Структура лиевых дифференцирований алгебр измеримых операторов

Задача о представлении лиева дифференцирования в стандартном виде является одной из важных задач функционального анализа. Помимо этого в последнее время интенсивно изучаются лиевы дифференцирования на C ^∗ -алгебрах и на более общих банаховых алгебрах.

Пусть A — некоторая алгебра. Линейный оператор D : A ^ A называется дифференцированием, если D(xy) = D(x~)y + xD(y) при всех x,y Е A. Каждый элемент a Е A определяет дифференцирование D a по правилу D a (x) = ax — xa, x Е A. Дифференцирования вида D _a называются внутренними .

Линейный оператор L : A ^ A называется лиевым дифференцированием, если L ([xy]) = [L(x),y] + [x,L(y)] для всех x,y Е A.

Обозначим через Z (A) центр A. Линейный оператор т : A ^ Z (A) называется центрозначным следом, если т (xy) = т (yx) для всех x,y Е A.

В работе В. Е. Джонсона [3] доказано, что каждое непрерывное лиево дифференцирование L из C ^∗ -алгебры A в банаховый A -бимодуль X может быть представлено в виде L = D + т, где D : A ^ X — ассоциативное дифференцирование и т — центрозначный след из A в центр X. А. Р. Виллена [6], исследуя неограниченные лиевы дифференцирования на унитальных банаховых алгебрах, получил аналогичный результат. В работе М. Мэтью и А. Р. Виллена [5] была доказана теорема о стандартном разложении лиева дифференцирования для унитальных C ^∗ -алгебр.

В теории колец проблема стандартного разложения лиевого дифференцирования изучалась в работах Херстейна [2] и Мартиндейла [4]. В работе Херстейна получено решение этой проблемы для простых, ассоциативных колец. Для примитивных колец, содержащих нетривиальные идемпотенты, и характеристикой, не равной двум, эта задача решена Мартиндейлом. Следуя этим результатам, полученным для колец, Роберт Майерс [7] решил проблему стандартного разложения лиевого дифференцирования для случая алгебр фон Неймана.

Настоящая работа посвящена стандартному разложению лиевых дифференцирований, действующих на алгебрах измеримых операторов относительно алгебр фон Неймана.

(е) 2012 Жураев И. М.

Пусть H — гильбертово пространство, B(H ) — алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в H, M — подалгебра фон Неймана в B(H ), P(M) — полная решетка всех ортопроекторов из M.

Линейное подпространство D в H называется присоединенным к M (обозначение DnM ), если u(D) С D для любого унитарного оператора и из коммутанта M 0 = {y G B(H ) : xy = yx V x G M } алгебры фон Неймана M.

Линейный оператор x, действующий в H, с областью определения D(x) С H называется присоединенным к M (обозначение xnM ), если u (D (x)) С D(x) для любого унитарного оператора и G M, и ux(^) = xu(^) для всех £ G D(x).

Линейное подпространство D в H называется сильно плотным в H относительно алгебры фон Неймана M, если: 1) DηM ; 2) существует такая последовательность проекторов { Р _п } П =, что P n f 1 , P n (H ) С D, P ^; = 1 — P n — конечный проектор в M для всех n ∈ N , где 1 — единица в M.

Замкнутый линейный оператор x, действующий в гильбертовом пространстве H, называется измеримым относительно алгебры фон Неймана M, если xnM, и D(x) является сильно плотным в H. Обозначим через S(M ) множество всех операторов, измеримых относительно M.

Множество S(M ) всех измеримых операторов относительно M является унитальной ∗ -алгеброй относительно операций сильного сложения и умножения и перехода к сопряженному оператору [8].

Пусть M — алгебра фон Неймана с центром Z. Обозначим центр алгебры S (M ) через Z(S(M )). Пусть L : S(M ) ^ S(M ) — произвольное лиево дифференцирование. Если p i , P j — проекторы в S(M ), то p i S(M)p j = {p i Ap j : A G S(M ) } , i, j = 1, 2. Положим pi = p и P2 = 1 - p. Тогда S(M ) = P2₌₁ P²=1 p i S(M)p j . Пусть, далее, M ij = p i S(M)p j , i,j = 1, 2. Напомним, что M ij = M ik M kj для i,j = 1, 2.

