Структура оптимального интерполяционного пространства в интерполяционных тройках пространств p-суммируемых функций
Автор: Ефимов Анатолий Иванович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.11, 2009 года.
Бесплатный доступ
Для пространств p-суммируемых функций A, B, C, D, E, на которые наложены некоторые дополнительные ограничения, найден явный вид банахова пространства F(E) такого, что тройка пространств A, B, E интерполяционна относительно тройки пространств C, D, F тогда и только тогда, когда пространство F(E) вложено в пространство F.
Оптимальное интерполяционное пространство, интерполяционная орбита, пространство суммируемых функций
Короткий адрес: https://sciup.org/14318267
IDR: 14318267
Текст научной статьи Структура оптимального интерполяционного пространства в интерполяционных тройках пространств p-суммируемых функций
В настоящей статье найден явный вид банахова пространства, которое является оптимальным интерполяционным пространством, как это понимается в [1], для некоторых интерполяционных троек пространств p-суммируемых функций.
Определение 1. Пусть A, B и C, D — две банаховы пары, E и F — промежуточные пространства между A и B , C и D соответственно. Тройка (A, B,E ) называется интерполяционной относительно тройки (C, D, F ), если для каждого ограниченного оператора из пары A, B в пару C , D его сужение на E является ограниченным из E в F .
Теорема 1 [1, с. 40] . Пусть E — промежуточное пространство для банаховой пары A , B , а C , D — другая банахова пара. Существует промежуточное для пары C , D пространство F(E ), обладающее тем свойством, что тройка A, B, E интерполяционна относительно тройки C, D, F тогда и только тогда, когда F(E ) С F.
Такое пространство F (E) называют оптимальным интерполяционным пространством.
Под пространством p-суммируемых функций будем понимать:
Определение 2. Пространством L p (0, + го ) p-суммируемых функций на полуоси [0, + го ) будем называть совокупность классов эквивалентности функций
f(x) • k f k L i (G,+ ^ ) =

< + го .
Определение 3. Пространством Lp(a(x), (0, +^)) p-суммируемых функций на полуоси [0, +го) с весом a(x) > 0 будем называть совокупность классов эквивалентности функций
f(x) • kf k L i (a(x),(G,+ ^ ))
+ ^ \ p
I I f (x) | p a p (x) dx j
G
< + ro .
(c) 2009 Ефимов А. И.
Для нахождения оптимального интерполяционного пространства воспользуемся теорией орбит, в частности, работой [3] Гуннара Спарра. Определим K -функционал так же, как и в [2]:
Определение 4. K -функционалом элемента x G A + B, где A, B — банахова пара, называется:
K (t,x; A,B)= inf {k x i k A + t k x 2 k B } , t> 0.
X=X 1 +X 2
Определение 5. K -орбитой элемента a G X i + X 2 в Y i + Y 2 называется
KOrb(a; (Xi,X2) - (Y^)) = L G Yi + Y2 : sup K(t,y;Yi,^) < +^1 , I t>o K(t,a;Xi,X2) J где Xi , X2 и Yi , Y2 — две банаховы пары.
При этом можно рассматривать
K Orb(a; (X i ,X 2 ) - (Y i ,Y > ))
как банахово пространство с нормой
_ K(t,y; Y i ,Y > )
kyk KOrb(a) sup K(t,a; X i ,X 2 ) •
Определение 6. Орбитой элемента a G X i + X 2 в Y i + Y 2 называется
Orb(a;(Xi,X2) - (Yi,Y>)) = {y G Yi + Y2 : (3T G L((Xi,X2), (Yi,Y2>>) Ta = y} , где Xi , X2 и Yi , Y2 — две банаховых пары.
Замечание 1. Пусть E — промежуточное пространство для банаховой пары X i , X 2 и a ∈ E. Тогда можно рассматривать
Orb(a; (X i ,X 2 ) - (Y i ,Y 2 ))
как банахово пространство с нормой kykOrb(a) = inf {kTIIl((Xi,X2),(Yi,Y2)) : T G L^Xi,^), (Yi,Y2)),Ta = ykakE} -
Далее будем рассматривать орбиту как банахово пространство с нормой || • k Orb(a) -Определение 7. K (p 1 ,p 2 ) -функционалом элемента x G A + B, где A и B — банахова пара, называется:
K (p i ,P 2 ) (t,x) = K (p i ,p 2 ) (t,x; A,B) = Jxi f JH x ill A 1 + tkx 2 k B } , t > 0.
