Технология оптимального проектирования сложноструктурированных систем с распределёнными параметрами: программные стратегии принятия решений

Новые возможности решения актуальной проблемы оптимального проектирования технических систем управления появляются при её трактовке в соответствии с современными требованиями системного подхода в качестве задачи совместного поиска проектных разработок и режимов последующего функционирования объекта, обеспечивающих в совокупно- сти достижение экстремальной величины априори выбираемого комплексного техникоэкономического критерия оптимальности. Трудности решения подобной задачи существенно увеличиваются с возрастанием сложности структуры объекта и порядка динамических моделей его описания, приобретая принципиальный характер применительно к бесконечномерным системам с распределёнными параметрами (СРП) [1-8].

В целом ряде наиболее характерных для прикладных задач ситуаций подобная совокупная проблема поиска проектных решений и способов организации динамических режимов функционирования СРП может быть сведена к поиску понимаемых в обобщённом смысле соответствующих оптимальных векторных управляющих воздействий (УВ). Их составляющие, относящиеся к проектным разработкам, интерпретируются в своих основных аспектах в роли пространственно-распределённых «статических» УВ, а компоненты, определяющие поведение объекта в динамических режимах – как традиционные, изменяющиеся во временной или пространственно-временной области управления.

Известные условия оптимальности во многих случаях позволяют заведомо установить для типовых моделей СРП базовую программную структуру подобных УВ в форме их явной зависимости от временного и пространственного аргументов с точностью до числа и конкретных значений компонентов конечномерного вектора некоторой определённым образом упорядочиваемой совместной последовательности проектных и режимных параметрических характеристик СРП. Тем самым производится параметризация искомых УВ и последующая точная (в рамках исследуемых моделей) редукция к существенно более простым по сравнению с исходными специальным конечномерным задачам математического программирования, решение которых может быть выполнено применительно к их типичным и некоторым новым постановкам с помощью разработанного авторами конструктивного вычислительного алгоритма («альтернансного» метода), использующего фундаментальные закономерности соответствующей предметной области (ПрО) [8-10]. Подобный подход позволяет реализовать соответствующую программную стратегию оптимального проектирования СРП для достаточно широкого круга ответственных производственных объектов.

Представляющая большой самостоятельный интерес традиционная задача поиска оптимальных программных временных или пространственно-временных УВ в условиях наличия необходимого объёма априорной информации о свойствах объекта может рассматриваться в качестве частной модификации общей задачи оптимального проектирования с заранее фиксируемыми значениями параметрических характеристик СРП.

Особое значение в последнем случае приобретает актуальная проблема синтеза оптимальных регуляторов с обратными связями, автоматически реализующими оптимальные режимы функционирования СРП в условиях воздействия на объект внешних и параметрических возмущений (проблема разработки позиционных стратегий управления). Достаточно эффективная процедура её решения в целом ряде типичных ситуаций может быть построена на основе результатов предварительного решения задачи программного управления.

В настоящей статье приводится систематизированное изложение и обобщение предлагаемых авторами конструктивных методов разработки программных стратегий принятия решений для достаточно широкого круга типовых и новых постановок задач оптимального проектирования СРП.

• 1    Математические модели объектов оптимального проектирования систем с распределёнными параметрами

Для широкого класса СРП модель поведения управляемой величины Q в зависимости от времени t и пространственных координат X е V, X = (xi), i = 1, m; 1 < m < 3, в пределах од- носвязной области V с кусочно-гладкой границей S описывается неоднородным скалярным или векторным операторным уравнением

• (1)         Ц [ Q ( X , t , g ( X ) , d ) ] = f . ( X , u_v ( X , t ) , w 1 ( X , t )) , X e V , t >  0,

с граничными

• (2)         L 2 [ Q ( X , t , g ( X ) , d ) ] = f 2 ( U s ( X , t ) , w 2 ( X , t )) , X e S , t >  0

и начальными условиями

• (3)    L з [ Q ( X , t , g ( X ) , d ] = f з ( X ) , X e V , t = 0.

Здесь u_V ( X , t ), X e V и U S ( X , t ), X e S - зависящие от X и t (пространственновременные) или только от t (сосредоточенные) соответственно внутренние и граничные режимные управляющие воздействия; g(X ), X e V - пространственно распределённые (статические) управляющие воздействия, в роли которых рассматриваются искомые проектные решения СРП; w = ( Q ( X ,0 ) , d , W 1 , w 2 ) - вектор неопределённых факторов, к которым могут относиться начальное состояние объекта Q ( X ,0 ) , неопределённости параметрических характеристик объекта d и внешние возмущающие воздействия w 1 и w ₂ ; L 1 , L ₂ , L ₃ - заданные (в общем случае нелинейные) интегро-дифференциальные операторы; f _ ( • ), f , ( ■ ), f 3О - известные скалярные или векторные функции своих аргументов, удовлетворяющие обычным требованиям по их гладкости, и V - открытая часть области V , не содержащая её границу.

Краевая задача (1)-(3) может быть решена относительно управляемой величины Q ( X , t ) с требуемой точностью известными численными или в частных случаях аналитическими методами.

