Свойства сходимости последовательностей радоновых мер

Сначала вводим некоторые обозначения:

^^ = ^п\{0} ;  C(z0,r) = (z:^z-zo^ < г) ;  B(Zo,r) = {z:^z — ZgH < r) .

Ф - это линейное пространство непрерывных финитных функций на R Q . Будут рассматриваться как вещественные, так и комплексные пространства Ф.

Напомним теперь некоторые определения и результаты из теории интеграла и меры.

Пусть в пространстве R Q определена вещественная борелевская мера ц, Е с 1 Q - борелевское множество. Ограничением (сужением) меры ц на множество Е называется мер ц_Е , которая определяется формулой ц_Е(А) = ц(АПЕ') для любого борелевского мно-жества А с R Q .

Величина |ц| = р+ + р_,  называется полной вариацией или модулем меры ц.

Вещественная борелевская мера ц на R Q называется локально конечной, если для любого компакта К с R Q выполняется неравенство |ц|(К) <  ^ .

Обозначим через Фц семейство функций множеств , представимых в виде ц = ц 1 — ц₂, где ц 1 , ц₂ вещественные локально конечные борелевские меры на R Q . функция ц определена на борелевских множествах Е с R Q за исключением тех Е, для которых ц₁(Е') = ц₂(Е) .

Теорема 1. (С.М [4]). Всякий элемент ц £ 9Л1 эквивалентен разности ц1 — ц2, где где ц1 и ц2 - положительные взаимно сингулярные локально конечные борелевские меры на RQ. Причем ц1 и ц2 определяются однозначно.

Вещественной радоновой мерой на R Q называется класс эквивалентных элементов из множества 9Л 1 . Множество таких мер обозначим Л.

Из теоремы 1 легко следует, что множество Ж является вещественным линейным пространством. Проверить это свойство, исходя из определении ^, достаточно затруднительно.

Мы будем рассматривать также комплексные меры Радона. Это функции множеств вида р = р 1 + 1р 2 , где р 1 , р₂ - вещественные радоновые меры. Ограничение меры р на множество Е определяется по формуле р_Е = (р 1 )_Е + Кр 2 )_Е. Комплексная мера Радона р сосредоточена на множестве Е, если выполняется равенство р = р_Е .

Обозначим через ^_с - это множество комплексных радоновых мер на ^ 0 . Отметим, что ^_с является комплексным линейным пространством. В пространстве ^_с вводится понятие широкой сходимости. Говорят, что последовательность радоновых мер р_т широко сходится к радоновой мере р , если для любой функции p Е Ф(^ о ) числовая последовательность р_т(р") сходится к р(р). Обозначение р = lim р_т. т^т

Вводятся некоторые понятия множеств, связанные с пространством ^с .

Множество Е с ^_с называется широко ограниченным, если для любой функции p Е Ф(^ о ) выполняется неравенство sup|р(p)| < ю.

[ЛЕЕ

Множество Е с ^_с называется сильным ограниченным, если для любого компакта К с ^ 0 выполняется неравенство sup|р|(^) < ю.

ЛЕЕ

Множество Е с ^_с называется компактным, если из любой последовательности р_т с Е можно извлечь широко сходящуюся подпоследовательность.

Компактный множество в ^с, содержащее пределы широко сходящихся последовательностей элементов этого множества, называется компактом.

Теорема 2. (CM. [5]) Всякая широко ограниченное множество в ℜ является сильно ограниченным множеством.

Для множества положительных мер признак сильной ограниченности можно усилить.

Теорема 3. Пусть E – множество положительных радоновых мер на ⁿ , Ф,- всюду плотно множество в пространстве Ф (□ n ) . Тогда если множество { ( ц , ф )| : це E } ограничено для любой функции фе Ф_м то множество E сильно ограничено.

Доказательство. Пусть K сП П - компакт. В множестве Ф, найдётся такая функция ф , что будет выполняться неравенство х ( z ) = ф ( z ) . Пусть ц е E • Тогда

ц ( K ) = J Х к ( z ) d A ( z ) ^ J ф ( z ) d ц ( z ) ^ sup { ( ц , ф ) : ц ^{е E} } . □ 0                          □ 0

Из этого следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть ц , r е ( 0, да) - сеть радоновых мер и пусть для любой функции ф существует предел ( ц , ф ) при r ^ да • Тогда сеть ц широко сходится к некоторой мере v при r ^ да .

Доказательство.

