Свойства сходимости по мере на йордановых алгебрах

В работе продолжается изучение свойств топологии сходимости по мере па Йордановых алгебрах. Дается явный вид метрики на Йордановой алгебре, которая определяет топологию сходимости по мере.

В работах [1-3] было введено понятие OJ-алгебры и изучены свойства, этих алгебр. В частности, OJ-алгебру можно рассматривать как объект, описывающий в аксиоматической форме пространство измеримых элементов относительно ЛЛУ-алгебры. В [1, 2] рассматривалась также топология сходимости по мере, в частности, в [1] доказано, что в этой топологии OJ-алгебра является топологическим кольцом. В [2] рассмотрена R топология на. О J-алгебрах, описаны условия ее существования, единственности и метризуемости.

В настоящей работе продолжается изучение свойств топологии сходимости по мере на. Йордановых алгебрах. Дается явный вид метрики на. Йордановой алгебре, которая определяет топологию сходимости по мере. В случае алгебр фон Неймана, аналогичный вопрос рассматривался в работе [6].

Пусть (А, || • ||) — ЛЛУ-алгебра. с точным нормальным конечным следом т, S(A) — OJ-алгебра измеримых элементов относительно А (см. [1]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Элемент a Е S(A) назовем т-измеримым если в спектральном + оо разложении a = J Xde\ идемпотенты щ ■ и е_\ имеют конечную меру т. е. т(е;Д) < сю — схэ и т(е_д) < сю при некотором А. Через К(А) обозначим множество всех т-измеримых элементов из S(A).

Определение 2. Для любого a Е КД^ значения функции

а(а) = inf{A Е [0, сю] : т(1 — ед) Сф (а > 0),

СХЭ                            ____ где а = J Xde\, а = Va?, называются обобщенными s-числами элемента, а. Через «о» о обозначим йорданово произведение в S(A).

Предложение 1. Имеют место следующие утверждения:

• (1)    функция а (а) невозрастающая, непрерывная справа и

• Нта(а) = ||а|| Е [0,сю], a Е К^А);

аДО

• (2)    для любой строго возрастающей непрерывной функции g на [0, оо) такой, что у(0) ^ 0 имеет место

9(Ы)(«) = у(|а|(а)), при всех a Е Кфф a > 0;

• (3)    а(а) = 0 для a ^ r(supp а|) и для любого a Е К фр

• (4)    а(а) = а|(а) и фффр = /3|а(а), где а Е КфР Р Е Ж, а > 0;

• (5)    (а + Ь)(а + /3) < а(а) + Ьф^ для всех a,b Е Кф) и аф >  0;

• (6)    а(а) <  Ьфф если 0 <  а Д 6. а > 0;

• (7)    (а о Ьфф ^ ||6||а(а) для всех а Е Кф^, b Е А.

ОО

• (8)    если а Е А, а р 0, то тф) = Уа(а) da, в частности,

о

• (9)    если a,b Е А, то

tt

' /((а + ффР da ^ / /(а(а) + Ьф)) da (I > 0)

для любой возрастающей непрерывной выпуклой функции f;

• (10)    если / возрастающая вогнутая функция на [0, оо] и /(0) = 0, то

tt

t

I рффУ) da.

/ /((а + Ь)ф) da ^ / /(а(а))

оо

• < (9): Рассмотрим JBPP-алгебру Лф,ф, порожденную элементами а и Ь. По предложению 3.9 [3, стр. 26] она изоморфна обратимой ЛР-алгебре. Тогда след т можно продолжить до обертывающей Лфф алгебры фон Неймана W(Лф,Ь)) . Из единственности спектрального семейства следует, что s-числа для элементов а и b в Wфф,bY и в Лф,ф совпадают, поэтому требуемое неравенство, справедливое в Wфф,bY в силу [4], верно и в Лф, ф.