В типичных условиях ограниченности ресурсов на формирование УВ и интервального характера неопределённых факторов будем далее считать, что допустимые значения УВ стеснены на всём протяжении процесса управления при t e [0, T ] ограничениями

• (4)         U v ( X , t ) e U v ( X , t ); U s ( X , t ) e U s ( X , t ), t e [0, T ], g ( X ) e G ( X )

с известными границами заданных множеств U_V , U s , G , а вся информация о векторе w исчерпывается условиями его принадлежности заданному множеству W его компонентов

• (5)          w ( Q ( X ,0 ) , d , w i ( X , t ) , w 2 ( X , t )) e W ( X , t ) , t e [ 0, T ] .

Каждому фиксированному значению it e W в (5) при любом допустимом согласно (4) конкретном наборе управлений U_V , U_s и g ( X ) отвечает соответствующее пространственновременное распределение Q ( X , t , u_V , u_S , g , iw) («изолированная» траектория [11]) управляемого состояния СРП. Объединение этих состояний по всем допустимым величинам w e W при одних и тех же УВ образует ансамбль траекторий объекта в рассматриваемых условиях ограниченной неопределённости [11]

• (6)          Q ( X , t , U v , u s , g , T , W ) = U { Q ( X , t , U v , u_s , g , T , w : w e W , t e [ 0, T ] ) } .

В рамки описания (1)-(6) укладывается ряд наиболее характерных последовательно усложняемых частных ситуаций, на основе которых может быть сформирована технология принятия решений для различных вариантов постановок общей задачи оптимального проектирования СРП.

В качестве типичной базовой модели обычно используется детерминированная модель СРП без учёта неопределённых факторов в (1)-(3) с априори заданным проектным решением объекта и искомыми режимными управлениями uV, us, выделяющими соответствующую изолированную траекторию из ансамбля (6) при заведомо фиксируемых величинах w е W и g е G [1-3, 8]. Подобная модель предусматривает последующее решение частной задачи оптимального проектирования процессов функционирования СРП при полном объёме необходимой информации о характеристиках объекта.

Детерминированная модель СРП (1)-(3) при w = w е W ; u V = ~ V , u_S = u_s может быть использована для поиска оптимальных проектных решений g ( X ) в условиях заранее фиксируемых режимных УВ n V , u_S , в частности, применительно к статическим режимам работы СРП при d Q / д t = 0 в (1)-(3).

В более общей ситуации, требующей организации совместного поиска проектных и режимных решений, следует использовать модель (1)-(3) при w = w с искомыми величинами u V , u_S и g . Фиксация только составляющих w 1 и w ₂ в каждой из указанных частных моделей приводит к описанию объекта в условиях интервальной неопределённости начального состояния и параметрических характеристик объекта и отсутствия неопределённых внешних возмущений при w = ( Q ( X ,0 ) , d , w 1 , w₂ ) .

Аналогичным образом приходим к модели СРП с фиксированными параметрическими характеристиками d в условиях воздействия множественных возмущений w ₁ ( t ), w ₂ ( t ), полагая в (1)-(3) w = ( Q ( X ,0 ) , ~ ; w 1 , w ₂ е W ) [12, 13].

В двух последних случаях соответствующим образом «сужается» ансамбль траекторий (6).

• 2 Детерминированная задача оптимального проектирования программных управлений режимами функционирования СРП

Рассмотрим базовую частную задачу поиска программных оптимальных управлений u V , u S применительно к динамической модели СРП (1)-(3) с полным объёмом априорной информации о проектных решениях g , параметрических характеристиках объекта d и внешних воздействиях w ^~ ₁ , w ^~ ₂ в условиях

• (7)    w = w е W ; g = g е G .

Искомые управляющие воздействия в большинстве случаев стесняются лишь известными пределами их возможных изменений

• ^{(8)          u}V min <  ^uV ⁽ X , t ) <  ^uV max ; ^uS min <  ^uS ⁽ X , t ) <  ^uS max , t ^{е [0,} T ^],

непосредственно характеризующими допустимые множества U V ( X , t ) и U S ( X , t ) в (4).

В соответствии с типичными технически реализуемыми условиями по достижению с допустимой погрешностью заданного состояния СРП в конце процесса управления, для большинства представляющих наибольший интерес прикладных задач необходимо обеспечить за время Т приближение Q ( X , T ) к требуемому пространственному распределению управляемой величины Q ** ( X ) с оцениваемой в равномерной метрике допустимой точностью s >  0 :

• (9)        maxi Q ( X , T ) - Q ** ( X )| <  8 .

X е У

Качество процесса управления оценивается в достаточно общем случае по величине I 1 максимума по r -мерному векторному параметру y e Y с E^r функционала I , являющегося заданной числовой функцией своих аргументов

• (10)    1 1 = max I ( Q ( X , t ), U y , u_s , g , w , T, y ) ^ min . y e Y U y G Uy- , U s g U s

В схему (10) укладываются типичные задачи оптимизации СРП по критериям быстродействия, энергопотребления, минимизации на V э X отклонений Q(X , t ) от Q ** ( X) в различных метриках [8, 9].

