Сжимающие проекторы в пространствах Лебега с переменным показателем

Р. Г. Дуглас в своей работе [8] показал, что всякий сжимающий проектор в пространстве Ь1(Д Др) с конечной мерой, который оставляет константы неподвижными, представляет собой оператор условного ожидания. Т. Андо в работе [4] обобщил этот результат на L_p(Q, ДЩ с конечной мерой. Посредством оператора условного ожидания П. Г. Доддс, Ч. Б. Хюсманс и Б. де Пахте в работе [7] привели полное описание положительных порядково непрерывных проекторов, действующих в идеальных подпространствах в Li(Q, Др) с конечной мерой. Пользуясь техникой банаховых решеток, Ю. А. Абрамович, К. Д. Алипрантис и О. Буркиншо в [2], для p = 1, и Ю. А. Абрамович и К. Д. Алипрантис в [3, §5.3, 5.4], для 1 6 p <  то, привели другое элегантное доказательство результатов Р. Г. Дугласа, и Т. Андо. Д. Е. Уолберт в работе [9] показал, что всякий положительный сжимающий проектор в Li(Q, Др) с произвольной мерой есть оператор условного ожидания при условии, что сужение этого оператора на L^ также является сжимающим. С. Бернау и Е. Лейси в работе [5] показали, что если положительные сжимающие проекторы в Lp-пространствах с произвольной мерой ограничить на. полосы, порожденными элементами из его образа, то эти ограничения описываются с помощью оператора, условного ожидания.

В настоящей работе приводится описание структуры положительных сжимающих проекторов в L_pp)-npocTpaнствах с ст-конечной мерой с переменным показателем p(-).

• ¹    Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-01-91339 ННИОа.

• 2.    Вспомогательные леммы и определения

Попутно мы получили описание образа этого проектора. Следует отметить, что во всех вышеперечисленных работах в случае конечной меры при постоянном показателе существование слабой порядковой единицы в образе положительного сжимающего проектора очевидно. В нашем же случае наличие единицы требует доказательства, и мы строим ее конструктивно. Слабая порядковая единица в образе положительного сжимающего проектора играет ключевую роль в его представлении.

Пусть (П, X, д) — проетркшетво с ст-коненной эюрой. т. е. П — непустое множество. X — ст-алгебра подмножеств множества П, д — полная мера на X, и существует возрастающая по включению последовательность {П_п} С X такая, что П = иП=1 П_п, д (П_п) < то для всех n Е N. Для пронзво.тьиого множества. A Е X енмво.том 1a будем обозначать его характеристическую функцию.

Как обычно, символом Lq(^ X, д) будем обозначать множество классов эквивалентности измеримых почти всюду конечных функций. Всюду далее функция p(-) Е Л^(П, X, д) такая. что 1q 6 p(-) почти всюду на. П. Обозначилi символом L_p(•)(П, X, д) множество всех функций f Е Lq (П, X, д), для ко торых f_Q |f (t)|^p(t)dд(t) < то. В пространстве Lp(.) (П, X,д) введем норму || • || по формуле

Ilf fl := inf 0: /| УДОдС) 6 1

(f Е L p( • ) (П, X,д)).

Q

Тогда (L_p(•)(П, X,д), || • ||) является банаховым пространством ввиду [6, Theorem 2.71]. Кроме того, из определения L_p(•)(П, X, д) видно, что оно идеальное подпространство в Lq(^ X, д). Алгебраические и рещеточные операции в L_p(•)(П, X, д) осуществляются поточечно почти всюду.

Определение 1. Норма произвольной нормированной решетки (E, || • ||) называется строго монотонной, если из соотношения |x| < |y| следует |x| < ||y| для всех x,y Е E.

Лемма 1. Норма в пространстве L_p ( • ) (П, X, д) строго монотонна и порядково непрерывна.

