Существование слабо периодических мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три

Каждой мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы. Если существует более одной меры Гиббса, то говорят, что существует фазовый переход. Основная проблема для данного Гамильтониана — описание всех отвечающих ему предельных мер Гиббса. Эти меры, в основном, были трансляционно-инвариантными, либо периодическими с периодом два. Более того, для многих моделей на дереве Кэли доказано, что множество периодических мер Гиббса очень бедно, т. е. существуют периодические гиббсовские меры с периодом два. В работах [1–4] для модели Изинга описаны трансляционно-инвариантные меры Гиббса на дереве Кэли. Описанию периодических гиббсовских мер для некоторых моделей с конечным числом радиуса взаимодействия посвящены работы [5–11].

Чтобы получить более широкое множество гиббсовских мер, в работах [12–15] введены более общие понятия периодической меры Гиббса, т. е. слабо периодические гиббсовские меры, и доказано существование таких мер для модели Изинга на дереве Кэли

порядка к ^ 4. В работах [1, 15, 16] изучены континуальные множества непериодических мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли.

В работе [11] для модели Изинга на дереве Кэли порядка к ^ 2 найдены новые классы гиббсовских мер, подобных слабо периодическим. В работах [17] и [18] доказано, что на дереве Кэли порядка к ^ 2 относительно нормального делителя индекса два не существуют слабо периодические меры Гиббса. В работе [19] изучены слабо периодические меры Гиббса для модели Изинга с внешним полем. А в работах [20] и [21] изучены слабо периодические меры Гиббса для модели Поттса.

В данной статье изучаются слабо периодические меры Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка три относительно нормального делителя индекса четыре.

Структура работы: в § 2 даются необходимые определения и постановка задачи, § 3 посвящен изучению существования слабо периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка три.

• 2.    Определения и постановка задачи

Пусть т ^k = (V, L), к ^ 1, —дерево Кэли порядка к, т. е. бесконечное дерево, из каждой вершины которого выходит ровно к + 1 ребро, где V — множество вершин, L — множество ребер т ^k . Известно, что т ^k можно представить как G k — свободное произведение к + 1 циклических групп второго порядка.

Пусть Ф = {- 1,1 } и ст G Q = Ф ^V — конфигурация, т. е. ст = { ст(х) € Ф : х G V } .

Рассмотрим гамильтониан модели Изинга

H^(ст) = —J ^ ^{ст ( х ) ст (} у ⁾ ,                                ⁽¹⁾

(x,y)eL где J G R, (х, у) — ближайшие соседи.

Известно, что каждой мере Гиббса модели Изинга соответствует совокупность величин h = {hx,x G Gk}, удовлетворяющих hx = £ f(hy,9)                              (2)

yeS ( x )

где S (x) — множество прямых потомков, точки х G V и f (х, 9) = arcth(9thx), 9 = th(Je), в = 1/T, T >  0 — температура (см. [1-4]).

Пусть G k /G k = { H i ,..., H r } — фактор группа, где G k — нормальный делитель индекса r ^ 1. Для х G G k обозначим через х ^ = {у G G k : ( x,y )}\ S(х).

Определение 1. Совокупность величин h = {h _x ,x G G k } называется G k -периодической (G k -слабо периодической ), если h x = h i , при х G H i (h x = h ij , при х G H i , х ^ G H j ), V х G G k . G k -периодическая мера называется трансляционно-инвариантной мерой.

Определение 2. Говорят, что мера ^ является G k -(слабо) периодической, если она соответствует G _k -(слабо) периодической совокупности величин h .

В работах [17] и [18] доказано, что на дереве Кэли порядка к ^ 2 относительно нормального делителя индекса два не существуют слабо периодические меры Гиббса. А в работе [11] для модели Изинга на дереве Кэли порядка к ^ 2 найдены новые классы гиббсовских мер, подобных слабо периодическим. В работе [22] доказано, что в группе G _k не существует нормального делителя нечетного (отличного от единицы) индекса. В работе [23] доказано существование слабо периодических мер Гиббса для модели Изинга на дереве Кэли порядка к = 2 относительно нормального делителя индекса 4. Поэтому естественно рассмотреть задачу существования слабо периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка три относительно нормального делителя индекса четыре.