Исследуемая проблема сводится к определению стесненных ограничениями (8) УВ u V , u S , которые переводят объект (1)-(3) в условиях (7) из заданного начального в требуемое конечное состояние согласно (9) при минимальном значении критерия оптимальности (10).

В ряде частных случаев данная задача рассматривается в условиях перевода требования (9) в критерий оптимальности вида (10) при y = X :

• (11)    1 1 = maxi Q ( X , T , U y , U s ) - Q ** ( X ) ^ min X e V u_V , u_S

• 2.1    Параметризация управляющих воздействий

• 2.2    Редукция к задаче полубесконечной оптимизации

без ввода дополнительных ограничений на конечное состояние объекта [8, 9].

Структура искомых программных управлений u * ( X , t ), u S ( X , t ) для широкого круга задач оптимизации СРП может быть установлена с использованием известных аналитических условий оптимальности [1-3, 8-10]. Указанным путём во многих случаях может быть получено параметрическое представление этих воздействий с точностью до вектора А ⁽ N ) = (А^ ) ), i = 1, N , определённым образом упорядоченной последовательности конечного числа N параметров А^ ^N ) , A ⁽ ₂ ^N ) ,..., A ⁽ N ) , непосредственно характеризующих управляющие воздействия в пространственно-временной области их определения (« А ^{( N} ) -параметризация»).

В целом ряде прикладных задач изначально требуется найти управляющие воздействия в заданном классе А ^{( N} ) -параметризуемых функций согласно исходным требованиям, диктуемым техническими возможностями их реализации.

Если непосредственное осуществление операции А ^{( N} ) -параметризации становится затруднительным, то она может быть реализована путём построения конструктивной процедуры отображений на множество Q _N допустимых значений А ^{( N} ) параметров более общей природы, в роли которых выступает, например, применительно к сосредоточенным управляющим воздействиям, набор финишных значений первых N переменных бесконечной системы сопряженных уравнений принципа максимума Понтрягина при равных нулю конечных значениях остальных её компонент (« у ^{( N} ) -параметризация») [10].

Интегрирование в аналитической или численной форме уравнений модели объекта (1)(3), (7) с А ^{( N} ) -параметризованными управлениями u_V ( А ^{( N} ) , X , t ), u_S ( А ^{( N} ) , X , t ) позволяет получить конечное состояние объекта Q ( X , T ) в (9) и значение критерия оптимальности I в

• (10)    в форме явных зависимостей Q ( X , А ^{( N} ) ) и I ( у , A ^{( N} ) ) от своих аргументов. При этом минимально достижимые в классе таких управлений значения s ^ N ошибки s равномерного приближения Q ( X , T ) к Q ** ( X ) в (9)

  ⁽¹²⁾           = ^min

  A ^{( N} > eQ n

  
  

  { m an] Q ( X , A ⁽ N ’ ) - Q "( X ) }

  
  

  X ∈ V

  
  

не возрастают (как правило, монотонно убывают) с ростом N е {1, р } [9]

• ⁽¹⁾    > F⁽²⁾ > > F^(p) = F „ > О ^{(1J) £} min > ^£ min >  ... > ^£ min ^s inf ,

характеризуя сужающееся к Q ** ( X ) семейство целевых множеств для s = s m j in , j = 1, р в (13). Здесь точная нижняя грань s _inf достижимых по условию (9) значений s в цепочке неравенств (13) оказывается равной минимаксу ^П , где р = ю при s _inf = 0 и р<« при s _inf >  0 соответственно для управляемых и неуправляемых относительно Q ** ( X ) объектов [1, 8, 9].

В широком классе задач А ^{( N} ) -параметрической оптимизации оптимальные управляющие воздействия n V , и * в соответствии с (13) характеризуются минимально возможной для заданного значения s в (9) размерностью N = N ₀ вектора А ^{( N} ) по определению минимакса в (12) [8-10]:

• ⁽¹⁴⁾    N 0 =^uv^s : ^s min <^s<^s m^,i ^{- 1) , ие {1,} р }.

Отсюда, в частности, следует, что для всех достижимых значений s >  0, удовлетворяющим неравенствам (14), А ^{( N} ) -параметризация оптимальных управлений оказывается конечномерной.

