Свойства и описание множеств решений линейных функциональных уравнений на простой гладкой кривой

В работах [1, 2] изучались свойства решений сингулярных интегральных уравнений с двумя логарифмическими особенностями. Ядрами таких уравнений являются интегралы типа Коши с переменными верхним и нижним пределами. Эти пределы находятся в заданной функциональной зависимости (обозначим ее a ). Такие уравнения связаны с теорией краевых задач и сингулярных интегральных уравнений со сдвигом [3–5]. Схема решения таких уравнений на одном из шагов заключается в решении (и, следовательно, в исследовании) линейных функциональных уравнений (ЛФУ)

( F g ( У ) ) ( t ) - V ( a ( t ) ) — g ( t "> ( t ) = h ( t ) ,                           (1)

заданных на гладких кривых Г = [ ab ] комплексной плоскости. Наибольший интерес с точки зрения [1, 2] представляют вопросы инвариантности оператора, обратного к ( F_g ( щ ) ) , относительно гельдеровских и лебеговских классов функций, а также классов первообразных от функций указанных классов. При этом важно понять, как меняются параметры, характеризующие эти классы, при переходе от правой части уравнения к его решению.

Имеется большое количество публикаций, связанных с уравнением (1) и его обобщениями. В них изучались вопросы существования решений, условий единственности, описания общих решений в основном в классах непрерывных функций [6–13]. В работах [11–13] рассматривались ЛФУ с функциями сдвига a , порождающими конечную группу относительно суперпозиции. Такие ЛФУ появляются при математическом моделировании методов защиты человека и окружающей среды при процессах переноса заряженных частиц и ионизированных излучений. Ряд работ посвящен функциональному уравнению со сдвигом на числовой прямой (уравнению Коши) и его обобщениям [14–18] в основном в классах непрерывных функций. В гельдеровских, лебеговских классах функций, а также в классах, первообразных от них, исследования проводились в работах [19–21]. В этих работах установлено, что существование, единственность, размерность пространства решений в случае отсутствия единственности зависят от значений коэффициента g ( t ) уравнения (1) в неподвижных точках, как правило, от знаков величин I g ⁽ a )| ^{- 1} ’ g ⁽ b ) ^{- 1} •

Математика

Естественной областью определения функций из (1) (областью задания уравнения (1)) является кривая, содержащая один из концов и не содержащая другой: [ a ; b ) или ( a ; b ] . Тогда можно построить решение (или бесконечный класс решений) с непрерывным продолжением на этот конец. Непрерывное продолжение на другой конец не всегда возможно. В работе исследуются свойства решений уравнения (1), заданных на кривой, содержащей оба конца, что требуется с точки зрения приложений. Цель статьи - дать полное описание множеств решений на [ a ; b ] , исчерпывающе сформулировать критерии существования и единственности решений таких уравнений в классах непрерывных, гельдеровских и первообразных от лебеговских функций A с коэффициентом и правой частью из таких же классов в зависимости от значений коэффициента уравнения на концах кривой.

С точки зрения приложений к сингулярным интегральным уравнениям [2, 19] специальный интерес представляют решения уравнения (1) такие, что V ( b ) = 0 (и тогда должно выполняться условие h ( b ) = 0). Действительно, в сингулярных интегральных уравнениях с двумя подвижными логарифмическими особенностями в ядре уравнению (1) удовлетворяет функция

b

V ( t ) = / ф ( ^г ) d ^T ,

t где ф - искомая функция. В работе рассмотрен этот случай. Заметим, что рассмотрение этого случая не сужает общей ситуации, так как общий случай легко сводится к данному заменой искомой функции по формуле v(t) = V(t) — V(b).

Тогда (1) приобретает вид:

^v ( а ( t ) ) = g ( t ) ^v ( t ) + h ( t ) , ⁽²⁾ где h₁ ( t ) = g ( t^ ( b ) + h ( b ) , причем решение уравнения (2) удовлетворяет, в силу сделанной замены, условию v ( b ) = 0 , и h₁ ( b ) = 0 . Ясно, что функции v ( t ) = v ( t ) - v ( b ) и v ( t ) = v ( t ) — V ( b ) одновременно принадлежат рассмотренным ниже классам функций, поэтому все результаты, относящиеся к уравнениям (1) с условием h ( b ) = 0 , выполняются и в общем случае.