C Доказательство порядковой непрерывности нормы в L_p(•)(П, X, д) можно найти в [6, Theorem 2.62]. Покажем строгую монотонность нормы. Возьмем произвольные f, g Е L_p(•)(П, X, д) такие, что 0 < |f| < |g|. Предположим от противного, что |f || > |g|. Так как функция p(-) существенно ограничена, то в силу [6, Proposition 2.21] выполняются соотношения

, f( I fl ДС „ /V I g| УД , f( I g| Д’

1               dд <             dд 6             dд 1.

kf k                      kf k                      kg k

Q                Q                Q

Из полученного противоречия следует |f || < |g|. в

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Оператор T : X ^ Y между нормированными пространствами X, Y называется сэюимающим, если его норма меньше единицы.

Всюду далее E — замкнутый по норме порядковый идеал в Lp( •)(П, X, д). P : E ^ E — положительный сжимающий проектор, т. е. P2 = P, Pf > 0 для всех f > 0 и |Р|| 6 1. Символом R(P) := {P(f) : f Е E} будем обозначать его образ. Напомним, что f Е E называется слабой порядковой единицей пространства М, если supp f = supp M, где supp M — носитель M (см. [1, глава 4, §3]). Положим по определению

So := {A е S : A = suppf, f G R(P), f > 0}, t. e. система множеств So состоит из носителей положительных функций, классы эквивалентности которых содержаться в R (P).

Лемма 2. Пространство R(P ) является порядково замкнутой банаховой подрешет-коп в E со слабой порядковой едпшщей e G R (P ).

C Ввиду того. что P ² = P п P — непрерывный oneратор. пространство R(P ) замкнуто по норме в E. Так как норма псц>ядково непрерывна. R(P ) — порядково замкнутое банахово пространство. Покажем, что R(P ) — векторная решетка. Возьмем произвольный элемент f G R(P ). В силу положптелыюстп P верно неравенство P (IfI) > IP(f)I = If I- Предположим, что P (|f|) > |f |. Тогда в силу строгой монотонности нормы (лемма 1) следует ||P(|f|)| > kf ||. что противоречит условию ||P|| 6 1. Таким образом, P (|f |) = |f | и |f | G R(P ). Тем самым, R(P ) — порядково замкнутая банахова подрешетка. Чтобы показать существование слабой порядковой единицы положим по определению М := {1a : A G So} C Lo(Q, S,^). Тогда существует sup M G Lo(Q, S,^) и в силу [1, глава 1, §6, теорема 17] найдется последовательность (An) C So такая, что sup М = s^up{1An ; n ^G N^}. Пу. ть e _:= P”1 f,. г,- fn ^{G R} (P). /„ > 0. A = suppfn (n G N). Так как R(P ) замкнута, по норме в E. то e G R(P ). Ясно, что supp e = supp R(P ). Следовате.твпо. e — слабая порящсовая единица в R(P ). в

Лемма 3. Пусть e из жлмы 2. Система множеств So является a-подколвлом в S с едшшпей Q_o := supp e.

C В силу .теммы 2 R(P ) содержит слабую порядковуто единицу e. Следовате.твпо. Qo = suppe будет единиттей системы So.

Возьмем произвольную последовательность (An) C So. Тогда An = supp fn, г де fn G R(P ) fn >  0 (n G N). Положим по определению f := P^1 u ffp n • В силу леммы 2 f G R(P ). Ясно, что suppf = Sn=i An- Следов;тте.твно. Sn=i An G S_o.

Возьмем произвольные A, В G So и покажем что их разность A \ В G So. Пусть 0 6 f, g G R (P ) такш\ что A = supp f нВ = supp g. Положим по опреде.тешпо fn := (f — ng) V 0 для всех n G N. В силу леммы 2 п<зеледователыюеть (fn) содерлептея в R(P ). Так как (fn) порядково схощттся к функции 1a\b f G E. то по той эке лемме 2 1a\b f G R(P ). Ясно, что supp 1a\b f = A \ В. Следовате.твпо. A \ В G So. B

Символом {e}^±± мы будем обоз:тачать полосу в E. порожденную элементом e G E.

