Сжимающие проекторы в пространствах Лебега с переменным показателем

Автор: Тасоев Батрадз Ботазович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 1 т.19, 2017 года.

Бесплатный доступ

В работе приведено описание структуры положительных сжимающих проекторов в пространствах Лебега Lp(·) с σ-конечной мерой и с существенно ограниченным переменным показателем p(·). Показано, что всякий положительный сжимающий проектор P:Lp(·)→Lp(·) допускает матричное представление, а ограничение P на полосу, порожденную слабой порядковой единицей своего образа, представляет собой взвешенный оператор условного ожидания. Попутно получено описание образа R(P) положительного сжимающего проектора P. Отметим, что в случае конечной меры при постоянном показателе существование слабой порядковой единицы в R(P) очевидно. В нашем же случае наличие слабой порядковой единицы в R(P) требует доказательства и мы строим ее конструктивно. Слабая порядковая единица в образе положительного сжимающего проектора играет ключевую роль в его представлении.

Еще

Оператор условного ожидания, сжимающий проектор, пространство лебега с переменным показателем, пространство накано, σ-конечная мера

Короткий адрес: https://sciup.org/14318568

IDR: 14318568

Текст научной статьи Сжимающие проекторы в пространствах Лебега с переменным показателем

Р. Г. Дуглас в своей работе [8] показал, что всякий сжимающий проектор в пространстве Ь1(Д Др) с конечной мерой, который оставляет константы неподвижными, представляет собой оператор условного ожидания. Т. Андо в работе [4] обобщил этот результат на Lp(Q, ДЩ с конечной мерой. Посредством оператора условного ожидания П. Г. Доддс, Ч. Б. Хюсманс и Б. де Пахте в работе [7] привели полное описание положительных порядково непрерывных проекторов, действующих в идеальных подпространствах в Li(Q, Др) с конечной мерой. Пользуясь техникой банаховых решеток, Ю. А. Абрамович, К. Д. Алипрантис и О. Буркиншо в [2], для p = 1, и Ю. А. Абрамович и К. Д. Алипрантис в [3, §5.3, 5.4], для 1 6 p <  то, привели другое элегантное доказательство результатов Р. Г. Дугласа, и Т. Андо. Д. Е. Уолберт в работе [9] показал, что всякий положительный сжимающий проектор в Li(Q, Др) с произвольной мерой есть оператор условного ожидания при условии, что сужение этого оператора на L^ также является сжимающим. С. Бернау и Е. Лейси в работе [5] показали, что если положительные сжимающие проекторы в Lp-пространствах с произвольной мерой ограничить на. полосы, порожденными элементами из его образа, то эти ограничения описываются с помощью оператора, условного ожидания.

В настоящей работе приводится описание структуры положительных сжимающих проекторов в Lpp)-npocTpaнствах с ст-конечной мерой с переменным показателем p(-).

  • 1    Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-01-91339 ННИОа.

  • 2.    Вспомогательные леммы и определения

Попутно мы получили описание образа этого проектора. Следует отметить, что во всех вышеперечисленных работах в случае конечной меры при постоянном показателе существование слабой порядковой единицы в образе положительного сжимающего проектора очевидно. В нашем же случае наличие единицы требует доказательства, и мы строим ее конструктивно. Слабая порядковая единица в образе положительного сжимающего проектора играет ключевую роль в его представлении.

Пусть (П, X, д) — проетркшетво с ст-коненной эюрой. т. е. П — непустое множество. X — ст-алгебра подмножеств множества П, д — полная мера на X, и существует возрастающая по включению последовательность {Пп} С X такая, что П = иП=1 Пп, д п) < то для всех n Е N. Для пронзво.тьиого множества. A Е X енмво.том 1a будем обозначать его характеристическую функцию.

Как обычно, символом Lq(^ X, д) будем обозначать множество классов эквивалентности измеримых почти всюду конечных функций. Всюду далее функция p(-) Е Л^(П, X, д) такая. что 1q 6 p(-) почти всюду на. П. Обозначилi символом Lp(•)(П, X, д) множество всех функций f Е Lq (П, X, д), для ко торых fQ |f (t)|p(t)dд(t) < то. В пространстве Lp(.) (П, X,д) введем норму || • || по формуле

Ilf fl := inf 0: /| УДОдС) 6 1

(f Е L p( ) (П, X,д)).

