Свойства множеств радоновых мер

Сначала вводим некоторые обозначения:

^^Q = ^^Q\{0} ;  C(z o ,r) = {z:Hz-Z o HB⁽Zo,r) = (z: ^z - ZoH < r} .

Ф - это линейное пространство непрерывных финитных функций на ^ Q . Будут рассматриваться как вещественные, так и комплексные пространства Ф.

Напомним теперь некоторые определения и результаты из теории интеграла и меры.

Пусть в пространстве ^ Q определена вещественная борелевская мера ц, Е с ^ Q - борелевское множество. Ограничением (сужением) меры ц на множество Е называется мер ц^-, которая определяется формулой Г е (^) = ц(ЛПЕ) для любого борелевского мно-жества Л с ^ Q .

Величина |ц| = р+ + р_,  называется полной вариацией или модулем меры ц.

Вещественная борелевская мера ц на R Q называется локально конечной, если для любого компакта К с ^ Q выполняется неравенство |ц|(К) <  да .

Обозначим через Ш^ семейство функций множеств , представимых в виде ц = Ц 1 — ц₂, где ц 1 , ц₂ вещественные локально конечные борелевские меры на ^ Q . функция ц определена на борелевских множествах Е с ^ Q за исключением тех Е, для которых ц 1 (Е) = ц₂(Е) .

Теорема 1. (С.М [4]). Всякий элемент / £ 9Л1 эквивалентен разности /1 — /2, где где /1 и /2 - положительные взаимно сингулярные локально конечные борелевские меры на ^Q . Причем /1 и /2 определяются однозначно.

Вещественной радоновой мерой на № Q называется класс эквивалентных элементов из множества 9Л 1 . Множество таких мер обозначим ^.

Из теоремы 1 легко следует, что множество Ж является вещественным линейным пространством. Проверить это свойство, исходя из определении ^, достаточно затруднительно.

Мы будем рассматривать также комплексные меры Радона. Это функции множеств вида / = / 1 + 1/ 2 , где / 1 , / 2 - вещественные радоновые меры. Ограничение меры / на множество Е определяется по формуле /_Е = (/ 1 )_е + t(/ 2 )_E. Комплексная мера Радона / сосредоточена на множестве Е, если выполняется равенство / = /_Е .

Обозначим через Жс- это множество комплексных радоновых мер на ^Q. Отметим, что ^с является комплексным линейным пространством. В пространстве ^с вводится понятие широкой сходимости. Говорят, что последовательность радоновых мер /т широко сходится к радоновой мере / , если для любой функции ф £ Ф(^) числовая последовательность /т(ф^ сходится к /(ф). Обозначение / = lim /т. т^та

Вводятся некоторые понятия множеств, связанные с пространством ^с .

Множество Е с ^_с называется широко ограниченным, если для любой функции ф £ O(^ Q ) выполняется неравенство sup|/(ф)| < го.

^ЕЕ

Множество Е с ^_с называется сильным ограниченным, если для любого компакта К с ^ Q выполняется неравенство sup|/|(K) < го.

_Е £Е

Множество Е с ^с называется компактным, если из любой последовательности /т с Е можно извлечь широко сходящуюся подпоследовательность.

Компактный множество в ^с, содержащее пределы широко сходящихся последовательностей элементов этого множества, называется компактом.

Теорема 2. (CM. [5]) Всякая широко ограниченное множество в ^_с является сильно ограниченным множеством.

Для множества положительных мер признак сильной ограниченности можно усилить.

Теорема 3. Пусть E – множество положительных радоновых мер на ⁿ , Ф,- всюду плотно множество в пространстве Ф (□ n ) . Тогда если множество { ( цф : ц G E } ограничено для любой функции фG Ф,, то множество E сильно ограничено.

Доказательство. Пусть K сП П - компакт. В множестве Ф, найдётся такая функция ф , что будет выполняться неравенство х ( z ) = ф ( ^z ) • Пусть ц g E . Тогда

ц ( K ) = J Х к ( z ) ^d ц ( z ) <  J ф ( z ) d ц ( z ) <  sup { ( ц , ф ) : ц ^g E } .

• □ 0                            □ 0

Из этого следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Из теоремы 2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 4. Если E с M есть широко ограниченное множество, то для каждого компакта к сП "₀ существует константа M такая, что | ц ( ф )| < M||ф| для любой меры ц g E и для любой функции ф g Ф с носителем, содержащемся в компакте к сП "₀ .

Мы продолжим серию теорем связанных с пространством радоновых мер.

Теорема 5. Пусть ц_т - последовательность комплексных борелевских мер, причём мера ц_т сосредоточено на компакте B ( 0, m ) \ C I 0,- I . Пусть для V m 7

k >  m ограничение ц на компакте B ( 0, m ) \ C I 0,- I совпадает с ц . Тогда V m 7

существует радонова мера ц такая, что ограничение ц на кампактеB(0,m) \ CI 0,-I совпадает с цт.

• V m 7

Доказательство. Так как по определению комплексной меры выполняется равенство ц = цт + i^ m, где ц т, ц2 т -конечные вещественные борелевские меры, то теорему достаточно доказать для случая, когда ц -последовательность конечных вещественных борелевских мер. Для этого случая утверждение следует из рассуждений, приведенных в доказательстве теоремы 3.1, относящихся к изучению свойств последовательности ут.

Теория 6. Пусть ц е^_с , Ф_х - всюду плотное множество в пространство Ф (□ n ) . Если для любой функции ^ е Ф выполняется равенство ( ц , ^ ) = 0 , то ц = 0 .

Доказательство.

Докажем теорему от противного. Пусть теорема не верна и ц = ц + ц ф 0 . Пусть, например ( ц )₊ ф 0 и пусть □ n = A U B - разложение Хана для меры ц (из доказательство теоремы 3.1. следует, что существует разложение Хана для радоновой меры). Тогда существует компакт К о А такой, что ( ц )₊ ( К ) = 4 т >  0 . Пусть v е Ф (□ П ) - функция такая, что v ( x ) е [ 0,1 ] , v( x )^ = 1 , v ( x ) = 0 , при x е ( K ) ₅ . Тогда имеем

J V ( x ) d ^ 1 ( x ) >  M l ( K )^-( M l ) _ ( ^K 5 \ K ) >  ² k .

n ₀

При достаточно малых 5 . Поскольку множество Ф_х

всюду плотное

множество в пространстве  Ф (□ n), то существует последовательность функций vm (x) из Фх такая, что

V ( x ) сходится к v ( x ) в пространстве Ф (□ n ) . Имеем

J Vm (x) dИ1 (x) > J (Vm (x)-V (x)) dM1 (x) — J V (x) dA (x) .

n

^m 0

^m 0

Так как

J (Vm ( x )-V ( x )) d ^1 ( x ) ^ ц11( K5 )| Vm ( x ) — V ( x )Ь k , при m

m >  m ₀.

Из этого следует,

что при m >  m выполняется неравенство

J Vm ( x ) d ^1 ( x )

> k . Это противоречит равенству

n 0

J V m ( x ) ^d ц ( x ) = ⁰ .

n ₀

Теорема доказана.