Свойство Банаха - Сакса



Владикавказский математический журнал

Июль–сентябрь, 2005, Том 7, Выпуск 3

СВОЙСТВО БАНАХА — САКСА ¹

Е. М. Семенов, Ф. А. Сукочев

Профессору Юрию Федоровичу Коробейнику в связи с его 75-летием

Статья посвящена изложению и обсуждению свойства и p -свойства Банаха — Сакса. Вводится понятие индекса Банаха — Сакса. Основное внимание уделено перестановочно-инвариантным пространствам. Показано, что свойство и p -свойство Банаха — Сакса тесно связаны с другими геометрическими свойствами банаховых пространств (тип пространства, p -выпуклость, индексы Бойда). В качестве примера рассматриваются пространства Орлича и L _p,_q .

Пусть E — банахово пространство, X k Е E ||X k k 6 1, k = 1, 2,... Тривиальная оцен-

II n II ка || ^2 Xk || 6 n справедлива всегда. В теории банаховых пространств часто возникает k=1

задача о получении нетривиальных оценок типа

n

= o(n)

x k k=1

при n — го. Предположение о слабой сходимости к 0 (обозначается Xk -- 0) оказывается недостаточным для этого. Действительно, рассмотрим в гильбертовом пространстве l2 n последовательность ортов en = (0, 0,..., 1, 0 ...) с повторениями

(X k ) = (e l , e i ,..., e i , e 2 , e 2 ,..., e 2 ,...).

| {Z      } | {Z }

m1          m2

w

Очевидно, Xk — 0. Если mk стремится к го достаточно быстро, то nI

I _n

^X k > 2

k =1

для всех n ∈ N. Более того, с помощью подобных рассуждений можно построить такую последовательность Xk Е I2, что |Xk|| = 1, Xk -- 0 и n

1 ⁿ lim - y^X k n ^^ n *—•

= 1.

k =1

Однако для некоторых подпоследовательностей (1) будет выполнено.

В 1930 году С. Банах и С. Сакс доказали следующую теорему ([1, гл. 12, 1.2]). Пусть 1 < p < го, Xk E Lp[0,1], Xk -- 0. Существуют такие константа C > 0 и подпоследова- тельность mk ∈ N, что

n xmk k=1

6 Cn ^max( P , 2 )

для всех n ∈ N, где через N обозначено множество натуральных чисел. Оценка точна в - ¹

следующем смысле. Если 1 < p 6 2, Xk(t) = (mes ek) p Kek (t), где Ke(t) — характеристическая функция измеримого множества e С [0,1], ek — последовательность дизъюнктных подмножеств [0,1], то Xk -w 0 и n

L p

= n p

xmk k=1

для любого n E N и любой возрастающей последовательности m k E N. Если 2 6 p < го, X k (t) = r k (t) = sign sin 2 ^k nt, то X k — 0 ив силу неравенства Хинчина

n

Vn 6

52 Xmk   6 VpVn k=1      LP для любого n ∈ N и любой возрастающей последовательности mk ∈ N. Теорема Банаха — Сакса приводит к следующим определениям.

Пусть E — банахово пространство и p >  1. Ограниченная последовательность {X k } С E называется p - B S -последовательностью ( B S -последовательностью), если существует подпоследовательность { y k } ⊂ { x k } такая, что

- ¹ sup n P n ∈ N

n

X yk k=1

< ∞

( ^X n .^ n k =1

y k

=0

Следуя [2, 3], мы будем говорить, что E обладает p - B S -свойством ( B S -свойством) и писать E ∈ p - BS ( E ∈ BS ), если всякая слабо сходящаяся к 0 последовательность содержит p - BS -подпоследовательность ( B S -последовательность). Очевидно, всякое банахово пространство обладает 1-BS-свойством. Множество Г(Е) = {p : p >  1, E E BS (p) } есть [1,a] или [1, a) для некоторого a >  1. Мы будем называть число а индексом Банаха — Сакса пространства E и писать:

Y (E) = {

α,

α -

0 ,

если Г(Е) = [1, а], если Г(Е) = [1, а).

Близкое понятие было введено С. А. Раковым в работе [4], где было изучено p - BS -свойство пространств Орлича.