Q

Тогда (Lp(•)(П, X,д), || • ||) является банаховым пространством ввиду [6, Theorem 2.71]. Кроме того, из определения Lp(•)(П, X, д) видно, что оно идеальное подпространство в Lq(^ X, д). Алгебраические и рещеточные операции в Lp(•)(П, X, д) осуществляются поточечно почти всюду.

Определение 1. Норма произвольной нормированной решетки (E, || • ||) называется строго монотонной, если из соотношения |x| < |y| следует |x| < ||y| для всех x,y Е E.

Лемма 1. Норма в пространстве Lp ( ) (П, X, д) строго монотонна и порядково непрерывна.

C Доказательство порядковой непрерывности нормы в Lp(•)(П, X, д) можно найти в [6, Theorem 2.62]. Покажем строгую монотонность нормы. Возьмем произвольные f, g Е Lp(•)(П, X, д) такие, что 0 < |f| < |g|. Предположим от противного, что |f || > |g|. Так как функция p(-) существенно ограничена, то в силу [6, Proposition 2.21] выполняются соотношения

, f( I fl ДС „ /V I g| УД , f( I g| Д’

1               dд <             dд 6             dд 1.

kf k                      kf k                      kg k

Q                Q                Q

Из полученного противоречия следует |f || < |g|. в

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Оператор T : X ^ Y между нормированными пространствами X, Y называется сэюимающим, если его норма меньше единицы.

Всюду далее E — замкнутый по норме порядковый идеал в Lp( •)(П, X, д). P : E ^ E — положительный сжимающий проектор, т. е. P2 = P, Pf > 0 для всех f > 0 и |Р|| 6 1. Символом R(P) := {P(f) : f Е E} будем обозначать его образ. Напомним, что f Е E называется слабой порядковой единицей пространства М, если supp f = supp M, где supp M — носитель M (см. [1, глава 4, §3]). Положим по определению

So := {A е S : A = suppf, f G R(P), f > 0}, t. e. система множеств So состоит из носителей положительных функций, классы эквивалентности которых содержаться в R (P).

Лемма 2. Пространство R(P ) является порядково замкнутой банаховой подрешет-коп в E со слабой порядковой едпшщей e G R (P ).

C Ввиду того. что P 2 = P п P — непрерывный oneратор. пространство R(P ) замкнуто по норме в E. Так как норма псц>ядково непрерывна. R(P ) — порядково замкнутое банахово пространство. Покажем, что R(P ) — векторная решетка. Возьмем произвольный элемент f G R(P ). В силу положптелыюстп P верно неравенство P (IfI) > IP(f)I = If I- Предположим, что P (|f|) > |f |. Тогда в силу строгой монотонности нормы (лемма 1) следует ||P(|f|)| > kf ||. что противоречит условию ||P|| 6 1. Таким образом, P (|f |) = |f | и |f | G R(P ). Тем самым, R(P ) — порядково замкнутая банахова подрешетка. Чтобы показать существование слабой порядковой единицы положим по определению М := {1a : A G So} C Lo(Q, S,^). Тогда существует sup M G Lo(Q, S,^) и в силу [1, глава 1, §6, теорема 17] найдется последовательность (An) C So такая, что sup М = sup{1An ; n G N}. Пу. ть e := P”1 f,. г,- fn G R (P). /„ > 0. A = suppfn (n G N). Так как R(P ) замкнута, по норме в E. то e G R(P ). Ясно, что supp e = supp R(P ). Следовате.твпо. e — слабая порящсовая единица в R(P ). в

Лемма 3. Пусть e из жлмы 2. Система множеств So является a-подколвлом в S с едшшпей Qo := supp e.

C В силу .теммы 2 R(P ) содержит слабую порядковуто единицу e. Следовате.твпо. Qo = suppe будет единиттей системы So.

Возьмем произвольную последовательность (An) C So. Тогда An = supp fn, г де fn G R(P ) fn >  0 (n G N). Положим по определению f := P^1 u ffp n • В силу леммы 2 f G R(P ). Ясно, что suppf = Sn=i An- Следов;тте.твно. Sn=i An G So.