В результате А ^{( N} ) -параметризации производится точная редукция исходной задачи, согласно (9), (10), (12), (13), к задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО) на минимум функции 1 1 ( А ^{( N 0)} ) конечного числа переменных A N ⁰) , i = 1, N ₀ , с бесконечным числом ограничений, диктуемых требованием (9) для всех X е V [8, 9]:

1 1 ( A ^{( N 0} ) ) = max I ( y , A ^{( N 0} ) ) ^ min ;

У e Y                  A ^{( N 0} ’ eO n 0

ф ( а ^{( N 0} ’ ) = max

X e V I

I Q ( X , A N ⁰ ’ ) - Q * ( X )

<      ( N 0’ <  г. _<  (NN 0 ^-1) М < л

^{- 6} ; ⁶ min ^{- 6} <  ⁶ min , N 0 ^{- р} -

• 2.3    Альтернансный метод в задачах параметрической оптимизации СРП

Решение целого ряда ЗПО вида (15), (16) может быть найдено конструктивным альтер-нансным методом, распространяющим на ЗПО результаты теории нелинейных чебышёвских приближений [14, 15] в условиях некоторых малостеснительных для многих прикладных задач допущений [8, 9]. Метод базируется на специальных свойствах вектора А ( ^{N 0)} оптимальных решений ЗПО (15), (16), установленных при указанных допущениях с использованием упрощённых, по сравнению с известными, альтернансных форм необходимых условий экстремума в задачах недифференцируемой оптимизации и дополнительной информации о конфигурации на V э X и Y э у пространственного распределения Q ( X , А ( ^{N 0}) ) и I ( у , А ( ^{N 0 )} ), диктуемой закономерностями ПрО исследуемой конкретной задачи.

Согласно этим свойствам, одинаковые значения I(y,A(Nо)), равные I1(A(Nо)) в (10), и максимально допустимые отклонения Q(X,Д(Nо)) -Q**(X)|, равные е, достигаются в некоторых точках, соответственно yV е Y, v = 1, Ry , и Xо е V, j = 1, RX , суммарное число которых оказывается равным числу всех неизвестных в ЗПО (15), (16), включая ANо), i = 1,N0 , величину I1(A(Nо)) и минимакс етП), если е = етП), в соответствии со следующими соот ношениями [9]:

• (17)        R y + R x = N о + 1 , если £< _п ^о) < е <  е ;

• ^{(18)       r} x = N о + 1, если е = е^ ) ;

• (19)       R y = N _о + 1, если е> ~ ,

где

• (2о)        ~ = Ф 1 ( A ^{( N о} ) ) ; Д ^{( N о} ) = arg ( N о пГ I 1 ( Д ^{( N о} ) ) .

Утверждение (17), дополненное условиями существования экстремума функций

I ( у , Д ( ^{N о)} ) и Q ( X , Д ( ^N ) ) - Q ** ( X ) соответственно в точках y v е int Y , q = 1, R 1 , и q ^y

Xо е int V, p = 1, RX 1, приводит при заданной величине е в (16) к определяющей системе p равенств

_        _     бЦу ^о ,Д( ^{N о)})

I ( у о , Д ( ^N о ) ) = 1 _х< & ^N о ) );                * = о;

дУ v = iR; q = jR"; Ry 1 < Ry; yv°q е {yv0};

|Q(Xо, AN•>) -Q"(X")| = е; X (q(x,Д

При наличии дополнительной содержательной информации о конфигурации распределения I (y, Д(^{N о)}) на Y э y иQ(X, Д(N^о)) - Q**(X) на V э X в зависимости от величины е, позволяющей идентифицировать точки X о и yv°, данные равенства редуцируются к системе H + H1 уравнений с H + H 1 неизвестными, где H = RX + R_y = N_о+1, H 1 = rR_y 1 + mRX 1, а в роли неизвестных фигурируют Nо составляющих A(^Nо),i = 1,N_о, вектора Д(N^о); минимакс 11(Д(^Nо)); rR_y 1 координат R_y 1 точек yV экстремума I(y, Д(^Nо)) на Y и mR_X 1 координат RX 1 точек Xо экстремума разностиQ(X, Д(^Nо)) - Q**(X) на V. ^p

Подобным образом случай е = ето) в соответствии с утверждением (18) приводит при RX = Nо +1 к системе Nо + mRX 1 +1 уравнений (22) с Nо + mRX 1 +1 неизвестными A(-Nо),Xо p и 8^0), а при 8 > ~ на основании (19) получаем для Ry = N0 +1 систему N0 + rRy 1 +1 уравнений (21) с N0 + rR 1 +1 неизвестными А^о),у0 и I1(А(Nо)).

yq

Для модификации задачи (15), (16) с непрерывно дифференцируемой целевой функцией 11(А^(Nо)) = I(А^(Nо)), образуемой в частном случае, когда I(у, А^(Nо)) не зависит от у, только число RX точек X0, j = 1,RX , становится равным числу искомых значений А^^о), i = 1,N₀и СтО) в случае 8 = 8^0), а соответствующая система равенств (17)-(19) упрощается следующим образом:

• ^{(23)      r}x = N0, если ⁸N) < ⁸< Cn^-1);

• ^{(24)      R}X = ^N0 +1, если ⁸ = ⁸т0).

В данном случае равенство (23) аналогичным путём приводит к системе N0 + mRX 1 уравнений (22) с N0 + mRX 1 неизвестными А(№0), X0 для заданного значения 8 > 8тп0), а p случай (24) совпадает с (18).