Целью работы является описание множества слабо периодических гиббсовских мер для модели Изинга на дереве Кэли порядка три относительно нормального делителя индекса четыре.

• 3.    Слабо периодические меры

Отметим, что слабо периодические меры Гиббса зависят от выбора нормального делителя.

Пусть A С {1, 2, ...,k + 1} и Ha = {x e Gk : IfieA Wx(ai) - четно}, где Wx(ai) — число буквы ai в слове x e Gk, G^ = {x e Gk : |x| — четно} и G^4) = HA П G^ — соответствующий ему нормальный делитель индекса 4.

Замечание 1. Среди всех нормальных делителей индекса 4 выбранный нами нормальный делитель G ⁽ _k ⁴⁾ удобен тем, что в этом случае из системы (2) мы получаем систему уравнений с 8 неизвестными, при этом для произвольного нормального делителя индекса 4 число неизвестных может достигать 16.

Рассмотрим фактор группу G k /G^ 4 = { H o , H i , H 2 , H 3 } , где

Ho = {x e G k : 52_ieA w _x (a i ) — четно, | x | — четно},

H i = {x e G k : ^_{i e}A W x (a i ) — нечетно, | x | — четно},

H ₂ = {x e G k : 52_{i e} A w x (a i ) — четно, | x | — нечетно},

H 3 = {x e G k : ^2_{i e}A w x (a i ) — нечетно, | x | — нечетно}.

Тогда в силу (2) G ⁽ _k ⁴⁾ -слабо периодическая совокупность h имеет вид

h1, x ∈ H3, x↓ ∈ H1, h2, x ∈ H1, x↓ ∈ H3, h3, x ∈ H3, x↓ ∈ H0, hx = h4, x ∈ H0, x↓ ∈ H3,                             (3) h5, x ∈ H1, x↓ ∈ H2, h6, x ∈ H2, x↓ ∈ H1, h7, x ∈ H2, x↓ ∈ H0, ^h8, x ∈ H0, x↓ ∈ H2, где hj, j = 1, 8, удовлетворяет системе уравнений: hi = (k - i)f (h2,9) + if (Н4А h2 = (k — i)f (hi,9) + if (h6,9), h3 = (k — i + 1)f (h2, 9) + (i — 1)f (h4, 9), h4 = (k - i + 1)f (h7, 9) + (i - 1)f (h3, 9), (4) h5 = (k — i + 1)f (h1,9) + (i — 1)f (h6, 9), h6 = (k — i + 1)f (h8, 9) + (i — 1)f (h5, 9), h7 = (k — i)f (h8,9)+ if (h5,9), h-8 = (k — i)f (h7,9)+ if (h3,9), здесь i = |A| — мощность множества A.

Пользуясь тем, что f (h,6) = arcth(^thh) = 2 ln (1 — )e 2_h +(1+ ^, и обозначив a = 1 — , z i = e^{2 hi} , где i = 1,4, из (4) получим следующую систему уравнений:

• ^z i = ⁽^⁽z 2 ^{)) k} i M^z 4 )) i .

z 2 = ⁽^⁽z i ^{)) k-}i M^z 6 )) i .

Z 3 = (^(Z 2 )) ^k-i+1 (_V(Z 4 )) i^-1 , _< Z4 = (^ 7 )) k -^{i +1} (^ 3 )) i^- 1 , * Z 5 = (^(Z 1 )) ^k-i+1 (^(Z 6 )) i^-1 ,

Z 6 = (^(Z 8 )) ^k-i+1 (_V(Z 5 )) i^-1 , ^z 7 = ⁽^^(z 8 ^{)) k-i (}^⁽z 5 )) i . /8 = ⁽^^(z 7 ^{)) k-i (}^⁽z 3 )) i .