В работе [3] было доказано:
Теорема 2 [3, с. 240-244]. Если Lp1a(X,^), Lp2b(X,^) и Lp1c(X,v), Lp2d(X,v) — две банаховых пары, где 1 6 pi, p2 < +ro, и x G Lp1a(X, ^) + Lp2b(X, ^), то y G Orb(x; (Lp^X,^, Lp2b(X,^)) — (Lpic(X,v), Lp2d(X,v)))
тогда и только тогда, когда y G KOrb (x; (Lpia(X, ^),Lp2b(X, ^)) — (Lpic(X, v), Lp2d(X, v))), где
L pa (X,^) = f(x) : kf k L pa (X,M) =
p
/ | f (x) | p a p (x) d^ I < + x
X
Лемма 1 [3, с. 236-237] . Пусть A - , A 2 и B - , B 2 —две пары банаховых пространств, тогда для любых 0 < p i , Р 2 < + x выполняется
K (p i ,P 2 ) (t,x; A i ,A 2 )
sup t>0 K(pi,P2)(t,y; B1,B2)
K (t,x; A 1M2 )
< x ° sup —-- < + x- t>o K(t,y; Bi,B2)
Для доказательства основного результата настоящей статьи нам потребуется несколько вспомогательных утверждений:
Лемма 2. Для любых чисел α , β и любых положительных чисел γ , δ справедливо неравенство
min(a,YA a±7 V3 6) 6 в + 5 6 VP^) Лемма 2 тривиальна. В частности, справедливость леммы очевидна, если неравенству (1) придать механический смысл. Пусть βα, γδ— координаты точек на числовой прямой, а в, 5 — массы этих точек. Тогда 0—2 будет координатой центра масс системы данных точек. Лемма 3. Пусть a(x) > 0 Vx G (0, +x), p > 0. Для t > 0 введем множества Qi(t) = Ix > 0 : ap(x) > || , Q2(t) = (0, +x) \ Qi(t). Тогда, если существуют интегралы j If (x)lp dx и J If (x)|pap(x) dx, Qi(t) Q2(t) то K(p,p)(t,f(x); Lp(0, +x), Lp (a(x),(0, +x))) = у If (x)Ipdx +t Q1(t) У If (x)|pap(x) dx. Q2(t) <1 Непосредственно из определения следует K(p,p)(t,f (x); Lp(0, +x) Lp(a(x),(0, +x))) = inf f (x)=f1(x)+f2(x) ' +^ ■ /|f(x)|p dx+t o +^ У If (x)|pap(x) dx > . o Легко заметить, что при этом инфимум будет f (x) = f1(x) + f2(x) : fi (x) = f (x) V x 0 Vx достигаться на следующем разложении : ap(x) > 1, : ap(x) < -t и f2(x) = l0 I f (x) V x : ap(x) > -, V x : ap (x)< -. Тогда K(p,p) (t, f(x); Lp(0,+^),Lp(a(x),(0, +^))) +^ +^ j |fi(x)|pdx + t J |f2(x)|pap(x) dx = j |f (x)|pdx + t J |f (x)|pap(x) dx. B Qi(t) Q2(t) Следствие 1. Пусть функция a(x) > 0 монотонно убывает для любого x Е (0, +го). Тогда, если для любого положительного значения переменной x выражение tap (x) принимает значение меньше 1, то K(p,p)(t,f(x); Lp(0, +ГО), Lp(a(x),(0, +^))) +^ = t У |f (x)|pap(x) dx = tkf(x)^(a(x),(0,+^)) и K(p,p)(t,f(x); Lp(0, +^L Lp(a(x), (0, +^))) = a 1(tp ) +^ j If (x)|pdx +t j 0 a-1( tp) |f (x)|pap(x) dx в противном случае. Следствие 2. Пусть функция a(x) > 0 монотонно возрастает Vx Е (0, +го). Тогда, если для любого положительного значения переменной x выражение t • ap(x) принимает значение больше 1, то +^ K(p,p)(t,f(x);Lp(0, +ro),Lp(a(x),(0, +ro)))= j|f(x)|pdx = kf(x)kLp(o,+^) 0 и a-1( tp) K(p,p)(t,f (x); Lp(0, +^),Lp(a(x), (0, +^))) = j |f (x)|pdx + t j |f (x)|pap(x) dx a-1(tp) 0 в противном случае. Лемма 4. Пусть E — промежуточное пространство для банаховой пары A, B , а C , D — другая банахова пара. Тогда пространство F(E) = [ Orb(a;(A,B) ^ (C,D)) a∈E обладает тем свойством, что тройка (A, B, E) интерполяционна относительно тройки (C, D, F) тогда и только тогда, когда F(E) С F (т. е. F(E) — оптимальное интерполяционное пространство). C Обозначим Orb(a) := Orb(a; (A, B) ^ (C, D)). Пространство F(E) содержит все элементы вида Tx, где x E E и T E L(AB,CD). Значит, тройка (A, B,E) является интерполяционной относительно тройки (C,D,F(E)) и, если F(E) C F, то тройка (A, B,E) интерполяционна относительно (C,D,F). По построению пространство F(E) состоит из элементов вида У = ^yE 52 kyikOrb(ai) < +А, yi = Tiai, Ti E L(AB,CD). i ai∈E При этом будем считать, что kaikE = 1. Этого всегда можно добиться, так как из yi = T*a* следует yi = Tiai, kaikE = 1, где ai = ka^a* и Ti = ||a*kE • T*. Покажем теперь, что если тройка (A, B, E) интерполяционна относительно тройки (C, D, F), то F(E) C F. По определению нормы в Orb(ai) найдется оператор Ti E L(AB,CD) такой, что kTi kL(AB,CD) 6 kyikOrb(ai) + ^• Поэтому 52 kyikF = 52 kTiaikF 6 52 kTikE^F kaikE = 52 HTikE^F 6 C X kTikL(AB,CD) 6 C X ^kyikOrb(ai) + ^^ = C ^1 + X kyi llorb(ai)^ < А и, следовательно, y E F. Таким образом, F(E) C F. Лемма 5. Пусть Xi, X2 и Yi, Y2 — две банаховых пары и a E Xi + X2, a = 0, y E Yi + Y2, y = 0. тогда следующие утверждения равносильны: K(t,y; Yi,Y2) ( ) stup K(t,a; Xi,X2) (2)iim K(t,y; Yi,Y2) ()t^o K(t,a; Xi,X2) < + а ; K(t,y;Yi,Y2) < + А. и lim ----——- < +ro. t^+^ K(t,a; Xi,X2) C Так как, согласно [2], K -функционал представляет собой положительную и непрерывную функцию переменной t > 0, то функция f = K (t,y; Yi,Y2) f() K(t,a; Xi,X2) также будет непрерывна для любого t > 0. Из сказанного следует, что на любом отрезке [ti,t2], 0 < ti < t2, функция f (t) является ограниченной. Пусть выполняется первое утверждение. Предположим, что при этом не выполняется второе. Не нарушая общности рассуждений, можно считать г- K(t,y; Yi,Y2) lim f (t) = lim —;------------ = +а. t^o f ()t^o K(t,a; Xi,X2) Отсюда следует, что существует монотонно убывающая последовательность положительных чисел {un}n=i такая, что lim f(un) = +а. n→∞ Поэтому K(t,y; Yi,Y2) (3 n EN) f (un) > sup —--- t>0 K (t, al Xi, X2) что является невозможным, т. е. предположение о несправедливости второго утверждения привело нас к противоречию. Пусть теперь выполняется второе утверждение, покажем, что тогда выполняется и первое. Обозначим — K(t,y; Y1,Y2) K(t,y; Y1,Y2) A = lim -хл--X—< ' ^ , B = lim лтл--x—тгг < +^, t^0 K(t,a; X1,X2) t^+^ K(t,a; X1,X2) тогда для фиксированного e > 0 существует h > 0 такое, что для любого t Е (0, h) выполняется f (t) < A + e и для того же самого e существует l > 0 такое, что при любом t Е (l, +го) выполняется f (t) < B + e. Кроме того, как сказано выше, 3 C > 0 : Vt Е [h, l], f (t) < C. Таким образом, K (t,y; Y1,Y2) SUP < max (A + e,B + e, C) < +ro, t>0 K(t, a; X1, X2) что и завершает доказательство. B Кроме того, так как функционал K(p1,p2) также представляет собой положительную и непрерывную функцию переменной t > 0, то дословно повторяя выкладки предыдущей леммы получим: Следствие 3. Пусть Xi, X2 и Yi, Y2 — две банаховых пары и a Е Xi + X2, a = 0, у Е Yi + Y2, y = 0. Тогда следующие утверждения равносильны: , х K(pi,p2)(t,y; Y1,Y2) (1) supК-----п-Х X \< х; t>0 K(p1,p2)(t, a; Х1,Х2) -- K(pi,p2)(t, y; YEY2) р-- K(pi,p2)(t, y; YEY2) (2) lim ,---x---X—< xи lim xx---x---X—< x. t^0 K(pi,p2)(t, a; X1,X2) t'' xK(pi,p2)(t, a; X1,X2) Лемма 6. Пусть f (x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0 при любом x > 0, и функции f (x) и g(x) интегрируемы по Лебегу на интервале (0, v) для любого v > 0, а функция h(x) непрерывная и монотонно убывающая на (0, +го). Если существует D > 0 такое, что для любого v > 0 vv j f (x) dx 6 D j g(x) dx, то vv У f (x)h(x) dx 6 D У g(x)h(x) dx (V v> 0). C Обозначим A+(v) := {x Е (0, v] : D • g(x) A-(v) := {x Е (0, v] : D • g(x) - - f(x) > 0}, f(x)< 0}. Можно представить множества A+(v) и A (v) в виде следующих объединений измеримых множеств A+(v) = (U A+(v) ) U B+(v) и A-(v) = (U A-(v) ) [ B-^ ii где (V i) sup A+ (v) 6 inf Ai (v) и j (Dg(x) - f (x)) dx > J (f (x) - Dg(x)) dx, A+(v) A7(v) а множества B+(v) и B (v) имеют нулевую меру. Тогда h(sup A+(v)) У (Dg(x) — f (x)) dx > h(inf A-(v)) у (f (x) — Dg(x)) dx ^ A+(v) A- (v) j (Dg(x) — f (x))h(x) dx > j (f (x) — Dg(x))h(x) dx ^ A+(v) A-(v) У (Dg(x) — f (x))h(x) dx > j (f (x) — Dg(x))h(x) dx ^ A+(v) A-(v) У f (x)h(x) dx + У f (x)h(x) dx 6 У Dg(x)h(x) dx + У Dg(x)h(x) dx ^ A-(v) A+(v) A+(v) A-(v) vv У f (x)h(x) dx 6 D j g(x)h(x) dx. B Сформулируем основной результат работы и проведем его доказательство. Теорема. Пусть a(x), b(x), d(x) — дифференцируемые монотонно убывающие на [0, +го) функции такие, что lim a(x) = 0, lim b(x) = 0, lim d(x) = 0 x^+^ x^+^ x^+^ a(0) = 1, b(0) = 1, d(0) = 1 и для каждого x > 0 справедливо b(x) 6 d(x) 6 1. Обозначим c(x) = d(b-1(a(x))). При p > 1 тройка пространств (Lp(0, +ro), Lp(b(x), (0, +ro)), Lp(d(x), (0, +ro))) является интерполяционной относительно тройки (Lp(0, +ro), Lp(a(x), (0, +ro)), F) тогда и только тогда, когда Lp(c(x), (0, +ro)) C F, где F — банахово пространство. Т. е. пространство Lp(c(x), (0, +^)) является