Остальные утверждения предложения 1 доказываются аналогично. >

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (см. [1]). Топологией сходимости по мере на Кф) называется отделимая векторная топология t, в которой базис окрестностей нуля образуют множества вида Кфф) ф,б > 0), где

Кфф) = {а Е Кф) : Зр Е V ,U_pa Е А, ||1/_ра|| <  Е,тфф < бф

Здесь Up : Кф) —> Кф) — линейное отображение, определяемое равенством

П_жу = 2ж о ф о у) — ж² о у.

V — булева алгебра всех идемпотентов в А. Если А специальна, то U_xy = хух, где ху — ассоциативное произведение элементов х и у.

Сходимость в топологии t обозначим как а„ Д а и назовем ее сходимостью по мере.

Предложение 2 (см. [5]). Если a_n,a Е К^А), то справедливы утверждения:

• (i)    a_n Д а тогда и только тогда, когда (а„ — а)(а) —> О (а > О);

(п) если a_n Д а, то /(а„) Д /(а) для любой действительной непрерывной функции /.

Отделимую векторную топологию ш на К^А^ будем называть ^-топологией, если выполняются следующие условия:

• 1 .(1) для любой окрестности нуля W существует окрестность нуля V С W такая, что из 0 < ж <  у Е V, следует х Е V;

• (2)    если у Е V, s² = 1, р Е V, то U_s^y^ Е V и Up(y) Е V (такие окрестности V называют нормальными), где 1 — единица алгебры К(А);

• II.    для любой сети идемпотентов {е_а}, убывающей к нулю, е_а Д 0;

• III.    если {е_а} С V, е_а Д 0, то для любой сети {ж_а} элементов из К (А) сеть {ж_а о е_а} сходится к нулю в топологии ш.

Предложение 3 (см. [2]). В топологической OJ-алгебре (К(А),ш) справедливы утверждения:

• (1)    R- топология ш совпадает с топологией сходимости по мере;

• (2)    ш метризуема тогда и только тогда, когда К (А) счетного типа.

Теорема 1. Отображение р : А х А —> [0, оо), определенное равенством

Р^,у^

т

\х-у\ \

1 + к -у|/

является метрикой на А.

< Проверим аксиомы метрики.

• 1)    Очевидно, что р^х,у^) ^ 0. Если р^х,у^) = 0, то в силу точности т получим, что ^—^—г = 0, т. е. ж = у. Обратно, если ж = у, то, очевидно, р(ж, у) = 0.

• 2)    Очевидно.

• 3)    Пусть х,у Е А, тогда. р^х,у) = т

  ^ da. Так как

  
  

функция /(1) = -^ £ / возрастает, непрерывна, на. [0,+оо) и /(0) = 0, то из предложения 1(2) следует, что

ОО                           ОО рД,у) = I ^ ^^ da =

J 1 + |®-у|(«)

гг

J 1 + (ж —у)(а) J 1 + (х — г + г — уда) оо

Далее, из утверждения (10) предложения 1 следует, что

P^,y^

/ (ж —Д(а)         f (z — у)(а)

-----—- da +  ————- da = р(ж, z) + р)у, z).

1 + (ж-г)(а) у l + ^z-уфа) оо

Теорема, доказана. >

Через П обозначим отделимую топологию в А, порожденную метрикой р. Покажем, что П наделяет А структурой топологического векторного пространства. Так как р^х— у),0) = р(ж,у), то операция сложения непрерывна, в топологии Д. Пусть А„ —> А, А„,А Е ж Е А. Тогда.

р((А„ - А)ж,0) = |А„ - A rf *Ж*        < |А„ - А|т(|ж|) -д 0.

\1 + А„ - А| |ж| /

Следовательно, А_пж ^ Аж. Пусть ж„ ^О, ж_п£ А, А„ G 1, А„ < 2^т (п = 1,2,...). Тогда

■п^П)

0) = т

А„||жп А

1 + |АД|жД >

/ 2т|ж„ А

VI + 2т|ж„|/

• т. е. А_пж„ ^ 0.