где ^^(z) = azz +r •

Запишем систему уравнений (5) в виде

'zi=("(z2))k (^(12) )'- z2=

Z4 =₍,₍z₇))k ⁽^3>)‘^-1,

V ^^(Z7)A ,                                (6)

z5-^1 ))k (^a r_;

^z6 = (^(z₈^))k(^z8y)i .

^Z7      '     ^))k              ’’

Z_S= (^(Z7))^k(^(z³)V y^(z7⁾V

Разделив в этой системе уравнений первое уравнение на третье, второе на пятое, шестое на седьмое, четвертое на восьмое, получим следующую систему уравнений:

' Zi= ^(Z4) Z3    V(Z2 ) ’

Z2= V(Z6) _< ^z5     ^^(z1) ’

Z6= V(Z8) Z7    ^(Z5 ) ’

Z4= y(z7) _ Z8     ^(Z3) ‘

Используя эти соотношения, систему (6) можно записать так:
	zi = (^(z2))k(z3) ,
	z2= (v(zl))k(15),
	z3 = (^(z2))k(z3)    ,
	z4 = (^(z7))k (z8)    , z4 i-1                                      (7) z5= Mzi))k (2) ,
	z6 = (^(z8))k(z-6^    ,
	z7=      ■))k(z7) ■
	,z8= ■    ))k(z;) •

Из первого уравнения системы (7) найдем z3 , из второго — z5 , из седьмого — z6 , из восьмого z4 и, подставив их в восьмое, седьмое, второе и первое уравнения системы (5) соответственно, получим zl = (^(z8i (^(z7 )) k )) (^(z2 ))k-i, z2 = (^(z7i (^(z8 )) ki )) (^(z1 ))k—i, z7 = (^(z2 i (^(z1))k)) (^(z8))k—i, /8 = (z(z i (^(z2 )) k )) (^(z7 ))k—i.

Рассмотрим отображение W : R4 ^ R4, определенное следующим образом:

zl = (^(^z8 i ⁽^^(z7 )) k )) ⁽^^(z2 ^))k—i, ^z2 = (^(^z7 i ⁽^^(z8))k)) ⁽^^(z1 ^))k—i, ^z7 = (^(^z2 i ⁽^^(z1)) k )) ⁽^^(z8 ^))k—i, /8 = ((l(^z1 i ⁽^^(z2 )) k )) ⁽^^(z7 ^))k—i •

Легко доказать следующую лемму.

Лемма 1. Отображение W имеет следующие инвариантные множества:

I1 = {z G R4 : Z1 = Z2 = Z7 = Z8},   I2 = {z € R4 : zi = Z7; Z2 = Z8},

I3 = {z G R4 : Z1 = Z2; Z7 = Z8},   I4 = {z G R⁴: zi = Z8; Z2 = Z7}.

Замечание 2. Из определений 1 и 2 следует, что в случае I2 (или Ij, j = 3,4) слабо периодическая совокупность величин не совпадает с периодической, если хотя бы одно из равенств zi = Z3, Z2 = Z5, Z4 = Z8, Z6 = Z7 не выполняется.

Лемма 2. Если на инвариантных множествах Ij, j = 2, 3,4, существуют слабо периодические меры Гиббса, то они являются либо трансляционно-инвариантными, либо слабо периодическими (не периодическими).

Рассмотрим инвариантное множество I3. Пусть zi = Z2; Z7 = z§- Из (5) имеем Z4 = Z6; Z3 = Z5. Если zi = Z3, тогда имеем Z2 = Z5. Из равенства Z2 = Z5 и из второго и пятого уравнений системы (5) получим zi = z6 . Из равенства zi = z3 и из первого и третьего уравнений системы (5) получим Z2 = Z4. Следовательно, zi = Z2 = Z3 = Z4 = z5 = z6 = z7 = z8, т. е. соответствующие меры Гиббса являются трансляционноинвариантными. Если zi = z3, то ясно, что соответствующие меры Гиббса являются слабо периодическими. В остальных случаях Ij, j = 2,4, лемма доказывается аналогичным образом.

