj =

Уравнения Петерсона — Кодацци и Риччи, соответственно, имеют вид:

v,=V, ьа„,

R" = g“ Фз»ba - Wba) •

Определение 4. Первым нормальным пространством N 1 (x) подмногообразия F ⁿ в точке x называется ортогональное дополнение подпространства { ^(x) G T ^ F n | A $(x) = 0 } в _{T x} ⊥ _F n _.

Определение 5. Размерность подпространства N 1 (x) С T ^ F ⁿ называется точечной коразмерностью подмногообразия F ⁿ в точке x .

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть подмногообразие F ⁿ в евклидовом пространстве E ^{n + p} имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму b. Если в каждой точке x G F ⁿ dim N 1 (x) > 1 , и F ⁿ имеет n главных направлений, то F ⁿ является объединением замыканий своих областей, в каждой из которых

• 1)    F ⁿ несет ортогональную сопряженную систему { L ^m 1 , . . ., L ^m r } , m 1 + • • • + + m r = n, 2 <  r <  min { n,p } ;

• 2)    F ⁿ является римановым произведением F ^m 1 x ... x F ^m r максимальных интегральных подмногообразий F ^mt распределений U m¹ , t = 1,r ;

• 3)    при m t = 1 подмногообразия F ^m l являются линиями кривизны, при m t > 1 — поверхностями кривизны подмногообразия F ⁿ , t = 1,r .

Доказательство. Представим подмногообразие F ⁿ в виде объединения замыканий своих областей V _τ , в каждой из которых F ⁿ имеет постоянную точечную коразмерность q _τ и лежит в некотором (n + q _T ) -мерном подпространстве E ^{n +} q ^T С E ^{n + p} . Рассмотрим область V С F ⁿ такую, что dim N 1 (x) = q в каждой точке x G V . Подпространство N 1 (x) С T ^ F ⁿ является линейной оболочкой векторов { b j n _a (x) } . Не ограничивая общности, будем считать, что нормальные векторы n 1 (x) , ... , n _q (x) образуют базис N 1 (x) . В каждой точке x G F ⁿ в оснащении Родрига { n _a (x) } для главных направлений { Y i } в силу (1) имеем:

^V i ^bjk = ⁰, i = ^j = ^k = i.                              ⁽⁴⁾

Обозначим через a = ba(Yi,Yi) i g(Yi,Yi)

кривизну F n относительно нормали n _a (x) в главном направлении Y i . Для главных направлений { Y _i } справедливы уравнения:

Отсюда, учитывая (4), находим, что в области V

P i, P& i , V Y j Y k -V y . Y , >=0, i = j = k = i              (5)

Обозначим через c _CT (x) число различных собственных значений оператора Вейнгартена А _ст в точке x относительно нормали n _ст (x) . Так как по условию леммы q >  1 , то в каждой точке x G F n в любом базисе { n _a (x) } нормального пространства T ^ F n найдется нормаль n _v (x) , относительно которой оператор Вейнгартена A _v имеет по крайней мере два различных собственных значения. Пусть y — произвольная точка области V .

Случай 1. Существует нормаль n _v (x) , относительно которой оператор Вейнгартена A _v имеет простой спектр. Тогда в некоторой области V (y ) С V имеем c _v (z) = n V z G V(y) . Следовательно, в V(y)

PijPik = ⁰, i = j = ^k = i-                               ⁽⁶⁾

Тогда из (5), учитывая (6), находим, что в области V(у) выполняются равенства

• < Y i , V y ₃ Y k - V y . Y >= 0, i = j = k = i.

Значит, главные направления { Y i } голономны в V(у) . Следовательно, векторные поля { Y 1 , - - -, Y n } образуют в V(у) С V ортогональную сопряженную систему, все распределения L ^{m i} одномерны и порождены Y i .