Лемма 4. Пусть e из жлмы 2. Справедлив о равенство P ( 1 д/) = 1 a P (f ) для всех A G So i if G {e}^±±-

C Пу отв 0 6 f G {e}^±± и A G So. Toгда f Л ne f n f. Следовательно, в силу линейности и порядковой непрерывности оператора P достаточно доказать лемму для всех 0 6 f 6 e. Итак, пусть 0 6 f 6 e. Возьмем h G R(P ) тако!т. что A = supp h. Тогда e Л nh f n 1 A e ii ввиду того, что R(P ) — порядково замкнутая подрешетка (лемма 2). следует 1Ae G R(P).

В силу положительности оператора P выполняются неравенства 0 6 P ( 1 Af) 6 P(f ) ii 0 6 P ( 1 A f) 6 P ( 1 A e) = 1Ae. Следовательно, ввиду соотношения A C supp e полз'чнм supp ^P ( 1 A f) C A„^P ( 1 A f) 6 1AP (f).               '

f           e - f

1 A e — P (1a f) = P ( 1 A (e — f )) 6 1 a P (e — f ) = 1 a P (e) — 1a P(f ). Следов;™o. P (Uf) >  1 a P (f )■ Таким <образом. P (1a f) = 1 a P (f ). B

Возьмем порядковую единицу e G R (P) (лемма 2) и положим по определению

F := e-1R(P) := {e-1f : f G R(P)} , где функция e 1 f определяется формулой f (t) e-1f (t):= 0e(t)’

t G supp e, t G Q \ supp e.

Ясно, что F — векторная подрешетка в Lq (Q, Х,ц) е носителем Qq := supp e. Обозначим ограничение всех функций из F нa Qq через F |q₀. Тогда отображение f н- e^-1 f является решеточным изоморфизмом из R(P ) нa F |q₀.

Лемма 5. Все функции из F |q₀ Хо-измеримы, символически, F |q₀ С Lq(Qq, Xq , ц) .

C Возьмем произвольную положительнуто функцию f G F. Тогда существует положительная функция g G R(P ) таказI. что f = e^-1g. Возьмем произвольное число a >  0. В силу того, что R(P ) — векторшш решетка. e,g G R(P ) и supp g С suppe. выполняются равенства, {t G Q : f (t) > a} = {t G Q : e^-1 (t)g(t) > a} = {t G Q : g(t) > ae(t)} = {t G Q : g(t) V ae(t) — ae(t) > 0} = supp(g V ae — ae) G Xq. B

• 3.    Основной результат

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть (Q, Х, ц) — прост!"лшство с а-кононно!1 мерой и Xq — некоторое a-подко.тьно в Х с едшшпей Qq. Фуикипя f G Lq(Q, Х, ц) называется Хо-нзмеримой. если supp f С Qq ii со orpiшнчошю f |q₀ ii a Qq Хо-измеримо.

Все Хо-нзмернмые функции из Lq(Q, Х, ц) будем обозшпгать символом Lq(Q, Xq, ц). В частности. L_pp)(Q, Х_о, ц) := L_pp)(Q, Х, ц) П L₀(Q, Х_о, ц) . Ясне). что L₀(Q, Х₀,ц) подалгебра. В Lq (Q, X, ц).

