Строение сетей над квадратичными полями

Пусть K = Q( V d) — квадратичное поле, D — кольцо целых поля K , ст = (CT ij ) — неприводимая сеть порядка n ^ 2 над K , причем CT ij — D-модули. Работа посвящена описанию сетей ст = ( CT ij ) над квадратичным полем K = Q(Vd), причем аддитивные подгруппы CT ij — ненулевые D -модули. Доказано, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей все CT ij являются дробными идеалами фиксированного промежуточного подкольца P , D С P С K , а все диагональные кольца ст и , 1 С i С n, совпадают с кольцом P .

В [1] для некоторого класса квадратичных полей Q(Vd), точнее, для чисел d, равных

• - 1,    - 2,    - 3, - 7, - 11,    - 19,   2,   3,   5, 6, 7,

• 11,   13,   17,   19, 21, 29, 33,   37,   41, 57,   73,

  • ^#Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2022-890.

  • (0 2022 Икаев С. С., Койбаев В. А., Лихачева А. О.

2.    Кольцо целых квадратичного поля

доказано, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей из D ( n,K ) все CT ij являются идеалами фиксированного промежуточного подкольца P , D С P С K .В перечисленных случаях кольцо целых D квадратичного поля K является областью главных идеалов (см. [2, гл. III, § 2]), а потому при описании сетей можно воспользоваться результатами работы [3], в которой получено полное описание сетей и элементарных сетей над полем частных области главных идеалов. Кольцо целых D произвольного квадратичного поля K = Q(Vd) не всегда является областью главных идеалов. Так, например, кольца целых полей Q V— 5 ), Q( V— 6), Q( V— 23) (см. [2, с. 187–189]) не являются областями главных идеалов. В общем случае кольцо целых D квадратичного поля K = Q( Vd) является дедекиндовой областью (см. [4, гл. 9, теорема 9.5]), а потому является, в частности, областью главных идеалов. Этим определяется актуальность предложенного исследования.

Квадратичным полем мы называем расширение поля рациональных чисел Q степени 2. Всякое квадратичное поле имеет вид K = Q(Vd), где d = 1 — некоторое целое рациональное число, свободное от квадратов (см. [2, гл. II, § 7, п. 1]). Множество всех целых алгебраических чисел поля K является подкольцом D поля K (см. [2, алгебраическое дополнение, § 4]), которое называется кольцом целых поля K (см. также [2, гл. II, § 2, п. 4, с. 109]).

Наша работа посвящена исследованию сетей над квадратичными полями, поэтому напомним некоторые определения. Система ст = (CT ij ), 1 С i, j С n, аддитивных подгрупп CT ij поля K называется сетью ( ковром ) [5, 6] над полем K порядка n, если CT ir CT rj С CT ij при всех значениях индексов i, r, j. Сеть ст = ( CT ij ) мы называем неприводимой, если все аддитивные подгруппы CT ij отличны от нуля. Через D(n, K) обозначим группу обратимых диагональных n х n матриц над полем K . По сети ст и любой матрице d = diag(E j ,..., E n ) из D ( n,K ) можно определить сопряженную сеть п = dCTd - 1, где п ^ = E i CT j E - 1 . Сеть ст = (CT ij ) порядка n ^ 2 над K назовем D-сетью, если 1 G стц, 1 С i С n. Из сетевого условия следует, что все диагональные аддитивные подгруппы σ ii D -сети σ являются кольцами с единицей.

В настоящей работе мы рассматриваем неприводимые D-сети ст = (CT ij ) аддитивных подгрупп CT ij над квадратичнным полем K = Q(Vd), причем аддитивные подгруппы σ ij — ненулевые D -модули ( D — кольцо целых поля K ).

Предложение 1 [2, гл. II, §7, теорема 1] . Пусть d = 1 — целое рациональное число, свободное от квадратов. Кольцо целых D квадратичного поля Q( Vd) совпадает с кольцом

D = Z[9] = Z + Z9 = {x + yd : x,y G Z}, где 9 = Vd при d = 2, 3(mod 4) и 9 = 1+2^d при d = 1(mod 4).

При d = 2, 3(mod4) мы имеем 9 = Vd и 9 удовлетворяет уравнению x ² — d = 0. Если же d = 1(mod4), то 9 удовлетворяет уравнению x ² — x + 1-- = 0. Заметим, что 1 = ⁴j-- " ) ■

Предложение 2. Пусть R — промежуточное кольцо, D С R С K. Тогда либо R = K, либо R является дедекиндовой областью и совпадает с кольцом частных R = S ^-1 D для некоторой мультипликативной системы S С D .