Случай 2. Для каждой нормали n _a (x) выполнено неравенство c _a (x) < n . Строим распределения L ^{m t} следующим образом. Будем считать, что векторное поле Y _t образует одномерное распределение L ^{m t} , если для каждого главного направления Y _s , отличного от Y t , в точке у найдется нормаль n _v (у) , v = v(t, s) , относительно которой a V = a V . Тогда L ^{m t} = Y t голономно в некоторой области V_t (у) С V . Векторные поля Y, Y _k будут принадлежать некоторому распределению L ^{m t} размерности больше 1, если главные кривизны в точке у в направлениях Y, Y _k относительно любой нормали n _a (y) совпадают, то есть в у выполняются равенства a ^a = a a . Следовательно, Y _s / L ^{m t} , если найдется хотя бы одна нормаль n _V (у) , v = v(t, s) , для которой в точке у выполняются неравенства: a _s ^V = a _, ^V , a _s ^V = a ^V _k . Отсюда, в силу (5), в некоторой области V _t (у) С V будем иметь:

• < Y, V Y j Y k - V y Y , >= 0, V Y , , Y k G L ^{m t} , V Y, / L ^{m t} -

• Отсюда, учитывая, что главные направления попарно ортогональны, получим инволю-тивность Lmt в Vt(у).

Рассмотрим построенные распределения L ^{m t} , t = 1,r , в области

r

V(у) С П Vt(у)• t=1

Не ограничивая общности, можем считать, что распределения L ^{m t} порождаются векторными полями

Y P t - 1 + 1 , • • • , Y p t , p 0 = ⁰ , p r = n, t = 1, r.

Распределения L ^{m t} попарно ортогональны и сопряжены, то есть

b(X,Y ) = 0,   g(X,Y )=0,   V X G L m t ,   V Y G L m s ,   t = s,  s,t = T,?.    (7)

Таким образом, распределения L m t , t = 1,r , образуют ортогональную сопряженную систему в области V (у ) . Следовательно, в V(у) можно ввести координаты (u ¹ ,...,u ⁿ ) такие, что векторные поля

∂∂ dupt-i+1 ’" “ ’ dupt порождают распределения Lmt, t = 1,r. Отсюда, учитывая (7), в V(у) получим:

∂∂    ∂∂    ∂     ∂

^b(du j ’1й) = ^0,g(du j ’1й ) = ^{0 , V} dU j ^{G L % V} dU k ^{G L s} = t, ^s,t = ^1,r• ⁽⁸⁾

Кроме того, для любых Y G L m s и Y _k G L^mt , s = t , s,t = 1,r , найдется нормаль n _V , v = v(j, k) , такая, что a ^v = a V в V(у) . Так как для любых векторных полей Y i , Y j G L^mt главные кривизны относительно всех нормалей n _a (y) совпадают, то

8  8         8  8      8    8

b ^a ( ^, " ) = a“g( ^, д- ), V^, V dL g L m t ,             (9)

∂ui ∂uj t   ∂ui ∂uj      ∂ui   ∂uj где aa = aa, VYi G Lmt, a = 1,p, t = T,r.

Тогда из (2), учитывая (8) и (9), находим, что в V(у) главные кривизны a a = const. Значит, в области

V = U V (у)

y∈V aa = const, i = 1,n, a = 1,p; построенные нами распределения Lmt, t = 1,r, образуют в v ортогональную сопряженную систему; их максимальные интегральные подмногообразия Fmt при mt > 1 являются поверхностями кривизны, а при mt = 1 — линиями кривизны подмногообразия Fn.

Основные квадратичные формы Fn в области V имеют вид: r pt                                          r                  pt ds2 = 52 52   gjkdujduk, ii(n^-) = 52apt-1+i   52   gj^3duk, t=1 j,k=pt-i + 1                               t=1          j,k=pt-i+1

где P o = 0, P r = n , a j = a ^ , j, k = p t - 1 + 1,p t , t = 1,r , a = 1,p .

Линейные формы кручения подмногообразия F ⁿ в V тождественно нулевые: W ae = 0 , a, в = 1,P .

Проведем ортогональное преобразование оснащения {na}: n* = cana с постоянными коэффициентами ca = const такое, что pt

II (nV ) = a*   ^ gjkdu3 duk, a* = const, v = 1,r, II (n*p) = 0, p = r + 1,p, j,k=pt-1+1

при этом ш ^ в = 0 , а, в = 1,p .

Следовательно, F ⁿ распадается в V на риманово произведение F m ¹ х ... х F m r максимальных интегральных подмногообразий F ^{m t} . Каждое F ^{m t} является гиперповерхностью в E m ^{t +1} , t = 1,r , 2 <  r <  min { n,p } . Лемма доказана.