Возьмем произвольные A, В G So и покажем что их разность A \ В G So. Пусть 0 6 f, g G R (P ) такш\ что A = supp f нВ = supp g. Положим по опреде.тешпо fn := (f — ng) V 0 для всех n G N. В силу леммы 2 п<зеледователыюеть (fn) содерлептея в R(P ). Так как (fn) порядково схощттся к функции 1a\b f G E. то по той эке лемме 2 1a\b f G R(P ). Ясно, что supp 1a\b f = A \ В. Следовате.твпо. A \ В G So. B

Символом {e}±± мы будем обоз:тачать полосу в E. порожденную элементом e G E.

Лемма 4. Пусть e из жлмы 2. Справедлив о равенство P ( 1 д/) = 1 a P (f ) для всех A G So i if G {e}±±-

C Пу отв 0 6 f G {e}±± и A G So. Toгда f Л ne f n f. Следовательно, в силу линейности и порядковой непрерывности оператора P достаточно доказать лемму для всех 0 6 f 6 e. Итак, пусть 0 6 f 6 e. Возьмем h G R(P ) тако!т. что A = supp h. Тогда e Л nh f n 1 A e ii ввиду того, что R(P ) — порядково замкнутая подрешетка (лемма 2). следует 1Ae G R(P).

В силу положительности оператора P выполняются неравенства 0 6 P ( 1 Af) 6 P(f ) ii 0 6 P ( 1 A f) 6 P ( 1 A e) = 1Ae. Следовательно, ввиду соотношения A C supp e полз'чнм supp P ( 1 A f) C A„P ( 1 A f) 6 1AP (f).               '

f           e - f

1 A e — P (1a f) = P ( 1 A (e — f )) 6 1 a P (e — f ) = 1 a P (e) — 1a P(f ). Следов;™o. P (Uf) >  1 a P (f )■ Таким <образом. P (1a f) = 1 a P (f ). B

Возьмем порядковую единицу e G R (P) (лемма 2) и положим по определению

F := e-1R(P) := {e-1f : f G R(P)} , где функция e 1 f определяется формулой f (t) e-1f (t):= 0e(t)’

t G supp e, t G Q \ supp e.

Ясно, что F — векторная подрешетка в Lq (Q, Х,ц) е носителем Qq := supp e. Обозначим ограничение всех функций из F нa Qq через F |q0. Тогда отображение f н- e-1 f является решеточным изоморфизмом из R(P ) нa F |q0.

Лемма 5. Все функции из F |q0 Хо-измеримы, символически, F |q0 С Lq(Qq, Xq , ц) .

C Возьмем произвольную положительнуто функцию f G F. Тогда существует положительная функция g G R(P ) таказI. что f = e-1g. Возьмем произвольное число a >  0. В силу того, что R(P ) — векторшш решетка. e,g G R(P ) и supp g С suppe. выполняются равенства, {t G Q : f (t) > a} = {t G Q : e-1 (t)g(t) > a} = {t G Q : g(t) > ae(t)} = {t G Q : g(t) V ae(t) — ae(t) > 0} = supp(g V ae — ae) G Xq. B

  • 3.    Основной результат

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть (Q, Х, ц) — прост!"лшство с а-кононно!1 мерой и Xq — некоторое a-подко.тьно в Х с едшшпей Qq. Фуикипя f G Lq(Q, Х, ц) называется Хо-нзмеримой. если supp f С Qq ii со orpiшнчошю f |q0 ii a Qq Хо-измеримо.

Все Хо-нзмернмые функции из Lq(Q, Х, ц) будем обозшпгать символом Lq(Q, Xq, ц). В частности. Lpp)(Q, Хо, ц) := Lpp)(Q, Х, ц) П L0(Q, Хо, ц) . Ясне). что L0(Q, Х0,ц) подалгебра. В Lq (Q, X, ц).

Пуств 0 < e G Lpp)(Q, Х, ц) и Xq — неюуторое a-подко.тыю в X с едшшпей Qq = supp e. Так как 1 6 p(^) G L^(Q, Х,ц). то в силу [6. Рreposition 2.12] ep(^ G L1(Q, Х,ц). Введем конечную меру ep()ц по формуле ep(•)ц(А) := R a ep()dц для всех A G Х. Возьмем произвольную функцию h G L1 (Q, X,ep(^ ц) ii положим по определению A(A) := R a hep(pdц для всех A G Xq. To гда A : Xq ^ R — конечная мера, и по теореме Радона — Никодима существует единственная функция E ep( ^(h|Xo) G L1(Qo, XQ,ep(^) ц) такая, что

У hep^ dц = E ep ep(')^(h|Xo )ep,<(1)

AA для всех A G Xq. Продолжим (функцию Eep( )p(h|Xo) на Q. полагая Eep( )p(h|Xo)(t) = 0 для всех t G Q \Qq. ii обозначим это про,должспнс снова, через: Eep( )p(h|Xo). Тогда в силу определения 2 Eep p(h|Xo) — еднпствеппый элемент из L1(Q, Хо, ep(")ц). удовлетворяющий соотношению (1).