Теорема 1. Для модели Изинга все G⁽_k⁴⁾-слабо периодические меры Гиббса, соответствующие совокупности величин из I1 , являются трансляционно-инвариантными.

⊳ Доказательство очевидно. ⊲

αc

Теорема 2. Пусть i = 1. При k = 3 существуют критические значения acr = 2,

V 3^46-2-^402-12^46

(~ 0.33) такие, что для модели Изинга:

• a)    при a Е (0, ac) U (acr,a_c¹) существуют не менее трех G^⁴

-слабо периодических

мер Гиббса;

• b)    при a Е [ac, a_cr] U {acr¹} существует не менее одной G^⁴-слабо периодической меры Гиббса;

• c)    при a Е (acr¹, +то) существуют не менее пяти G^¹-слабо периодических мер Гибб-

са.

<1 Пусть k = 3, i = 1, a_cr= 2, ac =   3V46² V^{402 12}v^/46 (^ 0.33). Учитывая, что

^(z) = az+1 на I2, из системы уравнений (8) получим

f ^z1 = Н^^(z1)) ^2⁽z2⁾, (z2 = ^(^3^(z2)) ^²(z1).

Отметим, что a > 0. Введем обозначение x = aZ+1, У = следующую систему уравнений:

fx²= ^(y),

(У²= ^(x),

_α^z_z²₂⁺₊₁. Тогда из (10) получим

где ^(x) = (jx—OX) (^<Хз3+¹). Очевидно, что при a, удовлетворяющей ^(x) < 0 или ^(y) < 0, система уравнений (11) не имеет решения.

Чтобы найти слабо периодическую меру Гиббса, не являющуюся трансляционно-инвариантной, надо найти корни уравнения

x²- ^(V^(x)) = 0,

отличающиеся от корней уравнения

x²— ^(x) = 0.

Легко видеть, что уравнения (12) и (13) соответственно равносильны следующим уравнениям:

[x + 1] [x²+ 1] [ax²— x + a] [x²— ax + 1] [(a²+ 1)x⁴+ 2ax³+ 2ax + a²+ 1] x [(a²+ 1)x⁴— 6ax³ + 4(a²+ 1)x²— 6ax + a²+ 1] [a⁴x²⁰— (a⁵+ a³)x¹⁹+ 3a⁴x¹⁸ + 3(a⁵+ a³)x¹⁷— (4a⁶— 5a⁴+ 4a²)x¹⁶— 12(a⁵+ a³)x¹⁵+ (16a⁶+ 52a⁴+ 16a²)x¹⁴ — (8a⁷+ 44a⁵+ 44a³+ 8a)x¹³+ (8a⁶+ 2a⁴+ 8a²)x¹²+ (8a⁷+ 54a⁵+ 54a³+ 8a)x11 (14) — (4a⁸+40a⁶+ 118a⁴+40a²+4)x¹⁰+ (8a⁷+54a⁵+54a³+8a)x⁹+ (8a⁶+2a⁴+8a²)x⁸

• —    (8a⁷+ 44a⁵+ 44a³+ 8a)x⁷+ (16a⁶+ 52a⁴+ 16a²)x⁶— 12(a⁵+ a³)x⁵

• —    (4a⁶— 5a⁴+ 4a²)x⁴+ 3(a⁵+ a³)x³+ 3a⁴x²— (a⁵+ a³)x + a⁴] = 0,

(x — 1)(x + 1)(x + 1)(ax — x + a) — 0.

