Свойства экстремальных элементов в соотношении двойственности для пространства Харди
Автор: Бурчаев Хайдар Хасанович, Рябых Галина Юрьевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.20, 2018 года.
Бесплатный доступ
Рассмотрим пространство Харди Hp в единичном круге D, p≥1. Пусть lω - линейный функционал на Hp, определяемый функцией ω∈Lq(T), где T=∂D и 1/p+1/q=1, а F - экстремальная функция для lω. На X∈Hq реализуется наилучшее приближение ω¯ в Lq(T) элементами из H0q={y∈Hq:y(0)=0}. Функции F и X называем экстремальными элементами (э. э.) для lω. Э. э. связаны соответствующим соотношением двойственности. Рассматривается задача о том, как те или иные свойства ω отразятся на свойствах э. э. В статье Л. Карлесона и С. Кобса (1972) была изучена задача о свойствах элементов, на которых достигается нижняя грань ∥ω¯-x∥L∞(T) для заданного ω∈Lq(T) по x∈H0∞. Гипотеза авторов о том, что связь между э. э. подобна связи между ω и его проекцией на Hq, частично подтверждена в статье В. Г. Рябых (2006). Свойства э. э. для lω, когда ω - полином, изучены в статье Х. Х. Бурчаева, В. Г. Рябых и Г. Ю. Рябых (2017). В данной статье, опираясь на основной результат последней статьи и пользуясь методом последовательных приближений, доказано: если ω∈Lq∗(T), q≤q∗
Линейный функционал, экстремальный элемент, метод приближения, производная
Короткий адрес: https://sciup.org/143168781
IDR: 143168781 | УДК: 517.53/57 | DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23383
Properties of extremal elements in the duality relation for Hardy spaces
Consider a Hardy space Hp in the unit disk D, p≥1. Let lω be a linear functional on Hp determined by ω∈Lq (T=∂D, 1/p+1/q=1) and let F be an extremal function for lω. Let X∈Hq implements the best approximation of ω¯ in Lq(T) by functions from H0q={y∈Hq:y(0)=0}. The functions F and X are called extremal elements (e. e.) for lω. E. e. are related by the corresponding duality relation.We consider the problem of how certain properties of ω will affect e. e. An article by L. Carleson and S. Jacobs (1972), investigated the problem of the properties of elements on which the infimum inf{∥ω¯-x∥L∞(T): x∈H0∞} for a given ω∈Lq(T) is attained. The hypothesis of the authors that the relationship between extremal elements is similar to that of the function ω and its projection onto Hq is partially confirmed in a paper by V. G. Ryabykh (2006). Some properties of e. e. for lω, when ω is a polynomial, were studied in a paper by Kh. Kh Burchaev, G. Yu. Ryabykh V. G. Ryabykh (2017). In this paper, relying on the main result of the last article and using the method of successive approximations, the following is proved: if ω∈Lq∗(T) and q≤q∗
Список литературы Свойства экстремальных элементов в соотношении двойственности для пространства Харди
- Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. 469 с.
- Carleson L., Jacobs S. Best uniform approximation by analytic functions//Arc. Mat. 1972. Vol. 10, № 2. P. 219-229.
- Рябых В. Г. Приближение неаналитических функций аналитическими//Мат. сб. 2006. Т. 197, № 2. С. 87-94 DOI: 10.4213/sm1513
- Бурчаев Х. Х., Рябых В. Г., Рябых Г. Ю. Об одной экстремальной задаче в пространстве Харди Нр//Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 3. С. 510-525. DОI: 10.17377/smzh.2017.58.303.
- Duren P. L. Romberg B. W., Shields A. L. Linear functionals on Hp space with 0pJ. Reine Angew. Math. 1969. Vol. 238. P. 32-60.
- Гофман М. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. 311 с.
- Рябых В. Г. Экстремальные задачи для суммируемых аналитических функций//Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 3. С. 212-217.
- Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 750 с.
- Бурчаев Х. Х., Рябых В. Г., Рябых Г. Ю. Некоторые свойства экстремальных функций линейных функционалов над пространствами Харди и Бергмана//Мат. форум. Т. 9. Исслед. по мат. анализу, дифференц. уравнениям и мат. моделированию. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2015. С. 125-139. (Итоги науки. Юг России).