Обозначения и вспомогательные утверждения

Пусть Г = [ а ; b ] - гладкая разомкнутая кривая на комплексной плоскости. Класс непрерывных на Г комплексных комплекснозначных функций обозначим C ^Г или просто C . Класс функций ф с условием Гельдера на Г :

I ф ( t 1 ) - ф ( 1 2 )| < K\t 1 - 1 2| ^А ,   t 1 , 1 2 еГ , 0 <  ц <  1.

Обозначим Н Ц , ( K ) , или чаще более коротко Н _ц ( K ) или H _ц ; положим H Ц^ Q Н ^ .

0

Очевидно, Нц с Нц. Класс функций, абсолютно интегрируемых на Г со степенью p , обозначим Lp , или Lp . Класс первообразных от Lp обозначим Ap ; положим AГр = Q Aq , p > 1. Оче-1< q < p видно, Ap с Ap.

В качестве функции «сдвига» а = а ( t ) , t еГ , в ЛФУ (1) примем отображение кривой Г на себя, удовлетворяющее свойствам:

• 1)    а - непрерывная биекция кривой Г на себя с сохранением ориентации;

• 2)    на Г точки а и b , и только они являются неподвижными относительно биекции а ;

• 3)    V t еГ З а '( t ) ^ 0 с условием а ' е Н ₆ на Г , У е ( 0;1 ] ;

• 4)    | а '( а )|^ 1, | а '( b )| ^ 1.

Целочисленные нижние индексы у а понимаем в смысле: а ₀ ( t ) = t , а1 ( t ) = а ( t ) , a n ( t ) = a ( a_n - 1 ( t ) ) , а _ _х ( t ) - обратно к а, а - n ( t ) = а _ 1 ( а - n _{+ 1} ( t ) ) , n = 1, да . Заметим: а ( ^а - n ( t ) ) = ^а - n ( ^а п ( t ) ) = t •

Если V t е ( а ; b ) а ( t ) е ( а ; t ) , точку a назовем притягивающей неподвижной точкой (п. н. т.). Если же а ( t ) е ( t ; b ) , то точку b назовем отталкивающей неподвижной точкой (о. н. т.). Всегда либо точка а - п. н. т., а точка b - о. н. т., либо наоборот, а - о. н. т., а точка b - п. н. т.

Не ограничивая общности результатов работы, всюду полагаем, что а - п. н. т., а b - о. н. т. Тогда условие 4 приобретает вид:

4*. | а ' ( а )| <  1, | а '( b )| >  1 .

Введем обозначения.

Для V c е ( а ; b ) положим I n ( c ) = [ а „ ( c ) ;а_n - 1 ( c ) ] , n = 1, да . Пусть

_(Л_-⁸ (а- ⁽ t ) )                     _и ^{g а 1} t ) )       iA_^   g ( ь )

G n ⁽ t )   ^П ( x  , GO ⁽ t )^{_ 1 G} да ⁽ t )   ^П / x   , ^G - n ⁽ t ) ^П z z xV n ^{1 да} •   ⁽³⁾

j = ⁰    g ( а )                             - = ⁰    g ( а )                 - = 1 g ( а - j ( t ) )

Из любого утверждения, относящегося к о. н. т., автоматически выводится аналогичное утверждение для п. н. т., и наоборот. Другими словами, имеются пары двойственных утверждений, получаемых друг из друга перестановкой букв а и b и заменой неравенств с участием этих букв на противоположные.

Основные результаты

Сформулируем результаты, относящиеся к вопросам существования, количества и свойств решений ЛФУ (1), определенного на кривой Г = [ а ; b ] . Большая часть сформулированных ниже теорем следует из результатов работ [19–21], доказанных в основном для кривых, не содержащих одну из концевых точек. В окрестности этой точки решение, как и функции g ( t ) и h ( t ) , может не иметь непрерывного продолжения. Рассмотрение уравнения (1) на кривой, содержащей оба конца, может принципиально изменить результаты.

Заметим, что если | g ( b )| >  1, то ЛФУ (1) имеет континуум линейно независимых решений в классе C ^{( а ; b ]} (следует из [20], теорема 2), или двойственное утверждение, если | g ( а )| <  1, то ЛФУ (1) имеет континуум линейно независимых решений в классе C ^{[ а ; b} ) ( следует из [21], теорема 1).