Из вышесказанного, для слабо периодических мер Гиббса, не являющихся трансляционно-инвариантными, получим следующее уравнение:

[x — ax + 1] [(a + 1)x + 2ax + 2ax + a + 1]

x [(a²+ 1)x⁴— 6ax³+ 4(a²+ 1)x²— 6ax + a²+ 1] [a⁴x²⁰— (a⁵+ a³)x¹⁹

+ 3a⁴x¹⁸+ 3(a⁵+ a³)x¹⁷— (4a⁶— 5a⁴+ 4a²)x¹⁶— 12(a⁵+ a³)x¹⁵

+ (16a⁶+ 52a⁴+ 16a²)x¹⁴— (8a⁷+ 44a⁵+ 44a³+ 8a)x¹³+ (8a⁶+ 2a⁴+ 8a²)x¹²

+ (8a⁷+ 54a⁵+ 54a³+ 8a)x11 — (4a⁸+ 40a⁶+ 118a⁴+ 40a²+ 4)x¹⁰

+ (8a⁷+ 54a⁵+ 54a³+ 8a)x⁹+ (8a⁶+ 2a⁴+ 8a²)x⁸— (8a⁷+ 44a⁵+ 44a³+ 8a)x⁷ + (16a⁶+ 52a⁴+ 16a²)x⁶— 12(a⁵+ a³)x⁵— (4a⁶— 5a⁴+ 4a²)x⁴ + 3(a⁵ + a³ )x³ + 3a⁴x² — (a⁵ + a³ )x + a⁴] — 0.

Далее, рассмотрим выражение в первой скобке левой части (16). Оно равно нулю тогда и только тогда, когда

a ± Va²— 4

xi,2 = ------о------

Легко проверить, что xi,2 > 0 при a > 2 — acr.

Вторую скобку в (16) перепишем в следующем виде: (a²+ 1)x⁴+2ax³+2ax+a²+ 1 — 0.

Очевидно, что последнее уравнение при a > 0 не имеет положительных корней.

Теперь рассмотрим выражение в третьей скобке и будем искать все положительные корни уравнения 4-го порядка:

(a²+ 1)x⁴— 6ax³+ 4(a²+ 1)x²— 6ax + a²+ 1 = 0.              (18)

Уравнение (18) — симметричное уравнение. Для решения уравнения такого типа воспользуемся следующей заменой переменных:

x +— — t, x и из уравнения (18) получим квадратное уравнение вида t2 — , 6 . . t + 2 — 0.

(a + 1)

Заметим, что a + 01 ^ 2, так как a > 0.

Пусть а + О- =2, тогда уравнение (20) имеет решения ti =2, t2 = 1. Из x > 0 и (19) имеем t ^ 2. При t = 2 получим x = 1. Заметим, что решению x = 1, а = 1 соответствует трансляционно-инвариантная мера Гиббса.

Пусть а + О- > 2, тогда из (20) получим t² — lt + 2 = 0, где l < 3.

Легко проверить, что последнее квадратное уравнение имеет решения, которые меньше 2 (если они существуют). Но из (19) имеем t ^ 2. Следовательно, при а + а > 2 уравнение (18) не имеет положительного решения.

Выражение в четвертой скобке есть многочлен 20-го порядка и тоже симметрично относительно коэффициентов:

а⁴x²⁰— (а⁵+ а³)x¹⁹+ 3а⁴x¹⁸+ 3(а⁵+ а³)x¹⁷— (4а⁶— 5а⁴+ 4а²)x¹⁶

• — 12(а⁵+ а³)x¹⁵+ (16а⁶+ 52а⁴+ 16а²)x¹⁴— (8а⁷+ 44а⁵+ 44а³+ 8а)x¹³ +(8а⁶+2а⁴+8а²)x¹²+ (8а⁷+54а⁵+54а³+8а)x¹¹— (4а⁸+40а⁶+ 118а⁴+40а²+4)x¹⁰ + (8а⁷+ 54а⁵+ 54а³+ 8а)x⁹+ (8а⁶+ 2а⁴+ 8а²)x⁸— (8а⁷+ 44а⁵+ 44а³+ 8а)x⁷ + (16а⁶+ 52а⁴+ 16а²)x⁶— 12(а⁵+ а³)x⁵— (4а⁶— 5а⁴+ 4а²)x⁴

+ 3(а5 + а3 )x3 + 3а4x2 — (а5 + а3 )x + а4 = 0.

