Свойства характеристик колеблемости Сергеева периодического уравнения второго порядка
Автор: Сташ Айдамир Хазретович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.23, 2021 года.
Бесплатный доступ
В данной работе изучаются свойства характеристик колеблемости Сергеева решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с непрерывными периодическими коэффициентами. Известно, что верхние (слабые и сильные) показатели колеблемости нулей, корней, гиперкорней, строгих и нестрогих смен знаков совпадают с верхними частотами Сергеева нулей, корней и строгих смен знаков. Аналогичное свойство имеет место и для всех перечисленных нижних характеристик колеблемости Сергеева. Однако верхние характеристики решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с ограниченными коэффициентами не всегда совпадают с нижними. В настоящей работе установлено равенство между всеми характеристиками колеблемости Сергеева на множестве решений уравнения Хилла. Более того, найдена эффективная формула, позволяющая их находить и проводить исследование на устойчивость уравнения Хилла. Кроме того, получена формула, связывающая мультипликаторы уравнения Хилла с нецелой частотой Сергеева. Найдены необходимые и достаточные условия устойчивости частоты уравнения Хилла. При доказательстве результатов настоящей работы осуществлялся переход от декартовых координат к полярным, благодаря чему для полярного угла получаем уравнение, которое можно трактовать как уравнение на торе. В качестве вспомогательного результата установлено равенство между числом вращения и частотой уравнения Хилла.
Уравнение хилла, дифференциальное уравнение на торе, колеблемость, число нулей, показатель колеблемости, число вращения, частота сергеева, мультипликатор
Короткий адрес: https://sciup.org/143175705
IDR: 143175705 | УДК: 517.955.8 | DOI: 10.46698/n2399-6862-7231-a
Properties of Sergeev oscilation characteristics of periodic second-order equation
In this paper, we study the properties of the Sergeev oscillation characteristics of solutions of linear homogeneous second-order differential equations with continuous periodic coefficients. It is known that the upper (weak and strong) oscillation of zeros, roots, hyperroots, strict and non-strict sign changes coincide with the upper Sergeyev frequencies of zeros, roots, and strict sign changes. A similar property holds for all of the listed lower characteristics of Sergeev's oscillation. However, the upper characteristics of solutions of linear homogeneous second-order differential equations with bounded coefficients do not always coincide with the lower ones. In the present paper, equality is established between all characteristics of Sergeev's oscillation on the set of solutions of the Hill equation. Moreover, we have found an effective formula that allows us to find them and conduct studies on the stability of the Hill equation. Besides, a formula connecting Hill equation multipliers with non-integer Sergeyev's frequencies is obtained. Necessary and sufficient conditions of the stability of frequency of the Hill's equation are derived. In proving the results, the transition from Cartesian coordinates to polar coordinates was carried out, so that for the polar angle we obtain an equation that can be interpreted as an equation on the torus. As an auxiliary result, equality was established between the rotation number and the frequency of the Hill equation.
Список литературы Свойства характеристик колеблемости Сергеева периодического уравнения второго порядка
- Сергеев И. Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Диф. уравнения._ 2004._Т. 40._№ 11._С. 1573.
- Сергеев И. Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. сем. им. И. Г. Петровского._М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006._Вып. 25._С. 249–294.
- Сергеев И. Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка // Тр. сем. им. И. Г. Петровского._М.: Изд-во Моск. ун-та, 2013._Вып. 29._С. 414–442.
- Сергеев И. Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат. сб._2013._Т. 204, № 1._C. 119–138. DOI: 10.4213/sm7928.
- Барабанов Е. А., Войделевич А. С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. I // Диф. уравнения._2016._Т. 52, № 10._С. 1302–1320. DOI: 10.1134/S0374064116100034.
- Быков В. В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных уравнений // Диф. уравнения._2016._Т. 52, № 4._С. 419–425. DOI: 10.1134/S0374064116040026.
- Сергеев И. Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Диф. уравнения._ 2008._Т. 44, № 11._С. 1577.
- Сергеев И. Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика._2011._№ 6._С. 21–26.
- Сергеев И. Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. мат._2012._Т. 76, № 1._P. 149–172. DOI: 10.4213/im5035.
- Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний._Москва: Наука, 1964._367 с.
- Сташ А. Х. Свойства показателей колеблемости и частот Сергеева уравнения Хилла // Диф. уравнения._2020._Т. 56, № 6._С. 837–838.
- Сергеев И. Н. Определение характеристик вращаемости решений дифференциальных систем и уравнений // Диф. уравнения._2013._Т. 49, № 11._С. 1501–1503.
- Жукова А. А. Число вращения как полная характеристика устойчивости уравнения Хилла // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер._2009._№ 2 (68)._С. 26–32.
- Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения._М.: Мир, 1970.