Если | g ( а )| >  1 (кроме случая g ( а ) = 1), то уравнение (1) имеет единственное решение в классе C ^{[ а ; b} ) (следует из [19], теоремы 2 и 4). Двойственное утверждение имеет вид: если |g ( b )| <  1 (кроме случая g ( b ) = 1), то уравнение (1) имеет единственное решение в классе C ^{( а ; b ]} •

Переход к Г = [ а ; b ] от [ а ; b ) или ( а ; b ] существенно усложняет ситуацию, особенно с точки зрения свойств решений. В этом случае решений может не быть вообще (см. теорему 5 ниже). Приведем формулировки соответствующих теорем и двойственных к ним в тех случаях, когда эти двойственные теоремы имеются. Свойства решений, приведенные в этих теоремах, получены из теорем работ [19–21] как конъюнкции свойств решений в случаях рассмотрения этих уравнений на [ а ; b ) и ( а ; b ] .

Во всех теоремах предполагается h ( b ) = 0. Как было замечено выше, это ограничение не снижает общности сформулированных ниже теорем. Будем обозначать значком 3 ! существование единственного решения уравнения (1) в указанном классе.

Теорема 1 . Пусть h , g е H ^ , g ( t ) * 0, t е [ а ; b ] . Пусть | g ( а )| >  1, | g ( b )| >  1. Тогда 3 ! решение (1) в C ^{[ а ; b ]} , определяемое формулами:

Математика

h ( a )       / x               x                h ( o k ( t ))            / x

——^{; у (} b ) = 0; , ^{у (} t ) = - £       k          t ^{g (} a ^; b ) .          (4)

^{1 g (} a )                            ^k = ⁰ ( g ( a ) )    G k + 1 ( t )

Если Ц < log _b ) | g ( b )| , то у g H a ^; b ^] . Если g , h g A p ^; b ^] , p > 1, p -¹< log| _a ( b )| | g ( b )| , то у g A p ’ b ].

Замечание 1. Значения у ( a ) и у ( b ) в (4) могут быть вычислены по последней формуле (4). Они выписаны явно для большей наглядности.

Замечание 2. Ограничения на ц и p в заключении теоремы связаны с поведением решения в окрестности о. н. т. b . Если рассматривать уравнение (1) только на [ a ; b ) , то верны более сильные утверждения: у g н Ц a ^{; b} ); если g , h g A p ^{; b} ), p >  1, то у g a pa ^{; b} ).

Теорема 1’ (двойственная к теореме 1). Пусть   h , g g Н _ц , g ( t ) ^ 0, t g [ a ; b ]. Пусть

|g ( a )| <  1, | g ( b )| <  1. Тогда 3 ! решение (1) в C ^[ a ^{; b ]} , определяемое формулами:

, .      h ( a )        , .             , .       ” h(a - _k ( t ) )( g ( b ) ) k ¹

у (a )=v (b )=0;, v (t )=-E—f—м—, t G( a;b) •

¹ - g ⁽ a )                            k = 1        G - k + 1 ⁽ t )

Если ц <  log| _O ( b ) | g ( b )|, то у g H Ц ^; b ^] . Если g , h g A pa ^; b ^] , p >  1, ^P- ¹ <  log| _o ( b ) | g ( b )|, то

. [ a ; b ]

V G Ap.

Перед доказательством теоремы 1 введем обозначения. Пусть с g(а; b) - любая точка; обозначим через Cc,g,h класс функций f , определенных и непрерывных на 10 (c) = [«(c);c] и удовлетворяющих условию:

f (a(c ))-g (c) f (c ) = h (c).

Доказательство теоремы 1. Из теорем 2 и 4 работы [19] следует, что при условии | g ( a )| >  1 на

[ a ; b ) 3 ! решение у *, и оно имеет вид (4). Пусть с g ( а ; b ) - любая точка. Тогда для у *, как и для любого решения (1) на 1 ₀ ( c ) = [ a ( c ) ; c ] , выполняется условие (6). Поэтому из доказательства теоремы 2 [20] следует, что 3 ! решение у* * ЛФУ на ( a ; b ] , сужение которого на 1 ₀ ( c ) совпадает с у* . Тогда у* и у ** совпадают на ( a ; b ) . Поэтому функция

V =

у *, t g [ a ; b ) , у **, t g ( a ; b ]

является единственным непрерывным решением ЛФУ (1) на [ a ; b ] . Принадлежность этого решения указанным в формулировке теоремы функциональным классам непосредственно следует из результатов работ [19, 20].