Определение 4. Отображение Eep^ >p(^|Xq) : h ^ Eep( )p(h|Xo) из L1(Q, X,ep(^) ц) в L1(Q, Хо р(^ц). определяемое соотношением (1), называется оператором условного ож:и,0апи,.я лля меры ep()ц отпосителвио ст-кольца Xq с едшшпей Qq.

Лемма 6. Оператор условного ожидания Eep( ^ (^|Xq) : L1(Q, X,ep(^) ц) ^ L1 (Q, Xq, ep('^ ц) является линейным положительным порядково непрерывным проектором с нормой меньшей единицы.

C Доказательство леммы легко следует из теоремы Радона — Никодима и определения оператора Eep^ (JSq). B

Теорема 1. Пусть (Q, S,p) — прост];эанство с ст-конечной мерой, E — замкнутый по норме порядковый идеал в Lp()(Q, S,p), P : E ^ E — положительный сжимающий проектор. Тогда существуют 0 < e Е R (P ), ст-подкольцо Sq в Sc единицей Qq := supp e и единственная положительная функция w Е Lq(Q, S,ep(?)ф) такие, что supp R(P ) = Qq. supp w C suppQo ii справедливо представление P(f ) = eEep p(e-1 wf |Sq) для всех f ЕИ±± c e

C Пусть e. Qq = suppe 11 Sq it;: лемм 2 ii 3. В си.ту леммы 5 функция e 1P(f) Е Lq(Q, S,p) SQ-измерима. для всех f Е E. в частности. для f Е {e}±±. Осталось доказать представление j e-1 P(f e d. = j

AA

e ^fep^dp

для всех f Е {e}±± 11 A Е Sq.

Положим по определению M : = {e-1 f : f Е {e}±±}• Toгда M — порядковый идеал в Lq(Q, S,p). Более того, так как мера ep(^p конечна, то ввиду [6, Corollary 2.48] справедливы включения M C Lpp)(Q, S.epTp) C L1(Q, S,ep(?)p). Введем оператор T : M ^ M по формуле T(g) := e-1P(eg) для всех g Е M. Тогда T — положительный порядково непрерывный оператор в M. С помощью оператора T определим порядково непрерывный фупктщопал Ф : M ^ R по форму.те Ф(g) := Rq T(g')ep('')dp для всех g Е M. В силу [3, Theorem 5.26] существует единственная положительная функция w Е Lq(Q, S,ep(?)p) такая, что supp w C suppe = suppQo ii JQ T(g)ep(')dp = Ф(g) = Q wgep(^dp для всех g Е M. Следовательно, полагая g := e-1 f, в силу леммы 4 справедливы равенства j e-1 P(f e d. = j

A                Q

1Ae-1 P (f .   d = j

Q

e-1 P (1a f e d

= j T(1A9)ep^dp = j Q                Q

w1Agep(") dp = У

A

e 1wfep(^)dp

для всех f Е {e}±± 11 A Е Sq. B

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если в теореме 1 мера p конечна, показатель 1 6 р(^) < то есть константа ii P ( 1 ) = 1. где 1 — тождествешия едишша на П. то по лагая e = 1. мы получим результат типа Дугласа — Андо [3, Corollary 5.52, 5.53], [7, Proposition 3.3]. В случае, когда p ст-конечна, то из упомянутой теоремы следует результат Бернау и Лейси [5, Theorem 3.4].

Следствие 1. Пусть (П, S,p) — прост]эанство с ст-конечной мерой, E — замкнутый по норме порядковый идеал в Lp(^)(П, S,p), P : E ^ E — положительный сжимающий проектор. Тогда существуют замкнутые идеальные подпространства E1, E2 в E и положительные сжимающие операторы P11 : E1 ^ E1 и P12 : E2 ^ E1 такие, что E = E1 ®E2, P11 P12 = P12, P121 = P11, и oneратор P имеет матричное представление р = ( Pi 1 P12

P =  0   0

.

