Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях

DOI:

Пусть Q — произвольная область пространства R ⁿ = { х = (ж 1 ,ж ₂ , ...,ж _п ) } , Q С С R ⁿ , п >  2. Для анизотропных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка рассматривается задача Дирихле

п

J2 (c(x,u, V u ))^ - сЦх,и, V u) = 0, х G Q;                 (1)

г=1

и

= 0.

dQ

Предполагается, что функции a^x, sq, S1,..., sn) имеют степенной рост по переменным Si с показателями pi(x) Е (1, то), г = 0, 1,...,п. Условия на функции a^x, sq, s), г = 0, 1,...,п, будут сформулированы в § 2. В качестве простейшего примера можно привести уравнение п                                    п

Е (К |- ^{(x, - 2} u _z , ) _z . - | u |" < ^{x) - 2} u = £ ( ф ₁ (х)) , _ - ф o (x).

i=1                                         i=1

В работе [4] для изотропного эллиптического уравнения с переменными показателями нелинейностей доказано существование решения задачи Дирихле в ограниченной области. Для изотропного уравнения с постоянными степенными нелинейностями существование решения задачи Дирихле в произвольной области установлено Ф. Браудером [5], оно основано на абстрактной теореме для псевдомонотонных операторов. В настоящей работе, следуя [5], при условии p _i (x) <  p ₀ (x), г = 1,... ,п, проведено доказательство существования решения задачи (1), (2) без предположения ограниченности области Q и гладкости ее границы. Ранее Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи [2] доказано существование решений задачи (1), (2) в произвольных неограниченных областях для анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями.

1.    Предварительные сведения

Пусть Q — произвольная область пространства Rn. Обозначим с + (Q) = {p(x) Е С(Q) : 1 < p(x) < +то V х Е Q},

L ^ (Q) = { P(x) Е L ^ (Q) : 1 <  p(x) <  + то для п.в. x Е Q } .

Пусть p(x) Е L + (Q), положим p ^- = inf p(x) >  1, p ⁺ = supp(x) <  то .

^                 QQ

Очевидно неравенство Юнга:

Ы < Ыр(х) + Hp‘(x), z,y Е R, p‘(x) = p(x)/(p(x) - 1).(1)

Кроме того, ввиду выпуклости справедливо неравенство:

|y + г|p(x) < 2p+-1 (|^|p(x) + |г|р(х)), z,y Е R.(2)

Определим Лебегово пространство с переменным показателем L _P(^) (Q) как множество измеримых на Q вещественнозначных функций u(x) таких, что:

^p p ⁽ ^ ^),Q

(и) = J | u(x) | ^{p (x)} dx <  то .

Q

Норма Люксембурга в пространстве Lp(^) (Q) определяется равенством llu^p(^),Q = ^u^LP(^)(Q) = inf |fc > 0 Pp(^),Q

(u/fc) <  1|.

Ниже будут использоваться обозначения ||v||_p0,q = Н ^ Н рС ^ ) , P _p0,q (v) = P _p^) (v). Пространство L_p^(Q) является сепарабельным банаховым пространством. Если 1 < р - <  <   р + <  то , то пространство L _p( . ) (Q) рефлексивное.

Для любых и Е L_p^(Q), v Е L _P‘^ (Q) справедливо неравенство Гельдера

Г

Q

u (x) v (x) d x

< ² II^U H p (0 ,Q II^V llp‘(0,Q ,

а также имеют место следующие соотношения [1]:

l|v|i P_BQ - 1 <  PpaQ (v) <М Р_м + 1,                    (4)

( ^p p0,Q ^(v) - 1 ) /p < ll^vlk) ,Q <  ( ^p p0,Q ^{(v) +} 1 ) /p .                   ⁽⁵⁾

Обозначим ^(x) = (p1(x),p2(x), ...,pn(x)) Е (L+ (Q))n и определим для x Е Q, p—(x) = min{pi(x),p2(x), ...,pn(x)}, p+(x) = max{pi(x),p2(x), ...,pn(x)}.

Анизотропное пространство Соболева с переменными показателями H-p^^Q) определим как пополнение C “ (Q) по норме

n ink jq) = 52 ik Hp^(^),q-p(^)v

2=1

Если 1 <  p - , г = 1,2,...,n, то H p^) (Q) — рефлексивное банахово пространство [6]. Пусть

^{- 1}          A f, p(x) >n,

p⁽x) = n 22 шк , p * ⁽x) =    n ^{- p (x)}

p ^ (x) = max { p * (x),p + (x) } .

\+ то ,   p⁽x) <  n,

Приведем теорему вложения для пространства H -p^ Q’ ) [6].