• <1 Пусть R = K . Согласно [4, теорема 9.5] кольцо целых D является дедекиндовой областью, причем группа классов идеалов (фактор-группа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов) кольца D конечна (см. замечание из [4, гл. 9]). Поэтому

некоторая степень всякого идеала кольца D является главным идеалом кольца D . Таким образом, выполнены все условия следствия 2.6 из [7], согласно которому всякое промежуточное кольцо R, D С R С K , совпадает с кольцом частных R = S -1 D для некоторой мультипликативной системы S ⊆ D (см. [4, гл. 9, упражнение 1]). ⊲

Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [4, предложение 3.11 (1)]).

Лемма 1. Пусть R — область целостности, K — поле частных кольца R. Рассмотрим кольцо частных S - 1R ( для некоторой мультипликативной системы S кольца R). Всякий идеал кольца S - 1R имеет вид S -1 A для некоторого ( целого) идеала A кольца R.

Из леммы 1 и предложения 2 вытекает следующее предложение.

Предложение 3. Пусть R — промежуточное кольцо, D ⊆ R С K, R = S - 1D ( здесь S — мультипликативная система, S С D ) . Тогда всякий идеал кольца R имеет вид S -1 A для некоторого ( целого) идеала A кольца целых D квадратичного поля K.

Определение 1 [4, гл. 9] . Пусть R — область целостности и K — ее поле частных. R -модуль M ⊆ K называется дробным идеалом кольца R , если xM ⊆ R для некоторого ненулевого элемента x ∈ K .

Если мы положим xM = A С R, то, очевидно, A — целый идеал кольца R и M = x -1 A . Следовательно, всякий дробный идеал имеет вид t A , t Е K , для некоторого целого идеала A кольца R . Идеал вида tR , t ∈ K , называется главным дробным идеалом.

3.    D-сети второго порядка

В [7] дается следующее определение. Пусть R — произвольная область и K ее поле частных. Будем говорить, что область R обладает (QR)-свойством, если всякое промежуточное подкольцо, лежащее между R и K является кольцом частных кольца R .

Лемма 2 [7, следствие 2.6]. Если R — нетерова область, то следующие условия эквивалентны:

• (1)    R обладает ( QR)-свойством;

• (2)    R — дедекиндова область и группа классов идеалов кольца R — периодическая.

Напомним (см. доказательство предложения 2), что кольцо целых D — дедекиндова область и группа классов идеалов кольца D конечна, поэтому из леммы 2 следует, что кольцо целых D обладает (QR)-свойством.

Пусть a =

^σ 11

^σ 21

^σ 12

^σ 22

)

— D-сеть порядка 2 над полем K , причем все a j являются

ненулевыми D -модулями (здесь D — кольцо целых поля K ). Мы покажем, что кольца (с 1) ац и a22 совпадают: ац = a22 = R, кольцо R содержит кольцо целых D : D С R. Далее, σ 12 , σ 21 — дробные идеалы кольца R .

По определению D-сети кольца ац, а 22 содержат 1, а в силу того, что они — D -модули, то оба этих кольца содержат кольцо целых D поля K .

Замечание 1. 1. Область целостности R является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда всякий ненулевой дробный идеал обратим [4, гл. 9].

• 2.    Пусть A — дедекиндова область, S — мультипликативное множество в A . Тогда S ^-1 A либо является дедекиндовой областью, либо совпадает с полем частных кольца A [4, гл. 9, упражнение 1].

Предложение 4. Пусть R — область целостности и K — ее поле частных, Q — промежуточное подкольцо, R С Q С K. Если R обладает ( QR)-свойством, то Q также обладает ( QR)-свойством.

• <1 Пусть L — промежуточное подкольцо Q С L С K . Покажем что L = F ^—1 Q для некоторого мультипликативного множества F i С Q \{ 0 } .

По условию Q = S - 1R, L = F -1 R, где F , S — мультипликативные множества из R \ 0. Покажем вначале, что (ясно, что FS — мультипликативная система)

L = ( FS ) ^-1 R.                                   (1)

• ( С ) : А Е L = L • Q = F - 1R • S - 1R -^ Л = у • r2 = rf ² Е ( FS^R, r 1 , r 2 ∈ R, f ∈ F, s ∈ S.

Обратно

• ( 5 )    :     Е ( FS ) ^-1 R -^     = r • ¹ Е F - 1R • S - 1R = L • Q = L, s Е S.

fs                fs f s

Далее, согласно [4, гл. 3, упражнение 3] мы имеем

(FS )-1 R = F-1 (S-1R) = F-1Q, где Fi — образ множества F при естественном вложении R ^ S-1R = Q (при котором r ^ Г). Теперь из (1) мы имеем L = F- Q. >

В дальнейшем, K — поле частных области R .