оптимальным интерполяционным пространством. <1 Согласно лемме 4, оптимальное интерполяционное пространство можно рассматривать как сумму орбит Orb(g(x) : (Lp(0, +го), Lp(b(x), (0, +го))) ^ (Lp(0, +го), Li(a(x), (0, +^)))) элементов g(x) пространства E = Lp(d(x), (0, +го)), которое для краткости обозначим S Orb(g(x)) с нормой || • ksогь(д(х)). g(x)GE Возьмем f (x) G Lp(c(x), (0, +^)) и покажем, что существует g(x) 6 Lp(d(x), (0, +^)) такой, что f (x) принадлежит орбите Orb(g(x) : (Lp(0, +ro), Lp(b(x), (0, +ro))) ^ (Lp(0, +ro), Lp(a(x), (0, +^)))). В качестве такого g(x) положим g(x) = f (a-1(b(x))) ((a-1(b(x)))0)p , тогда, так как lim a-1(b(x)) = +ro и lim a-1(b(x)) = 0, то x — ^ x , ■ 0 kg(x)kLp(d(x),(0,+ro)) ^ |g(x)|pdp(x)dx 0 p +^ j |f (a-1(b(x)))|p|(a-1(b(x)))0| dp(x) dx 0 1 p +^ j If (t)|pdp(b-1(a(t))) kf (x)kLp(c(x),(0,+^)), т. е. g(x) G Lp(d(x), (0, +ro)). Рассмотрим предел lim v→∞ +f |f (x)|pap(x) dx a-1(b(v))__________________________ J°|g(x)|pbp(x) dx v = lim v→∞ +^ R |f(a-W^M^a-W)))0dt v +^ R |g(x)|pbp(x) dx v = 1. А для предела lim v→∞ a-1(b(v)) R If (x)|pdx v J|g(x)|pdx = lim v→∞ a-1(b(v)) R |f (x)|pdx a-1(b(v)) R If (t)Ipdt = 1. Согласно следствию lim K(p,p)(t,f(x);Lp(0, +^),L-p(a(xR(0, +^)) t^+^ K(p,p)(t, g(x); Lp(0, +ro), Lp(b(x), (0, +ro)) a 1(tp) +^ R |f (x)|pdx + t R |f (x)|pap(x) dx V--- a (tP ) lim ------------------------------------------ v^^ b-1( tP) +^ R |g(x)|pdx + t R |g(x)|pbp(x) dx 0 b-1(tP) a-1(b(v)) +ГО R |f (x)|pdx + R |f (x)|pap(x) dx = lim v→∞ 0 vb^v) a-1(b(v)) R|g(x)|pdx + -/1= R |g(x)|pbp(x) dx 0 b(v) v Далее, используя неравенство леммы 2 min ^-^1 6 ^ 6 max ^,5), \в 6) в + 6 Vв s) получаем 1 = min a lim v→∞ V a- 1(b(=)) J If (x)|pdx Л-----------;lim v v→∞ J|g(x)|p dx +^ 1= J |f(x)|pap(x) dx b(V) a—1(b(v)) +^ 1=) / |g(x)|pbp(x) dx / 6 lim v→∞ W)) J |f (x)|p dx +"РЖ 0 b(=) J If (x)|pap(x) dx a-1(b(v)) J |g(x)|p dx + 0 a-1(b(v)) 1=) / |g(x)|pbp(x) dx 6 max lim v^^ f If(x)|p dx °; lim J |g(x)|pdx °° 0 1= +Г If (x)|pap(x) dx^ b(V) a-1(b(v)) Ри J Ig(x)Ipbp(x) dx b(=) = = 1, следовательно, lim t^+^ K(p,p)(t,f (x); Lp(0, ■ ^ )- Lp(a(x), (o,+^)) = 1 K(p,p)(t,g(x); Lp(0, +Ю), Lp(b(x), (° +^)) ‘ Если же t стремится к нулю, то limK(p,p)(t, f (x); Lp(0, +^),Lp(a(x), (0, +^)) t^0K(p,p)(t,g(x); lp(0, ■ ^ '■ Lp(b(x),(0, +^)) Jim tkf kLp (a(x),(0,+^))= Hf kLp(a(x),(0,+^)) t^0tkgkLp(b(x),(0,+^)) llgkLp(b(x),(0,+ro)) Тогда, согласно следствию 3, su K(p,p)(t1/(x)2Lp(01+ro),Lp(a(x)L(01+ro)) < t>0 K(p,p)(t,g(x); Lp(0, ^^БрО)^'),(0, +^)), а по лемме 1 K(t,f(x); Lp(0, +^), Lp(a(x),(0, +^)) < + t>0 к(t, g(x); Lp(0, +ro), Lp(b(x), (0, +ro))°°‘ Это означает, орбиты g(x). что f (x) является элементом K-орбиты g(x), а