Более того, существуют 0 < e Е R(P ), ст-подкольцо Sq в S с единицей Qq = supp e и единственная положительная функция w Е Lq(Q, S,ep(^ ) p) такие, что supp R(P ) = Qq, supp w = Qq. ii имеет место представлеппе P11(f ) = eEep p(e-1 wf |Sq) для всех f Е E1.

C В силу теоремьi 1 существуют 0 < e G R(P ). а-подк<хльпо Xo в X с единицей Qo = supp e ii единственная положительная функция w G Lo(Q, X,ep(^) такие, что supp R(P ) = Qo, supp R(P ) = Qo, и справедливо представление

P (f ) = eE ^(e-M |Xo)                       (2)

для всех f G {eJ^. Положим в качестве Ei := 1q0 E = {e}^ 11 E2 := 1q \ q0 E = {e}^. Введем операторы P11 : E1 ^ E1 11 P12 : E2 ^ E1 по <1>ор>мулам P11 (f ) := P(f ) для веек f G E1 1i P12 (g) := P (g) для веек g G E2. Ясно. что P121 = P11. Так как R(P12 ) C R(P ) C {e}±± = Ei. т о PnP12 = Pi2. Очевидno. что E = Ei ф E2. 11 Pr P2 — положительные операторы с нормами меньше единицы. Ограничение оператора P на E1 ееть P11. Следовательно, в силу (2) выполняются равенства. P11 (f ) = P(f ) = eEep^r (e-1 wf |Xo) для веек f G E1. B

В заключение рассмотрим вопрос об описании образа, положительного сжимающего проектора P, действующего в Lpy)(Q, X,д).

Предложение 1. Пусть (Q, X, д) — прост].эанство с п-конечной мерой, P — положительный сжимающий проектор, действующий в Lp(.) (Q, X, д). Тогда существуют функция 0 < e G R (P ) и п-подкольцо Xo с единицей Qo = supp e такие, что выполняется равенство R(P ) = e • Lp0(Q, Xo,ep' д).

C Ввиду лемм 2 ii 3 возьмем порядковую единицу 0 < e G R(P ) 11 и-подке>льтщ Xo с единицей Qo = suppe. Рассмотрим пространство Lpy)(Qo, Xo,дo)■ где мера, дo есть сужение меры ep()д и a Xo- а под фдикцией p(-) мы подразумеваем ее сужение на. Qo-Ввиду леммы 5 для доказательства, нашего утверждения достаточно установить, что (e-1R(P ))|q0 = Lpy)(Qo, Xo, дo), где (e-1 R(P ))|q0 обозначает сужение всех функций из e-1 R(P ) на Qo- В силу леммьi 4 множество (e-1R(P ))|q0 содержит все характеристические функции множеств из Xo- Так как (e-1R(P ))|q0 является порядково замкнутой подрешеткой в Lp^)(Qo, Xo, Дo), то в силу спектральной теоремы Фрейденталя следует справедливость утверждения, в

Список литературы Сжимающие проекторы в пространствах Лебега с переменным показателем

  • Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004. 812 с.
  • Abramovich Y. A., Aliprantis C. D., O. Burkinshaw O. An elementary proof of Douglas theorem on contractive projections on L1 spaces//J. Math. Anal. Appl. 1993. Vol. 177. P. 641-644.
  • Abramovich Y. A., Aliprantis C. D. An Invitation to Operator Theory. Providence., R.I.: Amer. Math. Soc., 2002. (Graduate Stud. in Math., 50).
  • Ando T. Contractive projections in Lp spaces//Pacific J. Math. 1966. Vol. 17. P. 391-405.
  • Bernau S. J., Lacey E.H. The range of contractive projection on an Lp space//Pacific J. Math. 1974. Vol. 53, № 1. P. 21-41.
  • Cruz-Uribe D. V., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces. Springer, 2013.
  • Dodds P. G., Huijsmans C. B., de Pagter B. Characterizations of conditional expectation-type operators//Pacific J. Math. 1990. Vol. 141, № 1. P. 55-77.
  • Douglas R. G. Contractive projections on an L1 space//Pacific J. Math. 1965 Vol. 15, № 2. P. 443-462.
  • Wulbert D. E. A note on the characterization of conditional expectation operators//Pacific J. Math. 1970. Vol. 34, № 1. P. 285-288.
Статья научная