Лемма 1. Пусть Q — ограниченная область и -"(x) = (p1(x),p2(x), ...,pn(x)) Е Е (С +(Q))n. Если q(x) Е С +(Q) и q(x)

то имеет место непрерывное и компактное вложение H-^)(Q) ^^ L₉(^)(Q).

Лемма 2. Пусть 1 < p(x) < то, v^m(x), т = 1,..., то, v(x) — такие функции из L_p(^) (Q), что

|vm|p(^) <С, т =1, 2,..., vm ^ v п.в. в Q, т ^ то, тогда vm ^ v слабо в Lp^(fi) при т ^ то.

Доказательство леммы 2 для ограниченной области проведено в [4], для неограниченной области оно также справедливо.

2.    Формулировка результата

Пусть ]Р(x) = (po(x),pi(x), ...,p_n(x)) G (L+(Q))ⁿ⁺¹П (C ⁺(Q))ⁿ⁺¹. Предполагается, что функции a_i(x, s₀, s), г = 0, ...,n, измеримы по x G Q для s = ( s₀, s) = = (s₀, s1,..., s_n) G Rⁿ⁺¹, непрерывны по s G Rⁿ⁺¹для почти всех x G Q. Пусть существуют положительные числа а, а и измеримые неотрицательные функции ф(x) G L1(Q), Ф_i(x) G L_p‘0(Q),z = 0,1,...,n, такие, что для п.в. x G Q и любых s = (s₀, s) G Rⁿ⁺¹ справедливы неравенства

|a(x, S0, s) | < o(|si|pi(x)-1 + |s0|po(x)/p.(x)) + Фi(x), г = 0,1,...,n;(1)

n

52(ai(x, S0, s) - Qi(x, S0, t))(si - t) > 0, s = t;(2)

i=1

nn

^ a(x, s0, s)si > a ^ |si |pi(x) - ф (x).(3)

i=0

Применяя (2), из неравенств (1) выводим оценки:

|ai(x, s0, s)|p-(x) < Я(^ + |s0|po(x)) + Ф^(x), г = 0,1,...,n,(1

с Л > 0 и функциями Ф_i(x) G L1 (Q), г = 0,1,..., n.

Через Lp‘(.)(Q) обозначим пространство Lp‘(.)(Q) x Lp‘0(Q) x ... x Lp-^)(Q) с нормой llvllp‘(•) = Hv0||p0P) + IhllplB + ... + 1Ык(Ъ v = (V0,V1,...,vri) G Lp-.<(Q).

Введем обозначение у_Ж0= v. Определим пространство Соболева с переменными показателями Wp(_) (Q) как пополнение пространства C0”(Q) по норме

n v И'1 (Q) =  '     • + ^^^я! (Q) = ^ НуЖг /'.'•.

pp(^)v i=0

Будем считать, что

P0(x)

P+(x) < P0(x), x G Q.(5)

Из неравенства (1‘), пользуясь (5), для я G W-p(^)(Q) выводим оценку nn

|a(x,M, VuOllp‘(•) = ^ |ai(x,M, Vu)|p'(.) < ^ [pp.(•)(ai(x,M, Vm)) + 1]1/p. < i=0

"1/p

< ^ [^4 (Pp.(0(“^.) + PpoC)(m)) + |фi|1 + 1]

i=0

Далее, по элементу a(x, m, Vm) G Lp‘(.)(Q) для v(x) G W "_|^l_{)P i}(Qj определим функционал A(m) равенством:

(A(m), я) = J 52 °i(x, m, Vw)vKidx.(7)

Q i=0

Используя неравенство Гельдера (3), для функций u(x),;(x) G Wpp(,)(fi) выводим неравенства:

n

^|(А(и),;)|< 2^ ||a»H/><(^)IK lk() < ^2|a(x,u,Vu)^pКЫК _(Q).        (8)

j=o

Из (8), (6) следует, что функционал А(и), определяемый равенством (7) в пространстве W-p(^)(Q), является ограниченным.

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1), (2) назовем функцию u(x) G G W-p(•) (Q), удовлетворяющую интегральному тождеству

^(А(и^),;⁾ = 0

для любой функции ;(x) G Wpp(_) (Q).

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема. Если выполнены условия (1)–(5), то существует обобщенное решение задачи (1), (2).

3.    Доказательство существования

Доказательство теоремы основано на утверждении о псевдомонотонности оператора A.