Сформулированная выше теорема Банаха — Сакса означает, что y(L _P ) = min(p, 2) для p E (1, го ). Ясно, y(Li) = 1. В. Шленк доказал, что L i E BS [5].

Пусть p E (1, го ). Так как всякая слабо сходящаяся к 0 последовательность X _n E l p сходится к 0 покоординатно, то существует такая подпоследовательность { y _n } ⊂ { x _n } , что y _n = u _n +v _n , где k v n k i _p 6 2 ^{- n} для всех n E N и носители u _n E l p попарно дизъюнктны. Отсюда вытекает, что y(1 _p ) = p и y(co) = го . В силу теоремы Шура слабая и сильная сходимость в 1 1 совпадают, поэтому Y(l 1 ) = го .

Свойство Банаха — Сакса и p-свойство Банаха — Сакса изучались во многих работах. С. Какутани доказал, что всякое равномерно выпуклое пространство обладает свойством Банаха — Сакса [6, гл. 3, § 7, теорема 1]. Примеры рефлексивных пространств с безусловным базисом, но без свойства Банаха — Сакса были построены А. Баернстейном [7] и Б. Бозами [3].

Свойство Банаха — Сакса наследуется подпространствами. Поэтому универсальные пространства C или l _∞ также не принадлежат классу BS. С. А. Раков показал, что всякое пространство, имеющее тип Радемахера p £ (1, 2], обладает p-BS-свойством [4]. Наиболее полно BS- и p-BS-свойства изучены в классе перестановочно-инвариантных пространств. Приведем необходимые определения [8, 9].

Банахово функциональное пространство E на [0,1] с мерой Лебега называется перестановочно-инвариантным (r. i.) или симметричным, если

• 1)    из | x(t) | 6 | y(t) | вытекает x G E и ||x k E 6 НуНе ;

• 2)    из равноизмеримости x(t), y(t) и y G E следует x G E и Hx|e = НуНе •

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что E сепарабельно или сопряжено к сепарабельному.

Обозначим через K e (t) характеристическую функцию измеримого множества e С [0, 1].

Для любого т >  0 оператор

, x ( x(-) " т ^{x ( t )} = | ₀ ^T

, 0 6 t 6 min(r, 1), min(T, 1) < t 6 1

ограничен в r. i. пространстве E и | ^ _т Не 6 max(1,r). Числа

= lim 'n HgTНе , вЕ = lim ‘n ”"'HE тU ln T          'ln T называются индексами Бойда пространства E. Всегда 0 6 «е 6 Зе 6 1- Без ограничения общности можно считать ||к(о,1) Не = 1-

Если E — r. i. пространство, то через E 0 обозначается множество измеримых на [0,1]

функций, для которых

k x k E 0

sup k y k E 6 ¹

j x(t)y(t)dt 0

< ∞ .

Известно, что E ⁰ также r. i. пространство. Если E сепарабельно, то E ⁰ совпадает с сопряженным пространством E ^∗ и их нормы равны. Если E сепарабельно, то вложение E ⊂ E ⁰⁰ изометрично.

Пространства Лоренца L p,q играют важную роль в теории r. i. пространств. Если 1 < p <  го , 1 6 q 6 го , то через L p,_q обозначается множество суммируемых функций, для которых

• /     1                 \ q

llXl|Lp,q = I q [ (X*(t)t p )qy I < ГО, pt где x*(t) — перестановка функции |x(t)| в убывающем порядке. Для q = го норма модифицируется обычным образом. Если q > p, то k · kLp,q — квазинорма, эквивалентная некоторой норме. Если 1 6 q < r < го, то Lp,q С Lp,r и это вложение строгое. Очевидно, Lp,p совпадает с Lp.

Обозначим через Ф множество возрастающих вогнутых на [0,1] функций, удовлетворяющих условию ф(0) = 0, ф(1) = 1. Всякая функция ф Е Ф порождает пространство Лоренца Л(ф) с нормой

1 llxb_W = j x * ^{(t) dф(t)} .

Пространство Л(ф) сепарабельно, если ф непрерывна в 0. В этом случае сопряженным к Л(ф) является пространство M(ф) с нормой kxkM (ф)

sup

0<т 61 ^ф(т )

τ j x*(t) dt.

Пусть M (t ) — возрастающая выпуклая функция на [0, го ), lim. 1 M (t) = t lim м^ = 0.