Пусть последовательность t_m >  0 сходится к бесконечности. Из условия теоремы следует, что последовательность ц широко ограничена. По теореме 3.8 у последовательности t_m есть подпоследовательность т_т такая, что последовательность ц широко сход-ится к некоторой радоновой мере т . Докажем, что ц ^ v при r ^ да . Если это не так, то существуют число ^ >  0 , последовательность r_m ^да и функция фе Ф (□ П ) такие , что ( ц_Гт , ф ) - (и , ф )|> ^ . Это неравенство противоречит соотношениям ( ц , ф ) ^ (и , ф ) и ( ц - ц , ф ) ^ 0 . Теорема доказана.

Теорема 5. Если последовательность ц = ц,+ ц2т комплексных радоновых    мер    является сходящейся, то у неё существует подпоследовательность ц, такая что послед-овательности |ц |, (цтJ ,

( ц 2, m_k )₊ будут сходящимися.

Доказательство. Из того, что последовательность ц сходится, следует, что она является широко ограниченной. По теореме 3 она будет сильно ограниченной. Значит сильно ограниченными будут последовательности |ц |, ( ц_т J₊, ( ц ,™J₊ • Тогда по теор-еме 3.8 эти последовательности будут компактными. Из этого легко следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Пусть ц - радонова мера, E - борелевское множество. Множество E называется измеримым по Жордану относительно меры ц , если Щ( д Е ) = 0 . Из теоремы 0.5 ’ [5] вытекает следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть последовательность комплексных радоновых мер ц _т = Ц 1 _т + Ц 2 _т сходится к мере ц и пусть существует предел ц = lim | ц _т |. Пусть ,       ,                                                                                     т ^^

борелевское множество E измеримо по Жордану относительно ц . Тогда ^{lim (} Ц т ) E = M e • т ^да

Заметим, что теорема 3 сформулируется для положительных мер.

Применение теорема 3 к мерам (цт)+, (ц т)+ приводит к доказательству нашей теоремы.

Пусть ц - последовательность борелевских мер на компакте W .

Говорят, что после-довательность ц слабо сходится к мере ц , если для любой функции f е C ( W )

^lim [ f ⁽ x "d M _nt ⁽ x ) = [ f ⁽ x ) M x ) •                        ⁽3.⁵⁾

m ^rc

WW

Теорема 7. Пусть последовательность комплексных радоновских мер ц на □ n широко сходится к радоновской мере ц и пусть существует предел ц = lim | ц„ . Пусть компакт к измерим по Жордану относительно меры ц . т >да

Тогда последовательность ( ц )_к слабо сходится к ц .

Доказательство.

По теореме 3.11 последовательность ( ц ^ широко сходится к мере ц . Пусть f е C ( K ) произвольная функция. Из теоремы Урысона следует, что функцию f можно продолжить до непрерывной финитной функции на ⁿ . Продолженную функцию мы также будим обозначать f . Тогда

lim J f ( x ) d ( цт ) K ( x ) = lim J f ( x ) d ( цт ) K ( x ) = J f ( x ) d цк ( x ) = J f ( x ) d цк ( x ) •

^{K n} 0 ⁿ 0 ^K

Теорема доказана.

Сформулируем в виде отдельной теоремы такое следствие теоремы 7.

Теорема 8. Пусть последовательность комплексных радоновских мер ц на 0 П широко сходится к радоновской мере ц и пусть существует предел ц / = lim| ц . Пусть компакт K сП П измерим по Жордану относительно меры / / т ^да

. Тогда lim цт (K )= ц(K) • т ^да

Доказательство. Если в равенстве (3.6) взять f ( x ) = 1 , то получили утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 9. Если Ц к - компактная последовательность в Ж_с и с?(ф к ,ц) ^ 0, то Ц к широко сходится к ц.

Доказательство. Если утверждение теоремы неверно, то существует функция ф Е Ф и две подпоследовательности ц^), Цк(2)последовательности цк такие, что lim (ц (1), ф) ^ lim (ц (2), ф ).

р^0    ^кр         р^0    ^кр

Пусть vp = цк(1) — цк(^), а фт - та последовательность функций из Ф, которая определяет метрику d. Поскольку фт всюду плотная последовательность в Ф, то существует подпоследовательность ^т последовательности фт, которая сходится к ф в пространстве Ф. Существует компакт W Е ^q , такой что supp фт с W для любого т. Поэтому с некоторой константой М, не зависящей от т, выполняется неравенство lim |ру(ф)| < М^ф — ^тН. Из р^ет этого следует, что Ур(ф) ^ 0. Это противоречит выбору ф. Теорема доказана.