Лемма 1. Пусть p — проектор в S(M). Тогда для всех x G S(M), x {pL (p) + L (p) p + pL (p) p - L (p)} - {pL (p) + L (p) p + pL (p) p — L (p)} x = 3px {pL (p) + L (p) p — L (p)} — 3 {pL (p) + L (p) p — L (p)} xp.

C Для всех x G S(M ) имеет место равенство

[[[xp] p] p] = [xp] .                                               ⁽²⁾

Применяя L к тождеству (2), получим

[[[L(x),p] + [ x,L(p)] ,p] + [[xp] , L(p)] ,p] + [[[xp] p] , L(p)] = [L(x),p] + [x,L(p)] .     (3)

Отсюда получим требуемое равенство. B

Лемма 2. L(p) = [ps] + z для некоторого s G S(M ) и z G Z(S(M )).

C Пусть L(p) = ^2 e ij , e ij G M ij (i,j = 1,2). Применяя (1) для всех x G S(M ), получим

x(2e_n — e22) — (2e_n — e22)x = 3px(e_n — e22) — 3(e_n — e22)xp.            (4)

Если x G M12, то из (4) заключаем, что en x = xe22, откуда

(eii + e22)x = x(e_n + e22 ) (x G M12).

Аналогично, (eii + e22)x = x(eii + e22 ) (x G M21). Пусть теперь x G M11 и y G M12. Тогда

{ (eii + e22)x — x(e_n + e22 ) } y = (e_n + e22)xy — xy(e_n + e22 )

= (eii + e22)xy — (eii + e22)xy = 0, поскольку y, xy ∈ M12 . Отсюда получаем

(eii + e22)x - x(e_n + e22) = 0 (x G Mii).

Аналогично

(eii + e22)x — x(en + e22) = 0 (x G M22), т. е. eii + e22 = z G Z(S(M)). Следовательно, L(p) = (ei2 + e2i) + z и, полагая s = ei2 — e2i, получим, что L(p) = (ps — sp) + z. B

Отсюда следует, что нам достаточно рассмотреть случай, когда L(p) G Z(S(M )), поскольку если мы докажем основную теорему для этого случая, то, полагая L 0 = L — D _s , где D _s — внутреннее дифференцирование, мы получим стандартное разложение в общем случае.

Лемма 3. L (M ij ) С M ij для i = j.

C Пусть x G M12 и L(x) = УЦул (i,j = 1, 2). Тогда, привлекая равенство x = [p, x], получим

52 y ij = ^L(x) = ^L([P^,x]) = ^[L(P^{),x] + [}P^,L(x)] = ^[P^,L(x)] = У12 ^— У2Х-

Отсюда следует, что yii = y₂i = У22 = 0. Таким образом, L(x) G M12. Аналогично рассматривается случай x ∈ M21 . B

Лемма 4. L (M ii ) С M ii + Z(S(M )).

C Пусть x G M11 и L(x) = P y ij , y ij G M ij (i = 1, 2). Тогда 0 = L([p,x]) = [L(p),x] + [p, L(x)] = [p, L(x)] = У12 — У21, следовательно, yi2 = y₂i = 0 и L(x) G Mii + M22. Аналогично, если x G M22 , то L(x) G Mii + M22 . Пусть x G Mii и y G M22 , L(x) = aii + a22 , L(y) = bii + b22 (a ii ,b ii G M ii ). Тогда 0 = L([x,y]) = [L(x),y] + [x,L(y))] = [a₂₂,y] + [x, bii] = 0. Отсюда, в частности, [a₂₂, у ] = 0 для всех у G M22, т. е. a ₂₂ является центральным элементом таким, что a22 = ( 1 — p) z, z G Z(S(M )). Поэтому L(x) = aii + ( 1 — p) z = [aii — pz + z] G Mii + Z(S(M )). Таким же образом заключаем, что L(M₂₂) G M₂₂ + Z(S(M )). B

Из полученных результатов заключаем, в частности, что если x G M ij (i = j ), то L(x) = x * G M ij ; если x G M ii , то L(x) = x * + z, x* G M ii , z G Z(S(M )).

Исходя из этих соотношений, можно определить отображение D из S(M ) в S(M ), полагая D ( x ) = x ^* , если x G M ij для всех i , j.

Теперь рассмотрим отображение т из S(M ) в Z(S(M )), определяемое равенством

т (x) = L(x) — D(x), x G S(M).

Лемма 5. Отображение т : S(M ) ^ Z(S(M )) является линейным.