Тогда пространством Орлича LM называется множество суммируемых функций, для которых

k x k L M = ^inf | A : A > 0,

j M ( | x(t) l /A)

dt 6 1 <  го

}

Если E — несепарабельное r. i. пространство, то замыкание L _∞ в E обозначается через E ⁰ . За исключением случая, когда E = L ^ , пространство E ⁰ сепарабельно.

R. i. пространство E обладает свойством Фату, если из условий xn f x п. в., xn > 0, sup kxnk < го вытекает x Е E и ||xk = lim ||xnk. Пространство E называется p-вы-n                                n→∞ пуклым (p > 1), если существует такая константа C > 0, что для любого n Е N и любых xi, x2,..., xn Е E

n

E i x i l p

X i=1/

6 C

n kxikp

X i=1/

Если в определении BS -свойства ограничиться только последовательностями функций с дизъюнктными носителями, то мы приходим к определению B S - d -свойства. Аналогичным образом, если в определении множества r(E) ограничиться лишь последовательностями независимых функций или функций с дизъюнктными носителями, то мы приходим к определению множеств r i (E) и r d (E).

Если сепарабельное r. i. пространство обладает свойством Фату, то для него BS -свойство и BS - d -свойство эквивалентны. Предположение о свойстве Фату в этой теореме существенно. Нетрудно проверить, что всякое сепарабельное пространство Лоренца, обладает свойством Фату и B S - d -свойством. Поэтому всякое сепарабельное пространство Лоренца обладает BS -свойством. Однако классу BS принадлежит не всякое пространство М ф . Для того, чтобы пространство Орлича L m обладало BS-свойством необходимо и достаточно, чтобы L m было сепарабельно. Если же L m несепарабельно, то L M (замыкание L _∞ в L M ) не обладает B S -свойством.

Как отмечалось выше, индекс пространства может принимать любые значения из [1, го ]. В классе r. i. пространств индекс может принимать значения лишь из промежутка [1, 2]. Более того, для любого r. i. пространства E r(E) С Vi(E ) С r d (E) Q[1, 2]. Если сепарабельное r. i. пространство E p-выпукло для некоторого p >  1 и a E > 0, то y (E) > min(p, 2). В частности, если сепарабельное r. i. пространство E 2-выпукло и a E > 0, y(E ) = 2. Если E — сепарабельное r. i. пространство и a E >  2 , то r(E) = r i (E).

В этой теореме предположение а Е >  2 нельзя заменить на а Е >  2 . Действительно, r(L 2,i ) = [1, 2) и r i (L 2,i ) = [1, 2]. Если 1 < p 6 2, E — сепарабельное r. i. пространство, p € r d (E) и 0 <  а Е 6 в Е <  p , то Р € Г(Е ). В частности, если E — сепарабельное r. i. пространство и 0 < а Е 6 в Е <  2 , то

Г(Е) =r i (E)=r d (E ) П [1, 2].

Эта теорема позволяет значительно упростить задачу о нахождении индекса Банаха — Сакса конкретных r. i. пространств. Если 1 < p 6 2 и p € Г(Е ), то 0 < а Е 6 в Е <  p • Отсюда вытекает, что L r С E С Lp ,_ro для некоторого r <  го . Для p = 2 справедливо точное вложение E ⊂ L 2 . Таким образом максимальным элементом (в смысле вложения) в классе сепарабельных r. i. пространств с индексом p является LO, , ^ для 1 < p < 2 и L 2 для p = 2. Минимальный элемент (в смысле вложения) в классе сепарабельных r. i. пространств с заданным индексом Банаха — Сакса отсутствует.

Пусть E , как и ранее, сепарабельное r. i. пространство. Для того, чтобы Г(Е) было нетривиально (т. е. Г(Е) = { 1 } ) необходимо и достаточно, чтобы Г d (E) было нетривиально и 0 < а Е 6 в Е < 1. Для основных классов сепарабельных r. i. пространств эта теорема допускает следующее уточнение. Пусть E есть пространство Орлича L M или пространство Лоренца Л(ф) или пространство Марцинкевича M ⁰ (ф). Для того, чтобы Г(Е) было нетривиально необходимо и достаточно, чтобы 0 < а Е 6 в Е <  1.