В частном случае (11) задача полубесконечной оптимизации (15), (16) сводится к минимаксной задаче нелинейных чебышёвских приближений

• (25)      Ц(А^(N0’) = maxiQ(X, А^(N0’)- Q**(X)| ^ min

XeV I                               I     А^(N0’eQ_N0

без дополнительных ограничений с последующей редукцией, подобно предыдущим вариантам, равенств (22) в условиях (24) при 11(А(^N0)) = 8⁽Nn⁾к расчётной системе уравнений.

Решения относительно указанных неизвестных систем уравнений, конструируемых по специально разработанной вычислительной процедуре в зависимости от величины 8 в (16) на основании равенств (21), (22) [8], содержат искомые решения ЗПО (15), (16) и могут быть найдены стандартными численными методами.

Специфическая проблема редукции соотношений (21), (22) к расчётным системам уравнений во многих случаях может быть решена с привлечением закономерностей ПрО исследуемой задачи управления СРП, позволяющих априори выявить характер поведения на множествах Y э у и V э X функций I(у,А(^N0)) и Q(X,А(^N0)) -Q**(X) для заданных значений 8 и идентифицировать точки X0, yV в (21), (22). В частности, в [9] установлены все возможные варианты формы этих распределений применительно к характерным условиям Q**(X) = const, Q(X,0) = const при 8 = [8^, 8_inf] в базовых задачах оптимального по быстродействию и расходу энергии управления нестационарными температурными полями, описываемыми уравнениями теплопроводности различной пространственной размерности вида (1)-(3) в областях V канонической формы с типичными внутренними и граничными управляющими воздействиями.

Процедура параметризации УВ, редукция исходной задачи оптимизации к ЗПО и технология её решения альтернансным методом существенно усложняются при использовании векторных УВ (в частности при совокупном применении внутренних и граничных управлений) за счёт возникновения специфической проблемы выстраивания в однозначно фиксируемом порядке конкретной последовательности параметров А(^), i = 1, N с присвоением каждому из них заранее определяемого номера i e {1, N} , не меняющегося для всего ряда натуральных значений N = 1,р. В зависимости от каждого из формально возможных вариантов такой последовательности изменяются величины минимакса в (11), члены цепочки неравенств (13) и размерность N0 искомого решения Δ(N0) ЗПО. В типичных для приложений задачах со скалярными внутренними или граничными УВ подобная проблема достаточно просто решается с использованием закономерностей ПрО [8, 9]. Описываемая схема алгоритмически точного решения краевых задач оптимального управления линейными и нелинейными моделями СРП параболического типа альтернансным методом апробирована при поиске Δ(N) - и ψ(N) -параметризованных сосредоточенных и пространственно-распределённых УВ в задачах оптимизации по ряду базовых технико-экономических критериев применительно к различным процессам технологической теплофизики, в том числе, с учётом фазовых ограничений на температурные и термонапряжённые состояния в процессе управления и других особенностей промышленных технологий [8, 9, 16].

Предлагаемая технология предварительной параметризации искомых УВ, конечных состояний объекта и критерия оптимальности, последующей процедуры точной редукции к ЗПО, разрешаемой с использованием альтернансных свойств искомых экстремалей и дополнительной информации о закономерностях ПрО, распространяется далее на значительно более широкий круг задач оптимального проектирования детерминированных и не полностью определённых моделей СРП.

Ниже рассматриваются наиболее характерные постановки таких задач, сводимые к ЗПО различного вида, решения которых укладываются в общую схему (15)-(16) альтернансного метода.

3 Детерминированная задача оптимизации проектных решений в условиях заданных режимных управлений

Данная частная задача оптимального проектирования СРП сводится к поиску статического распределённого управления g*(X) ∈G,которое переводит объект (1)-(5) в условиях фиксированных воздействий w = w~ ∈W и режимных управлений uv = u~v, us = u~s в требуемое конечное состояние согласно (9) с минимальным значением критерия оптимальности

• (26)    I₂=maxI(Q(X,t),u~_v,u~_s,g(X),w~,T, y) → min y∈Y g∈G

вместо (10).

Искомое проектное решение g^*(X) может быть найдено по описанной выше общей схеме определения режимных управлений u_v^*и u_s^*путём редукции исходной задачи к ЗПО вида (15), (16), разрешаемой теперь уже относительно вектора Δ(gN ^g) = (Δ(iN^g)),i = 1,Ng , параметрического представления g^*(X)

I (A⁽Ng0’) = max I(y, A⁽Ng0’) ^ min ;

g        y^Y        g         A^g 0 ’eQg 0

Ф2(A^g⁰’) = max Q(X, A^^g0’)- Q**(X) < 8; 8mN⁰’ < 8< ^N0-1’

Представляющая самостоятельный интерес задача оптимизации проектных решений объекта на стадии его функционирования в стационарном состоянии Q_c(X ) при

• (28)      lim dQI dt = 0; lim uv = const; lim us = const

t→∞           t→∞           t→∞ во многих случаях сводится к виду (11)

• (29)      I^ = maxiQ (X, g(X)) - Q**⁽X)| ^ min .