Определение 2. Оператор А : V ^ V‘ называется псевдомонотонным, если

• (i)    А — ограниченный оператор;

• (ii)    из условия и ^ и слабо в V и lim sup(A(u^j),и^ — и)< 0 следует, что для jp^

любого ; G V lim inf(A(u^j),u^j — ;) > (А(и),и — ;).                         (1)

jp^

Лемма 3. Пусть V — рефлексивное сепарабельное банахово пространство. Пусть оператор А : V >1‘ обладает следующими свойствами: оператор А псевдомоно-тонный и коэрцитивный, то есть

^(А(и),и) 1Ы1

→∞

при |и| ^ то. Тогда отображение А : V >1‘ сюръективно, то есть для всякого F G V ‘ существует такой и G V, что А (и) = F [3, гл. II, § 2, теорема 2.7].

Замечание 2. Чтобы избежать громоздкости в рассуждениях, вместо утверждения типа «из последовательности и можно выделить подпоследовательность (обозначим ее также), сходящуюся п.в. в Q при ] ^ то», будем писать просто «последовательность и^j выборочно сходится п.в. в Q при ] ^ то». Соответственно, будем использовать термин «выборочно слабо сходится» и т. п.

Утверждение 1. Пусть выполнены условия (1)–(5), тогда оператор

′

A : WP(.>(П) ^ (W-K.)(n)) , определяемый равенством (7), является псевдомонотонным.

такую, что

Доказательство. Ограниченность оператора A следует из оценок (6), (8). Рассмотрим последовательность {u³}°=₁в пространстве Wp<.>(fi)

и³ -и слабо в Wp (.)(Q),

³ ^ ^го;

lim sup(A(u³),u³ — u) jp^

< 0.

Покажем, что

′

A(u³) ^ A(u) слабо в ( W-p(^)(Q) I , 3 ^ го;

(A(u³), u³— u) ^ 0, 3 ^ го.

Очевидно, что из (5), (6) следует (1).

Прежде всего, из сходимости (3) и неравенства (4) имеем оценки:

ll^U II Wi (Q) < ^C1,   ^{3    1 2}, . . . ;

P (0

2 = 0

Кроме того, соединяя (6), (8),

п

У Pp,<.>(u^,) <C₂,  3 = 1,2,....

выводим оценку

Il^a(x,u3, W³^^‘(•)

п

= 52^|a*^(x,u3,Vu-)Hp<(^)<Cз^{,   3} =^1,2,....

2 = 0

Зафиксируем произвольное R > 0. По лемме 1 пространство W-p^(^(R + 1)) компактно вложено в L_q()(Q(R + 1)) для любой функции q(x), удовлетворяющей условию (6). Согласно условиям (4), (5), пространство Wp<.>(fi(R + 1)) компактно вложено в

пространства L_pt<.>(Q(R + 1)), г = 0,.

.

., п.

Пусть nR(^r) = min(1, max(0,R + 1 — г)). Пользуясь (2), (5), (8), выводим неравен-

ства

W (Ё l(u³пя(|х|)).. |^p‘<^x>+ |u³n«(|x|)|^p"^(x) ) dx <

Q(R+1) M=1/

< W   (Ё(|“i.| + |u³|)^p"<^x)+ |"³|^p"^(x)) dx <

Q(R+1) \2=1/

• < ^W (52 2^pt-1(Vu4_l|^P1(x)+ |u³|^Pp(x)) + |u³|^po(x)J dx <

Q(R+1) \2=1/

• <C4  W (£ |u^₁|^p•<^x)+ 1) dx =

Q(R+1) \2=0/

Следовательно, последовательность {и*пя})=1 ограничена в пространстве Vkp.(^(Q(R + + 1)). Ввиду компактности вложений

^|0(Q(R + 1)) С Lpi0(Q(R + 1)), % = 0, ...,п, имеют место выборочные сильные сходимости

и*пя ^ ипя в Lp.0(Q(R + 1)), % = 0,1,...,п, j ^ то, из которых следуют сильные сходимости

и* >и в L_p.()(Q(R)), % = 0,1,...,п, j ^ то,                (10)

а также выборочная сходимость и* ^ и почти всюду в Q(R). Диагональным процессом устанавливается сходимость

и* > и п.в. в Q, j ^ то.                            (11)

Положим

п

p*(x) = ^2 (°i(x, и*, Vu*) - a^(x, и, Vu)) (и* - и)^ + г=1

+ (a0(x, и*, Vu*) — a0(x, и, Vu)) (и* - и), j = 1,2,..., тогда

(A (и*) — А(и), и* — и) = Wp* (x)dx, j = 1, 2,....