Однако эта теорема не может быть распространена на множество всех сепарабельных r. i. пространств. Универсальное в классе пространств с безусловным базисом пространство Пелчинского U допускает реализацию как сепарабельное r. i. пространство [9]. Пространство U имеет безусловный базис, поэтому 0 <  а и 6 в и <  1. Однако U / BS, так как U содержит как подпространство пространство, построенное А. Баернстейном [7], следовательно F(U) = { 1 } .

Был вычислен индекс Банаха — Сакса пространств L _p,q . Доказано, что для p € (1, го ), q ^{G [1, го )}

Y ^(L P,q ) = *

min(p, q, 2), min(p, 2), 2 - 0,

p = 2, q = 1 или p = 2, 1 < q 6 2, p = 2, q = 1, p = 2, q = 1 или q > 2,

Y (L 0,^ ) = {

min(p, 2), 2 - 0,

p = 2, p = 2 .

При нахождении y (L p,q ) появились новые эффекты, которые отсутствовали в классическом случае пространств L _p . Тип Радемахера пространства L _p,q не всегда совпадает с его индексом Банаха — Сакса. Для некоторых значений p,q множество r(L _p,_q ) есть полуоткрытый интервал. Функция Y(L p,q ) разрывна при q = 1. Для любого а € (1, 2] множество пространств L _p,_q с индексом >  а неустойчиво относительно комплексного и вещественного методов интерполяции.

Изложенные выше результаты о свойстве Банаха — Сакса и индексе Банаха — Сакса r. i. пространств содержатся в работах [10–13].

Работы [14] и [15] содержат результаты о свойстве Банаха — Сакса и индексе Банаха — Сакса симметрично-нормированных идеалов компактных операторов и симметрич- ных пространств измеримых операторов, являющихся соответственно некоммутативными аналогами симметричных пространств последовательностей и r. i. пространств функций. Изложим вкратце эти результаты.

Если E — это симметричное сепарабельное пространство последовательностей, то, как показано в [14], E обладает B S -свойством тогда и только тогда, когда симметрично нормированный идеал компактных операторов C E обладает B S -свойством. Здесь C E — это пространство всех компактных операторов x на некотором сепарабельном гильбертовом пространстве H , для которых s(x) G E с нормой k x k c E = ||s(x) k E , где s(x) = { s _n (x) } n=i — это последовательность s-чисел оператора х. Подход, использованный в [14], базируется на следующем утверждении: любая базисная последовательность в C E содержит подпоследовательность, эквивалентную некоторой базисной последовательности в пространстве l 2 ⊕ E. В некотором смысле этот результат является некоммутативным аналогом следующего факта: любая базисная последовательность в E содержит подпоследовательность, эквивалентную базисной последовательности дизъюнктных элементов. Отсюда, в частности, мы можем заключить, что пространство C E обладает BS-свойством тогда и только тогда, когда E обладает B S -d-свойством. Более того, вопрос об описании множества Г(Се ) сводится к описанию множества r d (l 2 ® E ).

Подобный подход неприменим при изучении свойств типа Банаха — Сакса в более общем случае симметричных пространств измеримых операторов E(M, т), ассоциированных с сепарабельным r. i. пространством E и полуконечной алгеброй фон Неймана M , снабженной точным нормальным полуконечным следом τ (за более подробной информацией об этих пространствах мы отсылаем к статье [16] и содержащейся в ней библиографии). Использованный в [15] метод может быть охарактеризован как некоммутативный аналог методов, использованных в [10–13]. Основной результат в [15] показывает следующее: если алгебра фон Неймана (M, т ) неатомична и если r. i. пространство E обладает свойством Фату, то E(M, т ) обладает BS-свойством тогда и только тогда, когда E обладает BS-d-свойством. Отсюда, в частности, следует, что пространство L M (М,т ) нельзя вложить изоморфно в пространство C _L 0 , если пространство Орлича L M несепарабельно.

Если E = L p , то пространство E(М,т ) совпадает с (так называемым) некоммутативным L p -пространством. Как следует из работ [17-20] имеет место равенство r(L p ) = r(L p (M, т)) при всех 1 < p <  го . Для пространств Лоренца (и их обобщений) аналог последнего равенства получен в [15].