X eV                                    g (X )eG

Процедура A^g)-параметризации g(X), аналогичная A^(V)-параметризации режимных управлений, приводит к параметрическому представлению g(X, AN)), Qc (X, AN)) и 1₂(A⁽N^g)) управляющего воздействия, стационарного состояния СРП и критерия оптимальности.

Последующая редукция к нелинейной задаче чебышёвских приближений вида (25)

I (^g0)) = max Q (X, A('Vg0)) - Qi X) ^ g       X∈V c g min

к(Ng 0)

^Ag   ^e“ Vg 0

позволяет найти ее решение AgNg^о)с требуемой точностью по схеме альтернансного метода.

Специфической особенностью задачи (30) является необходимость попутного определения границ области G в (4), исходя из фундаментальных законов сохранения энергетического или материального баланса в стационарном режиме работы СРП.

• 4    Детерминированная задача совместной оптимизации проектных решений и режимов функционирования СРП

Общая детерминированная задача оптимального проектирования СРП (1)-(5) в отличие от рассмотренных в разделах 2 и 3 заключается в совместном определении допустимых проектных решений g*(X) и режимных управлений п* и u*, обеспечивающих в условиях известного вектора w = w e W достижение требуемых согласно (9) конечных состояний объекта (1)-(5) с минимальным значением критерия оптимальности

• (31)       Iз = max I(Q(X, t), u_y, u_s, g, -w, T, y) ^ min

yeY                                                 Uv,Us,g вместо 11,12 в (10), (26) и (29).

Процедура A^(V) и A⁽N^g)-параметризации искомых воздействий u_v, us и g(X) соответственно, формирование расширенного вектора параметров повышенной размерности A⁽N+^Vg) = (A^V),A⁽N^g)) и последующее интегрирование уравнений модели объекта (1)-(5) с параметризованными управлениями u_v (A^(V), X, t),us (A^(V), X, t), g(X, A⁽N^g)) приводят к пара-(V+V)         (V+V)

метрическим зависимостям Q(X, A_z^g ), I (y, A_z^g ) конечного состояния объекта и критерия оптимальности (31) от своих аргументов. В результате опять обеспечивается редукция исходной задачи к ЗПО вида (15), (16):

I₃ (A^{(;0 + Vg0})) = max I(y, A^(;0+Vg0)) ^      min ;

• ^{3 1}             yeY                       A^^0+Vg⁰’eOv0+Vg 0

Ф,(A.^V0^+v-0’) = maxQ(X,A.^V0^+v-0’)-Q"(X) < _£; s*V^0+Vg0’ < s< s*V^0+Vg0^-1), X∈V

(или в частных случаях, подобных (11), к ЗПО вида (25), (30)), снова разрешаемой по общей предлагаемой схеме относительно искомой величины A(;0 + Vg0). Здесь размерность V0 + Vg0 вектора A(;0 + Vg0) опять определяется по правилу аналогичному (14) применительно к по- добной (13) цепочке неравенств для величин минимаксов, определяемых согласно (12) с заменой N на N + Ng .

Векторный характер искомых управлений приводит к необходимости решения с помощью закономерностей ПрО, указанной в разделе 1, вспомогательной задачи формирования упорядоченной последовательности компонентов вектора (N+N„) _/A(N+N„) .(N+N„) .(N+N„)

A₂g = (A₂₁g , A₂2 g ,..., A_z(N+N ), число N + Ng которых увеличивается с возрастанием N и N_g.

• 5    Задача оптимизации проектных решений СРП в условиях интервальной неопределённости параметрических характеристик объекта

Самостоятельный интерес представляет задача оптимального проектирования СРП (1)(6) в характерных условиях интервальной неопределённости вектора b = (d, Q₀) = (dj, j = 1, r; Q0) e W1 c W неизменных во времени параметрических характеристик объекта, к которым во многих случаях можно отнести параметрическое представление начального состояния объекта Q(X,0) = Q0 = const VX e V , где

• (33)      W1 = dj,Q :djmin < dj < djmax; Q0min < Q0 < Q,_, j = 17}.

При заданных внешних воздействиях W1, W₂e W требования вида (9) должны быть выполнены для всех конечных состояний ансамбля (6)

• (34)       Q(X,T,u,,us,g, W) = U{Q(X,T,u,,us,g, W_nW2,b e W1 c W)},

образуемого всеми допустимыми согласно (33) реализациями значений b :

• (35)      max [maxiQ(X,T,b) - Q**(X)|] < £.

beW1 XeV ।                            ।

В таком случае задача сводится к совместному определению u_v^*,u_s^*, g^*, обеспечивающих при w1 = v~i, w2 = W₂ перевод ансамбля траекторий (6) в требуемое конечное состояние (35) с минимальным значением функционала качества I₄, определяемого по принципу гарантированного результата в аналогичной (10) форме функции максимума:

• (36)       I₄= max I(Q(X, t), u,, us, g, "W1, W2, b) ^ min .

beW1                                                                  uv,^,u_s^,g

Подобная (27) A⁽N⁺Ng) -параметризация искомых воздействий приводит к редукции исходной задачи (35), (36) к ЗПО вида (32) с r +1 -мерным векторным параметром y = b