Пуств 0 < e G L_pp)(Q, Х, ц) и Xq — неюуторое a-подко.тыю в X с едшшпей Qq = supp e. Так как 1 6 p(^) G L^(Q, Х,ц). то в силу [6. Рreposition 2.12] e^p(^ G L1(Q, Х,ц). Введем конечную меру e^p(•⁾ц по формуле e^p(•)ц(А) := R a e^p(•⁾dц для всех A G Х. Возьмем произвольную функцию h G L1 (Q, X,e^p(^ ц) ii положим по определению A(A) := R a he^p(pdц для всех A G Xq. To гда A : Xq ^ R — конечная мера, и по теореме Радона — Никодима существует единственная функция E e^p( ^(h|Xo) G L1(Qo, XQ,e^p(^) ц) такая, что

У hep^ dц = E ep e^p('⁾^(h|Xo )e^p,< dц ₍₁₎

AA для всех A G Xq. Продолжим (функцию Eep( )p(h|Xo) на Q. полагая Eep( )p(h|Xo)(t) = 0 для всех t G Q \Qq. ii обозначим это про,должспнс снова, через: Eep( )p(h|Xo). Тогда в силу определения 2 Eep p(h|Xo) — еднпствеппый элемент из L1(Q, Хо, ep(")ц). удовлетворяющий соотношению (1).

Определение 4. Отображение Ee^p^ ^>p(^|Xq) : h ^ Ee^{p( )p}(h|Xo) из L1(Q, X,e^p(^) ц) в L1(Q, Х_о ,в^р(^ц). определяемое соотношением (1), называется оператором условного ож:и,0апи,.я лля меры e^p(•⁾ц отпосителвио ст-кольца Xq с едшшпей Qq.

Лемма 6. Оператор условного ожидания Ee^p( ^ (^|Xq) : L1(Q, X,e^p(^) ц) ^ L1 (Q, Xq, e^p('^ ц) является линейным положительным порядково непрерывным проектором с нормой меньшей единицы.

C Доказательство леммы легко следует из теоремы Радона — Никодима и определения оператора Eep^ (JSq). B

Теорема 1. Пусть (Q, S,p) — прост];эанство с ст-конечной мерой, E — замкнутый по норме порядковый идеал в L_p()(Q, S,p), P : E ^ E — положительный сжимающий проектор. Тогда существуют 0 < e Е R (P ), ст-подкольцо Sq в Sc единицей Qq := supp e и единственная положительная функция w Е Lq(Q, S,e^p(?)ф) такие, что supp R(P ) = Qq. supp w C suppQo ii справедливо представление P(f ) = eEep ^p(e^-1 wf |Sq) для всех ^{f ЕИ±± c e}

C Пусть e. Qq = suppe 11 Sq it;: лемм 2 ii 3. В си.ту леммы 5 функция e 1P(f) Е Lq(Q, S,p) SQ-измерима. для всех f Е E. в частности. для f Е {e}±±. Осталось доказать представление j e-1 P(f e d. = j

AA

e ^fep^dp

для всех f Е {e}^±± 11 A Е Sq.

Положим по определению M : = {e-1 f : f Е {e}±±}• Toгда M — порядковый идеал в Lq(Q, S,p). Более того, так как мера ep(^p конечна, то ввиду [6, Corollary 2.48] справедливы включения M C Lpp)(Q, S.epTp) C L1(Q, S,ep(?)p). Введем оператор T : M ^ M по формуле T(g) := e-1P(eg) для всех g Е M. Тогда T — положительный порядково непрерывный оператор в M. С помощью оператора T определим порядково непрерывный фупктщопал Ф : M ^ R по форму.те Ф(g) := Rq T(g')ep('')dp для всех g Е M. В силу [3, Theorem 5.26] существует единственная положительная функция w Е Lq(Q, S,ep(?)p) такая, что supp w C suppe = suppQo ii JQ T(g)ep(')dp = Ф(g) = Q wgep(^dp для всех g Е M. Следовательно, полагая g := e-1 f, в силу леммы 4 справедливы равенства j e-1 P(f e d. = j

A                Q

1Ae^-1 P (f .   d = j

Q

e^-1 P (1a f e d

= j T(1A9)ep^dp = j Q                Q

w1Age^p(") dp = У

A

e ¹wfe^p(^⁾dp

для всех f Е {e}^±± 11 A Е S_q. B

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если в теореме 1 мера p конечна, показатель 1 6 р(^) < то есть константа ii P ( 1 ) = 1. где 1 — тождествешия едишша на П. то по лагая e = 1. мы получим результат типа Дугласа — Андо [3, Corollary 5.52, 5.53], [7, Proposition 3.3]. В случае, когда p ст-конечна, то из упомянутой теоремы следует результат Бернау и Лейси [5, Theorem 3.4].