Определение 6. Подмногообразие F ⁿ называется изотропным, если на F ⁿ существует функция λ такая, что

| b(t,t) | = A(x) | t | ² , V x G F ⁿ , V t E T x F n .

Лемма 2. Пусть подмногообразие F ⁿ в евклидовом пространстве E^{n +2} имеет циклически рекуррентную вторую фундаментальную форму b. Если F ⁿ является изотропным подмногообразием, то F ⁿ имеет плоскую нормальную связность.

Доказательство. В некоторой окрестности О(х) С F ⁿ произвольной точки х G F^п введем геодезические нормальные координаты (u ¹ ,..., u ⁿ ) (см.: [3]) такие, что

_ ( 1, m = 1, ^{g 1m}    | 0, m = 2,n .

Рассмотрим в О(х) векторное поле bj = b aj n _a . Если в точке x вектор b ₁₁ = 0 , то из уравнений (3) получим, что R ^± = 0 в х . Пусть теперь b ₁₁ = 0 в точке х , тогда в некоторой окрестности U (х) С О(х) векторное поле b ₁₁ = 0 . Построим в U (х) оснащение n ₁ , n ₂ , положив

_ =_____ ^b 11 _____

• ¹      A(U,..., u ⁿ )

Учитывая (10), находим, что в U (х)

• <    b ii ,n 2 >= 0, i = 1,n.

Отсюда, используя (1), находим:

• <    (Vib^ai)na, n2 >= 0, i = 1, n.

2.    Доказательства теорем

Следовательно, Г^ и ¹ ,..., u ⁿ ) = 0 , i = 1,n . Значит, R ^± = 0 в U (х) . Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть в области V С F ^п точечная коразмерность q = const > 1 . Согласно лемме 1, в области V подмногообразие F ^п является римановым произведением F m ¹ х ... х F m r гиперповерхностей F m t С E m ^{t +1} , t = 1,r , при этом в V можно ввести координаты (u ¹ ,...,u ⁿ ) такие, что основные квадратичные формы гиперповерхности F m t С E m ^{t +1} имеют вид:

pt ds2 =    ^   gjk(uPt-1+1,..., up)dujduk, j,k=Pt—1+1

p t

II(ni t ) = a t     У^     g jk (u^{Pt - 1 +1} ,..., u p )du ^j du k , a t = const .

j,k=P t - i +1

Введем в Emt+1 декартовы прямоугольные координаты (у1,..., ymt+1) и зададим Fmt в области V уравнениями yt = yt(upt-1+1,..., up), t = 1,mt + 1.

Если a t = 0 в V , то координаты любой точки у Е F m t удовлетворяют уравнению некоторой гиперплоскости E m t С E m ^t+1 . Если a t = 0 , то все точки поверхности F m t лежат на некоторой гиперсфере S m t С E m ^{t +1} . Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Представим подмногообразие F ⁿ в виде объединения замыканий своих областей V τ , в каждой из которых F ⁿ имеет постоянную точечную коразмерность q _T и лежит в некотором (n + q _T ) -мерном подпространстве E n ⁺ q ^T С E ^n+p . Из леммы 2 следует, что F ⁿ имеет n главных направлений в каждой точке x . Тогда dim N ₁ (x) <  1, V x Е F ⁿ . Рассмотрим область V С F n такую, что dim N (x) = q в каждой точке x Е V .

Случай 1. q = 0 . Тогда b j = 0 в V . Следовательно, V является частью некоторой n -мерной плоскости E ⁿ С E ⁿ⁺¹ С E ⁿ⁺² .

Случай 2. q = 1 . Введем в некоторой окрестности U (x) С V локальные координаты (u ¹ , . . . , u ⁿ ) и рассмотрим векторное поле

( =___~ .

A(u ¹ ,..., u ⁿ )

Тогда, в силу (1), имеем bj = A(u1,... ,un) gj f.

Из уравнений (4) находим, что А = const в U (x) . Следовательно, область V лежит на некоторой n -мерной сфере S n С E ⁿ⁺¹ с E ⁿ⁺² радиуса 1/А . Теорема доказана.