I₄ (4N⁰⁺N^{g 0})) = max I (b, A⁽N⁰⁺N^{g 0})) ^ min ;

• ^{4 1}             beW1         ²              A*N⁰⁺Ng 0 >eO n0+Ng 0

  
  

  Ф ₄(A⁽_ZN°⁺Ng)

  
  

  ) = max Q (z, A⁽”^{0 + Ng 0})

  
  

  ze Z

  
  

  ) - Q**(X) < £; £m’

  
  

  (^N0⁺Ng 0) <      <^N0⁺Ng 0

  min ~ ^£< ^£ min

  
  

  -1). ^;

  
  

z = (X,b); Z = V x W1 e Em⁺r⁺¹

и континуумом ограничений, рассматриваемых на расширенном по сравнению с (32) множестве Z элементов z e Z, включающем наряду с пространственными переменными X e V допустимые значения вектора b e W1.

Возникающая при этом дополнительная проблема выявления характера распределения Q(z, A(N⁰+ Ng⁰)) -Q**(X) на множестве Z в целях редукции системы равенств вида (21), (22) к расчётным системам уравнений альтернансного метода во многих случаях может быть решена на основе свойств результирующих состояний СРП для детерминированных состояний объекта и фундаментальных закономерностей ПрО [8-10, 16]. В наиболее характерных ситуациях точки z0 = (xо, bо), j = 1, Rx, в которых выполняются подобно (22) равенства

Q(z 0, AN0 + Ng0)) - Q**(X j ) = £ , содержат комбинации предельно допустимых значений dj на границах множества W1

• 6    Программная реализация обратных связей в задачах оптимизации режимов функционирования СРП при наличии внешних возмущений

В типичных условиях воздействия на реальный объект с заданными проектными решениями g = g e G в (4) и заранее фиксируемыми параметрическими характеристиками d = d e W1, множественных возмущений w1, w₂ e W в (5), вся информация о которых исчерпывается заданием их граничных значений в пределах допустимой области W их изменения, * *

возникает задача поиска оптимальных программных управлений u_v , u_s ансамблем траекторий

~

~

Q(X,t,uv,us,g,T,d, W) = U{Q(X,t,uv,Us,g,T,d, Q0, W1, W2 e W)}, t e [0,T].

Эта задача может быть записана в подобной (35), (36) форме

max [max Q(X, T, Q0, W1, w2 ) - Q (X)] < £;

Q₀, w1, w₂eW X eV

~

I5 = max I (Q(X, t), uv, us, g, d, Qo, w, w2) ^ min Q0,W1,w2 eW                                                                   Uv ,Us с последующей редукцией после параметризации искомых управлений к ЗПО вида (37):

Т (Д⁽N0)Л —              Л<N0)      ла) ла) 1 х min

I 5 ^(AZ ) = ^maxI^(Az ,^Q0, ^w1, ^w2 ) ^ . .min ^Q0, иц w₂^eW                            A⁽N⁰’eQ N0

(N0)                   (N0 )      **             (N0 ⁾(N0 ^-1)

(41)      ф 5 (AZ ) = max Q(z 1, AZ ) - Q (X ) < £; £nin < £ < £nin ,

Z1e Z1

z 1 = (X,Q0,w1,w2); Z1 = Vx W₂; W₂ = (Q0,w1,w2) e W.

Описанная стратегия программного управления по принципу гарантированного результата ансамблем траекторий СРП, порождаемым всеми допустимыми реализациями учитываемых возмущающих воздействий, заведомо приводит к существенным потерям по миними- зируемому критерию качества по сравнению с замкнутыми системами автоматического управления, обеспечивающими требуемый уровень подавления возмущений. Однако проблема синтеза соответствующих оптимальных автоматических регуляторов отличается известными затруднениями принципиального характера [11, 13].

Возможный путь их преодоления состоит в переходе от трудноразрешимой задачи построения в явной форме алгоритма оптимального управления с обратными связями к поиску реализующей искомый закон регулирования последовательности программных оптимальных управлений uVk(X,t),u*sk(X, t), t e [tk,T],0 < tk < T, для каждого из которых начальное на ин- тервале [tk, T] состояние ансамбля Q(X, t, uv, u , g, T, d, W)    в (38) вычисляется в заранее s                    t=tk фиксируемые на временной сетке с заданным периодом квантования h моменты времени tk = kh,k = 0,с-1,сh = T по сигналам Qu(X,tk) измерения текущего состояния объекта с помощью известных способов его наблюдения [12, 13].

В таком случае исходная минимаксная задача оптимизации (39), (40), сформулированная на всём временном промежутке [0, T], сводится к последовательно разрешаемым на интервалах [t_k,T] э t,к = 0,с-1, задачам вида (39), (40) программного управления «суживающимися» по мере возрастания t_k ансамблями траекторий Q ( X, t, uVk, u_Sk, g, T, d, w1 _k, w_2k ); w1 k,, ^w_2k e W, t e [t_k, T ], с наблюдаемыми начальными состояниями Q_u (X, t_k ). При этом искомые оптимальные управления u*, u_S на всём протяжении процесса управления компону-* *

ются из участков изменения u_Vk, u_Sk на промежутках [t_k, t_k + h ]:

u* = {uk,t G [tk,tk + h]};u* = (u*,uS);uk = («*k,uSk);

tk = kh; k = 0, с -1; сh = T.