Теорема 2. Пусть h , g g Н _ц , g ( t ) * 0, t g ( a ; b ] . Пусть | g ( a )| <  1, | g ( b )| >  1. Тогда уравнение (1) имеет континуум линейно независимых решений в классе C ^[ a ^{; b ]} , которые имеют вид:

h ( a )

у ( a ) = х   ^V X ; у ( b ) = 0;

1 - g ( a )

Дильман В.Л.

П g ( ^а j - n ( t ) ) v o ( ^a - n ( t ) ) + E h ( ^ak - n ( t ) ) П g ( ^a j - n ( t ) ) , t ^e I n ( ^c ) , ⁿ = 2;3;- j = 0                                 k = 0               j = k + 1

I                        g ( « - 1 ⁽ t ) ) V o ( ^a - 1 ⁽ t ) ) ^{+ h} ( ^a - 1 ⁽ t ) ) , t ^e I 1 ^{( c} ) ,

^{V U}=|                                 V o ( t ) , t e I o ( c ) ,                                     ⁽⁾

П g ^{- 1} ( a j - n ( t ) ) v o ( « n ( t ) ) - E ^h ( a n - k ( t ) ) П — 1 ( a „ - j (¹) ) , ^1€ I - n ( c ) , n = ¹ ;2;...

. j=1                                     k=1               j=k где функция vo e Cc gh — произвольна.

Если ц < min {log|a,(a) g (a)|; loga(b) g (b)} , и    Vo e Hм, то V e Hм’b]. Если g,h e APa;b ], p >1, p-1 < min {log«(a) |g (a )| ;logb) g (b)} , Vo e Apo, Po >1, то V e Ap; b ] Для

/                              \-1

если             |g ( a )| > | a '( a )| ,            и

P b = min { p ; P o ; a; P 2 } , p = ( 1^-log « -₍ a ) g ( ^a )l )   ,

P 2 = ( 1^{- log} _{a( b} ) g ( ^b )| )   , ^если g ( ^b )| <| ^a '( ^b )| , иначе P 1 = P 2 = +» .

Замечание 3. Условие (6) необходимо для того, чтобы в определении (7) функции v ция v _o e C_c , _g , _h имела непрерывное продолжение по формуле (7).

функ-

реше-

Замечание 4. У теоремы 2 двойственная теорема отсутствует.

Теорема 3. Пусть g , h e Н _ц , g(t ) ^ o на [ a ; b ] , | g ( a )| = 1, g ( a ) ^ 1 , | g ( b )| >  1. Тогда 3 !

ние (1) в C ^{[ a ; b ]} , определяемое формулами:

_Ш(Ь\= ^h ( ^b ) Ш(Л-. h ( a )1 V ((1 - g ( a )) h(« k ( t )) - h ( a )(1 - g(« k ( t )))) ^{V U}" 1 - g ( b ) ^{, V ()} = 1 - g ( a )  1 - g ( a ) Д            g k ^{+ 1} ( a ) G_{k +} 1 ( t )

t e [ a ; b ) .

Если ц < logj^6j||g(b)|, то v e H[^ab], ц1 = ^M^ (число 0 введено в пункте 3 определения функции сдвига a). Если g. h e APa;b], p > 1,

P - 1 1          I / гЛ|            л[ a ; ^b ]         ^p (1 ^{+ 0} )

-p - <  ^log| a -( b )| l ^{g ( b} ) , ^{то V e} A P 1 , ^p 1 = -p +^

.