Аналогично, если ж„ Д ж, то Аж„ Д Аж для всех A G R.

Отсюда и из равенства Апж„ — Аж = А(ж„ — ж) + (А„ — А)ж + (А„ — А)(ж„ — ж) следует, что операция умножения на скаляр непрерывна в топологии Н-

Предложение 4. Топология Н на А является R топологией.

< I. (1): Пусть 0 < ж < у и р(у,О) <  Е. Так как функция /(а) = । “ _а возрастающая, а след т положителен, то

Уи\И

1 + Ы (°0

da = р(у, 0) <  Е.

(2): Так как любая двухпорожденная подалгебра специальна, то при р(у, 0) <  е, р G V выполнены равенства

р(1фж,0)

/ |ржр А Г (ржр)(а) т I ------------] = / -----------------

Vl + фжрД J 1 + (ржр)(а) о

da

Г |М|²ж(Д          / |ж| А

J 1 + ||<ж(а)     U + ИУ

= Дж,0) <  е.

Аналогично, если s² = 1, то р(П₅ж,0) <  Е.

II: Пусть е_а ^ 0. Тогда. р(е_а, 0) = т I ₁ ®“   ) = 7т(е_а) -Д 0, т. е. е_а 4 0.

III: Пусть {еа} CV, еа^ 0, т. е. р(еа,0) —> 0. Тогда.

± / \       / са

—т e_Q = г ---- 2 ^{k ;}        \ 1 + ,

а

Так как

1 + |a;_Q о е_а| '

то для х_а Е А будет

Отсюда, выводим

^q |*^q ⁰ ^а | ^а

1 + |^а ° е_а|

р(ха ⁰е_а,0)

= т

^а |*^а

1 +

0 ^а |^а

< т(еа) -Д 0,

т. е. ж_а о е_а Д- 0. Следовательно, Н является R топологией на. А.

Из предложений 3 и 4 следует, что топологии t и Н совпадают на. А.

Известно (см. [1]), что А плотно в OJ-алгебре К^А^ т-измеримых элементов, присоединенных к А, относительно топологии сходимости по мере, т. е. можно считать, что

К^А) есть замыкание А в топологии t. Поэтому р продолжается до метрики р на K^AY порождающей топологию t.

Предложение 5. Пусть a_n Е А, ||а„|| < 1, а„ Д а. Тогда. т(а_п) -Д т(а).

• < Пусть а = 0, е > 0. Тогда существуют номер п(е) и р Е V такие, что ДрД < | и ||7фа„|| < | для всех n > n^Y Если а„ = а„ о s„ полярное разложение а„, где s„ — симметрия в А (т. е. s^ = 1, ||s„|| = 1), то

М^ап) < т(|а„|) = т(|а„ ор + \а_п\ орД = т(а_п о s_u op) + т(а„ о s„ ор¹) < ||8„||т([/_ра_п) + ||а„||||8„||т(р^±) < ||Е7ра„|| + т(рД < | + | = е,

• т. е. т(а„) —> 0 при п -Д оо.

Теорема 2. Метрика, р имеет вид р^х^) = т( У*       (ж,уЕК(Л)).

\1 + к - у\)

• < Пусть ж, у Е К)А) и ж„, y_n Е А, такие что ж„ Д ж, у„ Д у. Тогда. ж„ -Д х, у_п -Д у в JR-топологии. Из предложения 2 следует, что

• к» - у» Е к ~ у!