Из предложения 4, леммы 2 и замечания 1 (2) вытекает следующее утверждение.

Предложение 5. Пусть K — поле частных области R . Пусть, далее, R — деде киндова область, обладающая ( QR ) -свойством. Тогда всякое промежуточное кольцо L, R ⊆ L ⊆ K, является дедекиндовой областью и обладает (QR)-свойством. В частности, группа классов идеалов кольца R, а также группа классов идеалов промежуточного кольца L являются периодическими группами.

Напомним следующее определение [4, гл. 9]: R — область целостности и K — ее поле частных; R -модуль M ⊆ K называется дробным идеалом кольца R , если xM ⊆ R для некоторого ненулевого элемента x Е K . Если мы положим xM = A С R, то, очевидно, A — целый идеал кольца R и M = x 1 A . Следовательно, всякий дробный идеал имеет вид t A , t ∈ K , где A — целый идеал кольца R . Напомним, что идеал M называется целым, если он содержится в кольце R . Идеал вида tR , t ∈ K , называется главным дробным идеалом.

Лемма 3. Пусть R — дедекиндова область, обладающая ( QR)-свойством. Пусть, далее, Q, L — промежуточные подкольца, причем R ⊆ Q ⊆ L ⊆ K ; B — ненулевой ( дробный ) идеал поля K ( относительно кольца L ) и B — (дробный ) идеал поля K ( относительно кольца Q ) . Тогда L = Q.

⊳ По условию B — ненулевой идеал поля K (относительно Q и L ). Согласно предложению 5 кольца Q и L дедекиндовы и обладают (QR)-свойством, причем группа классов идеалов кольца Q и группа классов идеалов кольца L являются периодическими группами. Тогда

Bm = tiQ, Bn = t2L =^ Bmn = aQ = bL =^ a Е L, - Е Q С L, ti,t2,a,b Е K, ba следовательно, b — обратимый элемент кольца L, а потому Q = bL = L. >

Лемма 4. Пусть R — дедекиндова область, обладающая ( QR ) -свойством. Пусть, далее, R i , R 2 — промежуточные подкольца, R С R i С K, i = 1, 2. Если B — ненулевой ( дробный ) идеал колец Ri и R2, то B — ненулевой ( дробный ) идеал кольца Ri П R 2 .

• < 1 По условию B — R i -модуль и B — R 2 -модуль, следовательно, B — R i П R 2 -модуль. Далее, по определению (дробного) идеала мы имеем tiB С R i и t2B С R 2 для некоторых t i = ab 1 G K , t 2 = ab 2 G K , где (напомним, что K — поле частных кольца R) a i ,b i G R, a i = 0, b i = 0, i = 1, 2. Так как B является R i П R 2 -модулем и R С R i П R 2 , то a i B С b i R i С R i , i = 1, 2. Поэтому

aia2B = ai(a2B) С a^ С R2,  a№B = a2(aiB) С a2Ri С Ri, откуда aia2B С Ri П R2. Следовательно, B — (дробный) идеал кольца Ri П R2. >

Предложение 6. Пусть R — дедекиндова область, обладающая ( QR)-свойством. Пусть, далее, R i , R 2 — промежуточные подкольца, R С R i С K, i = 1 , 2 . Если B — ненулевой идеал R i и B — идеал R 2 , то R i = R 2 .

• <    Согласно лемме 4 B — ненулевой идеал пересечения R i П R 2 . Если в лемме 3 теперь положить Q = Ri П R2 и L = R i , то мы получим R i П R 2 = R i . Аналогично R i П R2 = R 2 . Следовательно, R i = R2. >

Предложение 7. Пусть R — дедекиндова область, обладающая ( QR)-свойством. Рассмотрим неприводимую D-сеть аддитивных подгрупп

σ 11

^σ 21

σ 12

^σ 22

)

поля K, причем O ij являются R-модулями, для всех i = 1, 2. Тогда кольца ( с единицей ) оц и а22 совпадают: оц = о ₂₂ = P, причем P — подкольцо поля K, содержащие кольцо R. Далее, оцо21 — целый идеал кольца оц = о ₂₂ = P.