Согласно (3), (4), имеем lim sup p* (x)dx < 0.                               (12)

*^^

Q

Запишем p* (x) в следующем виде:

п

p*(x) = ^ (°i(x, и*, Vu*) — Oj(x, и*, Vu)) (u* — u)_Xi + г=1 п

+ У2 (°»(x,u*, Vu) — a_t(x,u, Vu)) (u* — u)_Xi+ г=1

+ (a0(x, и*, Vu*) — a0(x, и, Vu)) (u* — u) = q*(x) + r*(x) + s*(x), j = 1,....(13)

Покажем, что r*(x) ^ 0 п.в. в Q, j ^ то,(14)

s*(x) ^ 0 п.в. в Q, j ^ то.(15)

Рассмотрим операторы Немыцкого Л_г(и) = a«(x, и, Vu), % = 1, 2,... ,п, при фиксированном u G Н*1р(_)(Q) для x G Q(R), R > 0. Применяя оценку (1), имеем неравенства

|at(x,u, Vu)| < а(|уЖ1 |№(x)-1 + |и|ро(х)/р-(х)) + Фг(x), % = 1,...,п, c функциями a|yXj |p-(x)-1 + Фг(x) G L1(O). Согласно [7], операторы Аг действуют из Lp0(•)(O(R)) в Lp‘(•) (O(R)), г = 1, 2,..., п, они непрерывны и ограничены в Lpo0(fi(R)) при любом R > 0.

Применяя неравенство (3), выводим

п j |г (х)^ < 2Е lk(x,u3, Vu) - аг(х,и, Vui ;Л •<>,/. U/3 - u)X1 ||р,(^),П(Л).

Q(«)                  i=1

Ввиду сходимости u³^ и в L_p0(^)(O(R)), j ^ то (см. (10)), и непрерывности операторов А_г : L_p0(^)(O(R)) ^ L_p-(^)(O(R)), г = 1,2,... ,п, первый сомножитель стремится к нулю, а второй равномерно ограничен (см. (7)). Таким образом, установлено, что для любого R > 0 г³ (х) ^ 0, j ^ то, в L1(O(R)). Отсюда диагональным процессом устанавливается сходимость (14).

Используя неравенство (3), получаем

J |s³(x)ldx< 2|ao(x,u³, Vu³) - a₀(x,u, Vu) HpOC),^) |u³- u||p_o0,Q(K).

Q(«)

Первый сомножитель равномерно ограничен (см. (9)), а второй стремится к нулю (см. (10)), поэтому для любого R> 0 s³(x) ^ 0, j ^ то, в Li(Q(R)). Отсюда диагональным процессом устанавливается сходимость (15).

Далее запишем р (x) в виде:

pi(x) = ^2at(x,u³, Vu³)u³_x. + ao(x,u³, Vu³)u³ - g³(x), j = 1, 2,...,      (16)

г=1

где

п g3(x) = 52 ai(x, u, Vu)(u3 - u)x- + ao(x,u, Vu)(u3 - u) + г=1

п

+ 52at(x, u³, Vu³)u_Xi + a₀(x, u³, Vu³)u G L1(O), j = 1,2,....

г=1

Используя неравенство (1), для е G (0,1) получаем

|g³'^(x)|< ^е

(п

ЕН/-(x)

г=0

+ ^Е |a»(x,u³, Vu³)|^p-^(x) г=0

)

+

+ Об (^е)

(п Ек. | г=0

ip-(x)

п

+ Е |a«(x,u, Vu)|^p-(x) г=0

)

Применяя (1‘), выводим неравенства

п

|д³(x)| < еС₇Е |u--|^p-(x)+ С₈(е)

г=0

(п              п\

Е |u.- |p-(x) + Е Фг(x).

г=0              г=0/

Используя (3), перепишем (16) в виде:

п р3 (x) >a Е luk|p-(x) - фИ - |g3'(x)|.

г=0

Соединяя (17), (18), выбирая е < а)С7, устанавливаем оценку п                            / п               п        \ p (x) > c, £ Vi., Iй(x) — Ф(x) — C8 £ к, |"1x1 + £ *,(x) , j = 1,...

.

2=0                            \г=0              2=0       /

Пусть p* (x) = p^j+(x) — p* (x), p*⁺(x), p* (x) — положительная и отрицательная части p* (x) соответственно. Из (19) следует оценка

П

P⁺(x) > c,£ |< ■ 2=0

-

^^(x), ^j = 1,.

.

c неотрицательной функцией Фи(x) = ф(x) + C8 (£ K,|p-(x) + £ Ф^(x)) G L1 (Q), 2=0    1

конечной п.в. в Q. Если х*(x) — характеристическая функция множества {x : р-(x) > > 0}, тогда

—p* = X* 0* + X* р* + X* S'*, причем, согласно (14), (15), xjpj(x) ^ 0, xjS(x) ^ 0 п.в. в Q при j ^ то. Ввиду (2), Xjqj(x) > 0 п.в. в Q, тогда p*- (x) ^ 0 п.в. в Q при j ^ to.