C Достаточно доказать аддитивность τ на M ii . Если x, y ∈ M ii , то

T (x + y) — т (x) — т (y) = L(x + y) — D(x + y) — L(x) + D(x) — L(y) + D(y)

= [D(x) + D(y) — D(x + y)] G Mu П Z (S(M)) = 0. ▻

Следствие. Отображение D : S(M ) ^ S(M ) является линейным.

Лемма 6. D(xyx) = D(x)yx + xD(y)x + xyD(x) для всех x G M ij (i = j ) и для всех У G S(M ).

C Для x G M ij (i = j ), 2xyx = [[x,y]x]. Тогда

2D(xyx) = L(2xyx) = L([[x,y]x]) = [[L(x),y] + [x,L(y)],x] + [[x, y], L(x)]

= [[D(x), y] + [x, D(y)],x] + [[x, y],D(x)] = 2 {D(x)yx + xD(y)x + xyD(x)} , что и требовалось. B

Лемма 7. Для x G M i, и y G M jk (j = k), выполняется D(xy) = D(x)y + xD(y).

C Пусть x G M11 и y G M12. Тогда

D(xy) = L(xy) = L([x,y]) = [L(x),y] + [x,L(y)] = [D(x),y] + [x,D(y)] = D(x)y + xD(y). ▻

Лемма 8. Для x G M11 и y G M jj , выполняется D(xy) = D(x)y + xD(y).

C Пусть x,y G Mil. Для r G M12, используя лемму 7, получим

D(xy)r = D(xyr) — xyD(r) = D(x)yr + xD(yr) — xyD(r) = D(x)yr + x { D(y)r + yD(r) } — xyD(r) = { D(x)y + xD(r) } r.

Следовательно, { D(xy) — D(x)y — xD(y) } r = 0 для всех r G M12- Отсюда заключаем, что D(xy) — D(x)y — xD(y) = 0. B

Теорема 1. Отображение D из S(M ) в S(M ) является ассоциативным дифференцированием.

C Пусть 0 = x G M12 и y G M21 . Имеем

^T([x,y^]) = ^L([x,y^{]) — D([x,}y^]) = ^[L(x),y^{] + [x,L(}y^{)] — D([x,}y^]) = [D(x),y] + [x, D(y)] — D(xy) + D(yx).

Отсюда

{ D(x)y + xD(y) — D(xy) } + { D(yx) — D(y)x — yD(x) } = z G Z(S(M)).      (5)

Если z = 0, то [D(x)y + xD(y) — D(xy)] G M₁₁ П M₂₂, т. е. D(x)y + xD(y) — D(xy) = 0. Предположим, что z = 0. Умножая равенство (5) слева на x, получим xD(yx) — xD(y)x — xyD(x) = xz. Применяя лемму 7, находим, что D(xyx) — D(x)yx — xD(y)x — xyD(x) = xz. Согласно лемме 6 получаем xz = 0. Отсюда x = 0, из противоречия получим требуемое равенство. B

Следствие. Равенство т(xy — yx) = 0 выполняется для всех x, y G S(M).

Итак, мы получаем следующую основную теорему.

Теорема 2. Всякое лиево дифференцирование на S(M) единственным образом представляется в виде

L = D + т, где D — ассоциативное дифференцирование и т — центрозначный след из S (M) в Z(S(M)).

Пусть L0(Q) = L°(Q, ^,д) — алгебра классов эквивалентности всех комплексных измеримых функций на (Q, ^,д). Рассмотрим произвольное дифференцирование 5 : L0(Q) ^ L0(Q), и D g — «покоординатное» дифференцирование на M n (L0(Q)) матриц размера n х n над L0(Q), определенное по правилу

D6 ((Лу)"j=1) = ■ (Л,,)"j=1) , где (Xj )^.=1 E Mn (L° (^)) • Оператор Dg является дифференцированием на Mn (L°(Q)) . Исходя из этого можно определить дифференцирование Dg на S(M) [1], где M — алгебра фон Неймана типа I, положив

D g (x) = (D _{S a} (Х а )) , x = (X a ) E S (M )•

Из [1, теорема 3.6] получим следующее

Следствие. Пусть M — алгебра фон Неймана типа I . Тогда каждое лиево диффе ренцирование на S (M ) единственным образом представляется в виде

L = Da + Dg + т, где Da — внутреннее дифференцирование, Dg —дифференцирование вида (6).