Следствие 1. Пусть (П, S,p) — прост]эанство с ст-конечной мерой, E — замкнутый по норме порядковый идеал в Lp(^)(П, S,p), P : E ^ E — положительный сжимающий проектор. Тогда существуют замкнутые идеальные подпространства E1, E2 в E и положительные сжимающие операторы P11 : E1 ^ E1 и P12 : E2 ^ E1 такие, что E = E1 ®E2, P11 P12 = P12, P121 = P11, и oneратор P имеет матричное представление р = ( Pi 1 P12

P =  _{0   0}

.

Более того, существуют 0 < e Е R(P ), ст-подкольцо Sq в S с единицей Qq = supp e и единственная положительная функция w Е Lq(Q, S,e^p(^ ) p) такие, что supp R(P ) = Qq, supp w = Qq. ii имеет место представлеппе P11(f ) = eEep ^p(e^-1 wf |Sq) для всех f Е E1.

C В силу теоремьi 1 существуют 0 < e G R(P ). а-подк<хльпо Xo в X с единицей Qo = supp e ii единственная положительная функция w G Lo(Q, X,e^p(^) такие, что supp R(P ) = Qo, supp R(P ) = Qo, и справедливо представление

P (f ) = eE ^(e-M |Xo)                       (2)

для всех f G {eJ^. Положим в качестве Ei := 1q₀ E = {e}^ 11 E2 := 1q \ q₀ E = {e}^. Введем операторы P11 : E1 ^ E1 11 P12 : E2 ^ E1 по <1>ор>мулам P11 (f ) := P(f ) для веек f G E1 1i P12 (g) := P (g) для веек g G E2. Ясно. что P121 = P11. Так как R(P12 ) C R(P ) C {e}^±± = Ei. т о P_nP12 = Pi2. Очевидno. что E = Ei ф E₂. 11 P_r P₂ — положительные операторы с нормами меньше единицы. Ограничение оператора P на E1 ееть P11. Следовательно, в силу (2) выполняются равенства. P11 (f ) = P(f ) = eEep^r (e-1 wf |Xo) для веек f G E1. B

В заключение рассмотрим вопрос об описании образа, положительного сжимающего проектора P, действующего в L_py)(Q, X,д).

Предложение 1. Пусть (Q, X, д) — прост].эанство с п-конечной мерой, P — положительный сжимающий проектор, действующий в L_p(.) (Q, X, д). Тогда существуют функция 0 < e G R (P ) и п-подкольцо Xo с единицей Qo = supp e такие, что выполняется равенство R(P ) = e • Lp₀(Q, Xo,e^p' д).

C Ввиду лемм 2 ii 3 возьмем порядковую единицу 0 < e G R(P ) 11 и-подке>льтщ Xo с единицей Qo = suppe. Рассмотрим пространство L_py)(Qo, Xo,дo)■ где мера, дo есть сужение меры e^p(•⁾д и a Xo- а под фдикцией p(-) мы подразумеваем ее сужение на. Qo-Ввиду леммы 5 для доказательства, нашего утверждения достаточно установить, что (e^-1R(P ))|q₀ = L_py)(Qo, Xo, дo), где (e^-1 R(P ))|q₀ обозначает сужение всех функций из e^-1 R(P ) на Qo- В силу леммьi 4 множество (e^-1R(P ))|q₀ содержит все характеристические функции множеств из Xo- Так как (e^-1R(P ))|q₀ является порядково замкнутой подрешеткой в L_p^)(Qo, Xo, Дo), то в силу спектральной теоремы Фрейденталя следует справедливость утверждения, в