Кроме того, из (19) следует оценка

(п              п\

£К Iй (x) + £ *<(x)=

^«(x),   j = 0,1,....

2=0              2=0/

Отсюда имеем: p (x) < Фи(х), j = 1,.... Тогда, согласно теореме Лебега, p (x) ^ 0 в Li(Q), j ^ то.

Поэтому, согласно (12),

0 < lim sup p'⁺(x)dx = lim sup j^^              j ^^

Q

Q

p (x)dx + lim sup p (x)dx < 0. j^^

Q

Следовательно,

p⁺(x) ^ 0 в Li(Q), Таким образом, из (21), (22) имеем сходимость

j ^ TO.

p(x) ^ 0 в Li(Q),

j ^ to,

а также выборочную сходимость pj+(x) ^ 0, p(x) ^ 0 п.в.

в Q,  j ^ to.

Установим сходимость m.(x) ^ ^ (x) п.в. в Q, г = 1, 2,.

.

., n, j ^ то.

Обозначим через Q‘ C Q подмножество точек полной меры, для которых имеют сходимости (11), (24) и выполнены неравенства (1)–(3).

место

От противного, пусть в некоторой точке x* G Q' нет сходимости. Обозначим s0 = = и³ (x*), So = u(x*), s³= и³., (x*), Si = u_Xi (x*), г = 1, 2,... ,п.

n          *

Предположим, что последовательность ^2 |s3 |^Pi(x*), j = 1, 2,... не ограничена. То-i=0

гда из оценки (20) следует неограниченность последовательности p³+(x*), j = 1, 2,..., что противоречит (24). Отсюда следует ограниченность последовательностей {s³}°=*, г =

= 1, 2,..., п. Пусть s* = (s*, s*,..., sn) — один из частичных пределов s3 = (s*, s*,..., s3n) при j ^ то, тогда, с учетом (11), имеем s0 ^ so, s3 ^ s*, г = 1, 2, ...,п, j ^ то.

Поэтому, применяя (14), (15), (24), из (13) и непрерывности Oj(x*,s0, s) по s = (s0, s) вытекает, что n p3(x*) ^ ^ (a»(x*, s0, s*) - a»(x*,s0, s)) (s* - s») = 0, i=1

следовательно, согласно (2), s = s*. Это противоречит тому, что в точке x* нет сходимости.

Таким образом, из (11), (25) и непрерывности a»(x, s0, s) по s = (s0, s) следует, что a^x, u3, Vu3) ^ ai(x, и, Vu), г = 0,1,...,п,   п.в. в Q, j ^ то.

Кроме того, ввиду (9), последовательности {a»(x, u3, Vu3)}?=* ограничены в Lp‘(^(Q), г = 0,1,..., п. Согласно лемме 2 имеем слабые сходимости ai(x, u3, Vu3) ^ai(x, и, Vu) в Lp‘ (.)(Q), г = 0,1,...,п.            (26)

Очевидно, из (26) вытекает слабая сходимость (5).

Чтобы завершить доказательство, заметим, что из (3), (23) следует (6)

(A(u³),и³— и) = (A(u³) — A(u),и³— и) + (A(u), и³   и) > 0,  j ^ то.

Доказательство теоремы. Докажем коэрцитивность оператора A. Пользуясь (3), (4), выводим n                             n

(A(u),u) = ^ J^a»(x,u, Vu)u_Xidx > aРрНоСи^) — ||ФН* >         (27)

n

>^a^ll^u^llp*(•) ^{— a(n} + 1) ^— ||^ф|1.

i=0

^ПУ^{сть |и3}IIW1, GQ)

"p

^ то при j ^ то. Тогда для любого / > 0 найдется j₀такое,

что для всех j > j₀справедливы неравенства

n

^ ^|uG Нрг(^) > ^3(П + 1).

i=0

При каждом j > i₀найдется хотя бы одно слагаемое больше '. Пусть для определенности при фиксированном j > j₀ наибольшим является первое слагаемое ||" ||_Р0(^ > '. Соединяя (27), (28), получаем

(A(«).«> > ,М£)‘ _ С       --1 _ С ik И*.,     >   («+ 1)    («+ 1)'     2         '■

р

Отсюда, ввиду произвольности / и i, i > j₀, следует (2).

Из утверждения 1, согласно лемме 3, следует существование функции " G V-p^(fi) такой, что A(") = O. Таким образом, для любого v G Vp^(О) справедливо тожде- ство (9).