Воспользуемся следующей заменой переменных:

x ■ 1   £.                                           (22)

x

После замены переменных из уравнения (21) получим следующее уравнение 10-го порядка:

а⁴е¹⁰— (а⁵+ а³)£⁹— 7а⁴£⁸+ (12а⁵+ 12а³)£⁷— (4а⁶— 22а⁴+ 4а²)£⁶— (60а⁵+ 60а³)£⁵ + (40а⁶+ 32а⁴+ 40а²)£⁴— (8а⁷— 88а⁵— 88а³+ 8а)£³— (92а⁶+ 184а⁴+ 92а²)£² + (32а⁷+ 96а⁵+ 96а³+ 32а)£ — (4а⁸+ 24а⁶+ 14а⁴+ 24а²+ 4) = 0.

Введем обозначение:

д(е, а) = а⁴е¹⁰— (а⁵+ а³)£⁹— 7а⁴£8 + (12а⁵+ 12а³)£⁷

— (4а⁶— 22а⁴+ 4а²)£⁶— (60а⁵+ 60а³)£⁵+ (40а⁶+ 32а⁴+ 40а²)£⁴

— (8а⁷— 88а⁵— 88а³+ 8а)£³— (92а⁶+ 184а⁴+ 92а²)£²

+ (32а⁷+ 96а⁵+ 96а³+ 32а)£ — (4а⁸+ 24а⁶+ 14а⁴+ 24а²+ 4).

Легко проверить, что g(2, а) < 0 при а G E = (0, а_с) U (а^-1, +то).

Действительно, предположим д(2,а) = —4а⁸— 8а⁶+ 402а⁴— 8а²— 4 < 0.

получим

Отсюда

⁴(^а4⁺ а)⁺⁸(^а2⁺ а)^{— 402} > 0

Введем обозначение: а²+ а^ = t, а⁴+ а^ = t²— 2. Тогда (24) имеет следующий вид:

2t²+ 4t — 205 > 0.

Решив (25) и учытивая а²+ а⁴? = t, получим, что E = (0, а_с) U (а^-1, +то), т. е. при а G E выполняется g(2, а) < 0.

Так как lim^^+^ g(£, а) = +то, то отсюда получим, что уравнение (23) при а G E имеет хотя бы одно решение, которое больше 2. Из (22) получим, что уравнение (21) при а G E имеет два положительных решения.

Заключение: система уравнений (10) при 0 < a ^ ac имеет не менее трех положительных решений вида (1,1), (z31), z41)), (z^²), z42)); при ac ^ a ^ 2 имеет одно положительное решение (1,1); при 2 < a < а^-1имеет не менее трех положительных решений вида (1,1), ( (1) (1)х ( (2) (2)х -1

z1 , z2 ), (z1 , z2 ); при a > ac¹имеет не менее пяти положительных решений вида ^(1, 1), ti¹),^)), (^z(2), ^z2²), С^),^¹), (^z3^2),z4²⁾)• >

Замечание 3. 1) В теореме 2 одна из Gk⁴⁾-слабо периодических мер является трансляционно-инвариантной. Все остальные меры являются G^-слабо периодическими (не трансляционно-инвариантными).

• 2)    Заметим, что в доказательстве теоремы 2 рассматриваются решения системы уравнений (8) на инвариантном множестве I2, на других инвариантных множествах задача решения соответствующих систем уравнений пока остается открытой, так как в этих случаях анализ систем уравнений трудный.

• 3)    Заметим, что слабо периодическая мера Гиббса зависит от выбора нормального делителя группы Gk. В случае |A| = к + 1 соответствующий нормальный делитель Gk4) совпадает с G^, что и есть нормальный делитель индекса два, а в этом случае слабо периодическая мера Гиббса совпадает с периодической, которая была изучена в работе [5].