1 + |ж„-у„   1 + |ж-уГ т. е.

kn - Уп Д |ж - у|

1 + |ж„-уп 1 + к~УГ

Так как 0 <  ^"--^—г < 1, то в силу предложения 5

т

к» - Уп

1 + |ж„ - Уп

-4- Т

к-у| А

1 + |ж - у|У

Из

р(ж,у) = Нтр(ж„, у„) = Нтт п              п

kn-уп А ( \х-у\ \

-------------------- I = т I                   I

1 + |ж„-Уп|/     \1 + \х-у\;

следует, что

Р^,у)

к-у| \

1 + к - у1/

Теорема, доказана. >

Пусть Л-обратимая ТИ^-алгебра (т. е. йордонова алгебра, ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве), т-точный нормальный конечный след на. А, К(А) — OJ-алгебра т-измеримых операторов, присоединенных к A, W(A)- обертывающая алгебра, фон Неймана, для А. Продолжение т до W(A) является точным нормальным конечным следом т^ (см. [3]). Через K^W) обозначим кольцо тц-измеримых операторов присоединенных к алгебре W(A) . Ясно что, К(А) С K(W).

Следствие. Пусть x_n, х Е К^А) ^n = 1, 2, 3,... ). Тогда. х_п сходится по мере к х в К (А) тогда, и только тогда, когда. х_п сходится по мере к х в K(W).

Теорема 3. Метрика, р обладает следующими свойствами:

• (1)    р(ж + у, 0) = р^х, 0) + р(у, 0), где х,у Е А⁺ = {ж Е Л : ж > 0}, жу = 0;

• (2)    р(Ле,О) = Л^р(_е,0), A G R, е G V;

• (3)    р^х о е, 0) <  _х ^^ц Ф, 0), х G А, е G V;

• (4)    если a G А, х G K^AY то существует такое натуральное число п, что

• р(а о ж, 0) < 2пр(х,0);

• (5)    если s Е А и s² = 1, то p^U_sx, Ц^у) = p^x,yY

< (1): Пусть ж, у G А' . ж о у = 0. Тогда ж о (1 + ж + у) = ж + ж2 = ж о (1 + ж) и у о (1 + ж + у) = у + у2 = уо(1+у). Отсюда ж         ж         у         у

1+ж  1+ж + у’ 1+у  1+ж + у’

1 + ж + у 1 + ж 1+у

Следовательно,

. х / ж + у А / ж A / у А , х , у ж + у,0 = т ——— = т —— +т —— = у ж, 0 + р у, 0 .

\1 + ж + у/ \1+ж/   \1 + у /

(2): Так как (|А|е)/(1 + А|) = (|А|е)/(1 + А|е) и т(е) = 2у(е,0), то

у(Ае,0) = т

= т

е

(3): Пусть ж G А и е G V. Тогда

у(ж о е, 0) = т

т\ о е) J о

о

= ^Ф

Г _С№М^)_

У 1 + (||ж||е)(а) о

da =

о

2Щ ., m

, I! |Л+0)-

(4): Пусть а Е А, х Е К(А). Выберем такое натуральное число п, что ||а|| < 2П. Тогда р^а о ж, 0)

т

ОО а ° ж А Г

1 + |аож|у J о

а о ж

1 + а о ж

ОО

(а) da = J о

а о ж (а)

1 + а о ж (а)

da

(5): Так как

Г 2^пж(а)

J 1 +2^пж(а) о

ОО da Г / 1      . da = 2пр(ж,0).

У 1+ж(а) м ' о

П5ж|2 = 8Жб|2 = (еже) О (еже) = б|ж|28 = 8|ж||ж|8 = б|ж|8 О б|ж|8 = (1/5|ж|)2,

ТО П5Ж = фж!. Поэтому

p

_ / \U_sx-U_sy\ А _ "^T\l + \U_sx-U_sy\) "У

о

\U_sx - U_sy\ l + \U_sx-U_sy\

(a) da

1 + |СУДж - у) | /

(a) da

1 + С^ж - у

(а) da

б|ж - y|s

1 + 8|ж — y|s

(а) da

ОО

j^-^H^ + ^-^PWda

О

оо

f^-^WW^-dW'XW-

О

оо

j^-WAW + ^-^OXA™

О

оо                                           оо

У'(8|ж-у|(1 + |ж-у|)-¹₅)(а)^ = j (з о                                                      о

(а) da

Теорема доказана. >

Авторы благодарны профессору В. И. Чилину за полезное обсуждение результатов.