Теорема 3’ (двойственная к теореме |g ( b )| = 1, g ( b ) ^ 1. Тогда 3 ! решение (1) в

3). Пусть g , h e Н _ц , g ( t ) ^ o на C ^{[ a ; b ]} , определяемое формулами:

, . h ( a )

V ( a ) = ^v ’  , V ⁽ t ) =

^{1 -} g ( a )

h ( a )         1

^{1 -} g ^{( a} )   ^{1 -} g ⁽ a )

да E k = o

^{((1 -} g ⁽ a )) h ⁽« k ⁽ t )) ^- h ⁽ a ^{)(1 -} g ⁽« k ⁽t ⁾⁾⁾⁾

g k ^{+ 1} ( a ) G k + 1 ( t )

, t e [ a ; b ] .

Если ц <  log|_a-(-^|| g ( a )|, то v e H^^a b ^] , Ц = ^M^ (число 0 введено в пункте 3 определения

А                                      ,    ~л [ a ; b ]            p -1 ,          I / M              J a ; b ]          P (1^{+ 0} )

.

функции сдвига a ). Если g , h e A P ’ ^J, p > 1, —— < log « ,( _a )| g ( a )|, то v e A p , P 1 = ^^

Теорема 4. Пусть h,g e Н _ц , g ( t ) ^ o, t e [ a ; b ] . Пусть g ( b ) = 1, | g ( a )| >  1. Тогда уравнение (1) разрешимо в классе C ^{[ a ; b ]} тогда и только тогда, когда h ( a ) = o. В этом случае общее решение является однопараметрическим семейством функций вида:

V b ) = o; V (t ) = - C T-Ё ^{h ( a, (}/ ’ * , I e [ a ; b .

( '         ' ' G « ( t ) S G k + 1 ( t )       [

Частное решение при v ( a ) = V _o имеет вид

Математика

V ⁽ t ) =

V 0 G » ( t )

—

X z k = 0

h^a ( ' ) ) , G k + 1 ( t )

t g [ a ; b ] .

Если д < loga‘(b) |g(b)|, то у g Ha;b]. Если g, h g AP;b], p >L p-1 < log^,(b) |g(b)|, то

. [ a; b ]

V G A p  .

Теорема 4’ (двойственная к теореме 4). Пусть h, g g Нд, g (t )^ 0, t g[ a; b ]. Пусть g (b) = 1, |g(a)| > 1. Тогда уравнение (1) разрешимо в классе C[a;b] тогда и только тогда, когда h (b) = 0 . В этом случае общее решение является однопараметрическим семейством функций ви- да:

V(a) = 0; у(t) = CПg (a—j (t)) + h(a—1 (t)) — £ h(a—j (t))Пg(a—k (t)), t g (a;b]. j=1                                 j=2

Частное решение при у ( b ) = у ₀ имеет вид

X                               X у (t)=у0 П g (a—j (t))+h (a—1 (t))—Zh (a—j (t ))П g (a—k (t)), tG [ a;b ]. j=1                                 j=2

^Если д <  log _a ) | g ( a )|, то V G H a ^{; b ]} . Если g , h G A pa ^{; b ]} , p >  1,   p -¹ <  log a >_{( a} ) | g ( a )|, ^то

, [ a ; b ]

V G Ap.

Теорема 5. Пусть h , g g Н _д , g ( t ) * 0, t g [ a ; b ] . Пусть | g ( a )| > 1, | g ( b )| < 1. Тогда для существования единственного решения уравнения (1) в классе C ^[ a ^{; b ]} необходимо и достаточно выполнения условия:

”      h (a (t))

Vt G (a;b) У ---------= 0, k +1                   , k=—”(g (a))   Gk+1 (t)

где функция G k ( t ) определена в (3). При выполнении этого условия решение уравнения (1) единственно, причем у g н Д ^{a ; b ]} ; если g , h g A p ^{; b ]} , p >  1, то у g A p^{a ; b ]} .

Замечание 5. У теоремы 5 двойственная теорема отсутствует.

Выводы

Множество непрерывных решений уравнения (1) зависит исключительно от значений | g ( a )| и | g ( b )| в сравнении с единицей и может быть пустым (теорема 5), иметь единственное решение (теоремы 1, 1’, 3, 3’), иметь однопараметрическое семейство решений (теоремы 4 и 4’) и иметь бесконечное множество линейно независимых решений (теорема 2). Сохраняется принадлежность решения классу Н _д или классу A_p , которым принадлежат функции g ( t ) и h ( t ) , но в общем случае с другими параметрами.