• <    По условию Oij = 0 (в силу невырожденности сети о) для всех i = 1, 2. По определению D-сети σ подгруппы σ11 и σ22 являются кольцами, которые содержат единицу, 1 G оц, i = 1, 2. Далее, так как оц — R-модули и 1 G оц, то R • 1 С оц, поэтому оц — промежуточные подкольца, R С оц С K, i = 1, 2. Рассмотрим произведение B = о|₂о₂| . Подгруппа B отлична от 0. По определению сети о мы имеем B С оц и B С о₂₂, причем по определению сети подгруппа B является σ11 -модулем и σ22-модулем. Следовательно, B — целый идеал кольца оц и B — целый идеал кольца о22, причем B = 0. Тогда, согласно предложению 6 (положив Ri = оц, R2 = озз), мы имеем оц = о22. >

4.    Описание D-сетей над квадратичным полем

Из предложения 7 вытекает следующее предложение.

Предложение 8. Пусть R — дедекиндова область, обладающая (QR)-свойством, K — поле частных области R. Рассмотрим неприводимую D-сеть аддитивных подгрупп о=

^σ 11 ^σ 21

...

σ n 1

σ 12 ^{. . .} σ 1 n

σ 22 . . . σ 2 n

... ... ...

σ n 2 ^{. . .} σ nn

поля K, причем Oij являются R-модулями, для всех i,j = 1,..., n. Тогда оц = ... = опп = P — подкольцо поля K, содержащие кольцо R, R С P С K. Далее, Oij — P-модули и aijaji — идеал кольца P для всех i,j = 1,..., n. В частности, aij являются дробными идеалами кольца P для всех i, j .

Теорема 1. K = Q( Vd) — квадратичное поле, D — кольцо целых поля K, a = ( a ij ) — неприводимая D-сеть аддитивных групп a ij поля K порядка n ^ 2, причем для любых i, j аддитивные группы σ ij являются D -модулями. Тогда для некоторого промежуточного подкольца P, D С P С K, сеть a имеет вид (2) из предложения 8. Далее, сеть a = ( a ij ) сопряжена диагональной матрицей из D ( n, K ) с D-сетью п = ( n ij ) дробных идеалов n ij кольца P и имеет вид

P		π 12	π 13     . . .	π 1 n
	π 21	P	π 23     . . .	π 2 n
n=	π 31	π 32	P ...	π 2 n	,
	... π n 1	... π n 2	... ... π n 3 . . .	... P
целые идеалы кольца P		при	любых i	< j , если же i

где πij ⊆ P — любых i, j имеют место включения π1j ⊆ πij .

> j , то P ⊆ π ij . Для

<1 1) Согласно [4, теорема 9.5] кольцо целых D является дедекиндовой областью, причем группа классов идеалов (фактор-группа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов) кольца D конечна (см. 1) замечание в [4, гл. 9]). По лемме 2 (1) кольцо D обладает (QR)-свойством. Первая часть теоремы теперь следует из предложе-

ния 8, т. е.

P   σ 12

σ21   P a =

σ n 1   σ n 2

σ 1 n σ 2 n

... P

Так как сеть a = ( a ij ) неприводима, то аддитивные подгруппы a ij — ненулевые дробные идеалы кольца P, D ⊆ P ⊆ K .

2) Покажем, что сеть a сопряжена диагональной матрицей с сетью п = (n ij ), у которой все P -модули n ij , лежащие ниже главной диагонали, содержат 1. Рассмотрим ненулевые элементы в подгруппах an — i для всех i = 2, 3,..., n. Предположим это элементы a ii- 1, i = 2, 3,..., n. Положим

d = d2

(—) ds() d4(---1--- a21       a32a21       a43a32a21

. . . d n

a nn -1 a n -1 n -2 ^{. . .} a 21

.

Рассмотрим сеть

n = (n ij ) = dad ¹

Нетрудно проверить, что

1 G П 21 , 1 G П 32 , ..., 1 G n nn -1 , 1 G n ii -1 , i = 2, 3,...,n.

Пусть теперь i > j . Тогда nii-1ni-1i-2 • • • nj+1j С nij    ^ 1 G nij •

Таким образом, мы показали что 1 G n ij для любого i > j.

• 3)    Покажем теперь, что P ⊆ π ij при i > j и π ij ⊆ P при i < j .

Пусть i > j. Согласно доказанному п. 2) мы имеем 1 G n ij , но тогда Pa ij С a ij , откуда P • 1 С n ij , поэтому P С n ij .

Пусть теперь i < j. Покажем, что σij ⊆ P . Действительно, пусть b ∈ σij . Имеем 1 € oji, так как j > i. Тогда b = b • 1 € ^ji^ij C P —^ aij C P.

• 4)    Покажем, что для любых i, j имеют место включения n i j C n ij . Пусть i >  1. Тогда согласно доказанному п. 2) мы имеем 1 € пц. Откуда

ⁿ1 j — ¹ • ⁿ1 j ^{C n} i 1ⁿ1 j ^{C n} ij * ^