по теореме [3] и элементом Покажем теперь, что норма пространства |J Orb(g(x)) мажорируется нормой про-g(x)eE странства Lp(c(x), (0, +ro)). Возьмем произвольный элемент f(x)G U Orb(g(x)) g(x)GE и g(x) = f(a-1(b(x)))((a-1(b(x)))0) p. Рассмотрим оператор T : g(x) ^ f (x), где f (x) — такая функция, что g(x) = f (a-1(b(x)))((a-1(b(x)))0) p • Так как для норм выполняются следующие равенства: +^ +^ kTg(x)kLp(0,+») = j If(x)lpdx = / If(a-W)))Ip(a-W)))'dx = kg(x)kLp(o,+„) 0 0 и +^ kTg(x)kLp(a(x),(0,+»)) = / If (x)|pap(x) dx +^ = j If (a-1(b(x)))|p(a-1(b(x)))0bp(x) dx = kg(x) k^)^)), 0 то оператор T является непрерывным как действующий из банаховой пары Lp(0, +го), Lp(b(x), (0, +^)) в банахову пару Lp(0, +го), Lp(a(x), (0, +^)) с нормой равной единице. Так как Tg(x) = f(x), то g(x) G E. Тогда Ilf (x)kS Orb(g(x)) 6 Ilf(x)kOrb(g(x)) 6kT kg(x)kE kL((Lp(0,+^),Lp(b(x),(0,+^))),(Lp(0,+^),Lp(a(x),(0,+^)))) (+^ p У If(a-1(b(x)))|p(a-1(b(x)))0dp(x) dx J = kf (x)kbp(c(x),(0,+^)). Тем самым, доказано вложение Lp(c(x), (0, +^)) в оптимальное интерполяционное пространство. Покажем теперь, что сумма орбит Orb(g(x) : (Lp(0, +го), Lp(b(x), (0, +го))) ^ (Lp(0, +го), Lp(a(x), (0, +^)))) по всем g(x) G Lp(d(x), (0, +^)) вложена в пространство Lp(c(x), (0, +го)). Покажем, что для любой функции g(x) G Lp(d(x), (0, +го)) орбита Orb(g(x) : (Lp(0, +го), Lp(b(x), (0, +го))) ^ (Lp(0, +го), Lp(a(x), (0, +^)))) вложена в Lp(c(x), (0, +го)). Возьмем функцию f (x), принадлежащую орбите Orb(g(x) : (Lp(0, +го), Lp(b(x), (0, +го))) ^ (Lp(0, +го), Lp(a(x), (0, +го)))), и сначала докажем, что f (x) G Lp(c(x), (0, +ro)). то Так как K(t, f(x); Lp(0, +ro), Lp(a(x), (0, +ro))< + t>o K(t, g(x); Lp(0, +ro), Lp(b(x), (0, +^)) °0, — K(p,p)(t,f (x); Lp(0, +ro),Lp(a(x),(0, -4-^)) t^~ K(p,p)(t,g(x);Lp(0, +ro),Lp(b(x), (0, +ГО)) = lim v→∞ a-1(b(v)) + x R |f (x)|pdx + 77= R |f (x)|pap(x) dx 0 Vb^v) a-1(b(v)) R |g(x)|pdx + 7= R |g(x)|pbp(x) dx 0 b(v) v < +ro. Далее, используя, как и выше, неравенство min ^.^ 6 a±2 6 max 77 \в 6у в + 6 \S’6y справедливое для положительных чисел, приходим к выводу, что сходится, по крайней мере, один из двух пределов a-1(b(v)) R |f(x)|pdx lim --0----------- и v→∞ v J |g(x)|pdx lim v→∞ + OQ |f(x)|pap(x)dx a-1(b(v))____________________ f |g(x)|PbP(x) dx v В первом случае получаем (3 Di > 0) (3 vo > 0) (V v > Vo) v / o |f (a 1(b(x)))|p(a 1(b(x)))0 dx 6 D1 v |g(x)|pdx. o Увеличив константу Di, можно добиться чтобы неравенство было верно для любого положительного v. Тогда, так как d(x) монотонно убывает и положительна, то согласно лемме 6 получаем V v > 0 v v j |g(x)|pdp(x) dx o I |f (a-1(b(x)))|p(a-1(b(x)))0dp(x) dx 6 D1 o или, переходя к пределу при v → ∞, kf (x)kLp(c(x),(0,+^)) 6 Di g('x' Lp.d.,x ,0, + x ■ Во втором случае a-1(b(u)) R If (x)|pap(x) dx lim lim v→∞ u→∞ a-1(b(v)) R |g(x)|pbp(x) dx v Следовательно, (3 D2) (3 ug) (V u > v > ug) uu j |f (a-1(b(x)))|pbp(x)(a-1 (b(x)))0bp(x) dx 6 D2 j |g(x)|pbp(x) dx. Тогда, для любого измеримого множества A С (ug, +го) получаем У |f (a-1(b(x)))|pbp(x)(a-1(b(x)))0bp(x) dx 6 D2У |g(x)|pbp(x) dx. AA Следовательно, почти всюду на интервале (ug, +го) выполняется |f(a-1(b(x)))|pbp(x)(a-1(b(x)))0bp(x) 6 D2|g(x)|pbp(x) ^ |f(a-1(b(x)))|pbp(x)(a-1(b(x)))06 D2 |g(x) |p^ |f(a-1(b(x)))|p(a-1(b(x)))0dp(x) 6 D2|g(x)|pdp(x). Из этого следует, что u j If (a-1(b(v)))|p(a-1(b(v)))0dp(v) dv u0 a-1(b(u)) u 6 D2 J |g(v)|pdp(v) dv, u0 u j If (x)lpcp(x) dx 6 D2 У |g(v)|pdp(v) dv, v0 u0 где vg = a 1(b(ug)) и, переходя к пределу при и ^ го, получим +^ +^ I |f (x)|pcp(x) dx 6 D2 I |g(v)|PdP(v) dv 6 D2kgkLp(d(x),(g,+^)) < +ro- v0 А для интеграла u0 Z|f(ТОdx 6 g v0 j If (x)|pdx = g 6 1 ap(vg) 1 ap(vg) /0|f(x)|PaP(vg) dx g v0 j If (x)|pap(x) dx 6 ap(vg)kfkLp(a(x),(g,+^)) < +ro g Это означает, что f (x) G Lp(c(x), (0, +ro)). Покажем теперь, что норма орбиты g(x) мажорируется нормой пространства Lp(c(x), (0, +го)), т. е. 3 C > 0 : k • kOrb(g(x)) 6 Ck • kLp(c(x),(g,+^)) • Предположим, что это не так, тогда существует последовательность {уп}П=1 элементов пространства Lp(c(x), (0, +го)) такая, что kyn kOrb(g(x)) 6 ^n kyn kLp(c(x),(g,+^)) • Обозначим ∞ f = X n=1 |yn | kyn kLp(c(x),(G,+^)) и проверим, что f является элементом орбиты ∞ kf kOrb(g(x)) 6 'V n=1 kyn kOrb(g(x)) kyn kLp(c(x),(G,+^)) ∞ 6 X- = 1. 2n n=1 При этом, kf kLp(c(x),(G,+^)) Iyn(x)|------Y cP(x) dx kynkLp(c(x),(G,+^)) / ∞ >X n=1 / G yn(x' p kyn k Lp(c(x),(G, ■ ^)) cp(x) dx = ∞ X n=1 kyn kLp(c(x),(G,+^)) kyn kLp(c(x),(G,+^)) ∞ X 1 = +ro, n=1 т. е. f не является элементом пространства Lp(c(x), (0, +го)). Что противоречит дока- занному выше. Следовательно, ^ C > 0 :k • kOrb(g(x)) 6 CII • kLp(c(x),(G,+^)) • Поэтому справедливо вложение орбиты элемента g(x) в пространство Lp(c(x), (0, +го)). Тогда, согласно [1, с. 29–31], сумма орбит Orb(g(x) : (Lp(0, +^),Lp(b(x), (0, +го))) ^ (Lp(0, +^),Lp(a(x), (0, +^)))), по всем g(x) Е Lp(d(x), (0, +^)) вложена в пространство Lp(c(x), (0, +го)). B
Список литературы Структура оптимального интерполяционного пространства в интерполяционных тройках пространств p-суммируемых функций
- Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семёенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.-М.: Наука, 1978.-400 с.
- Берг Й, Лёефстрёем Й. Интерполяционные пространства.-М.: Мир, 1980.-264 с.
- Sparr G. Interpolation of weighted L_p spaces//Studia Math.-1978.-Vol. 62.-P. 229-271.