Построение uk в каждой позиции (t_k, Q_u (X, t_k )) по существу формирует закон управления с обратной связью uk* (t_k, Q_u (X, t_k ) . Если вычисление uk производится за время, не превышающее достаточно малого периода квантования h , то этот закон реализуется с шагом h :

• (43)        uk( tk + h ) = uk*( tk, Qu (X, tk )),

обеспечивая тем самым последовательную отработку алгоритма (42) в реальном времени. При этом в условиях h ^ 0 получаем в соответствии с (42), (43):

• (44)    u* = u**(т,Q_u (X,t))Vtg (0,T).

Дальнейшая процедура A⁽N^k)- и A⁽N)- параметризации искомых управлений uk и u* соответственно приводит по предлагаемой общей методологии к последовательному решению с шагом h ЗПО вида (41)

11 k ⁽^N^{k 0}), tk ) = ,^maxIk ⁽^N^{k 0}), Q 0, tk , w1 k , w 2 k ) ^ _(N^min;

Q0, ^w1 k, w2 k                                             A⁽_e^{0 k} 'eO Nk₀

• (45)       Ф 1 k (AN⁰), tk) = max Q(z 1 k, <^0k), tk) - Q** (X) < г^(k);

• ^z1 k^eZ1 k                                                ¹

k = 0,^-1; z 1 k = (X, Q0, W1 k, w2k ); Z1 k = V x W2k; W2k = (Q0, W1 k, w2k) G W с зависящим от tk континуумом ограничений Ф1 k (A(Nk0), tk ) на конечное состояние объекта при последовательном уменьшении влияния на него интегрального эффекта воздействия возмущений w1 k, w2k e W2k, на промежутках t e [tk, T] при tk ^ T . Здесь явные зависимости Q(z1 k, A(Nk0),tk) и Ik(A(Nk0),Q0,tk, w1 k, w2k) от своих аргументов должны быть получены после интегрирования уравнений модели объекта (1)-(3) с измеряемым начальным состоянием Q(X,tk) = Qu(X, tk) вместо (3) при А(Nk) -параметризованном управлении uk . В соответствии с требованием (39) ошибки равномерного приближения s(k), k = 0, с -1, в (45) должны выбираться таким образом, чтобы обеспечить выполнение соотношения а(с-1) < s. По найден- ным оптимальным значениям Δ(ΣNk0) вычисляются и реализуются на объекте, согласно алгоритму (42), параметры Δ(ΣN0) оптимальных управлений uV* и u*S .

• 7 Оптимальное проектирование объектов технологической теплофизики

В качестве примера, представляющего самостоятельный интерес, рассмотрим детерминированную задачу оптимального проектирования установки градиентного индукционного нагрева (ИНУ) цилиндрических слитков из алюминиевых сплавов перед последующей операцией прессования в ответственных технологических комплексах обработки металла давлением [16].

Температурное поле Q(x₁,x₂) в процессе индукционного нагрева описывается в зависимости от времени t∈[0,T] , радиальной x1 и продольной x2 координат в области V = (x1 е [0,1], x2 е [0,1]) двумерным неоднородным уравнением теплопроводности в относительных единицах вида (1) с начальными и граничными условиями (2), (3) третьего рода и заданным законом пространственного распределения внутренних источников тепла, определяемым известным решением уравнений Максвелла для электромагнитного поля индуктора.

Градиентный нагрев слитка с положительным перепадом конечной температуры Q(x₁,x₂,T) по его длине x₂в направлении прессования, который обеспечивает существенное повышение производительности пресса, осуществляется в ИНУ двухсекционного исполнения (рисунок 1) [16]. В качестве внутренних сосредоточенных УВ u_V (t) используются суммарные удельные мощности внутреннего тепловыделения в обеих секциях uV (t) = (uV1(t),uV2(t)), подчиненные ограничениям вида (8):

Рисунок 1 – Конструкция двухсекционной ИНУ периодического действия:

1– секция индуктора; 2– заготовка

• ^{(46)       0}< uv 1⁽t) < uvimax^{; 0}< uv2 ⁽t) < u_v2max .

В роли искомых базовых проектных решений ИНУ заданной двухсекционной конструкции будем рассматривать максимальные мощности секций u_V1maxи u_V2max, стесняющие возможные пределы изменения режимов УВ в (46), и, следовательно, в данном случае будем иметь для g(X ) в (4):

• (47)       g(X ) = (uV1max, uV2max) = const.

В качестве критерия оптимальности в условиях заданной длительности процесса нагрева фиксируемой требуемой производительностью технологического комплекса «ИНУ–пресс»

принимается, подобно (11), достижимая точность равномерного приближения конечного температурного состояния к его заданному неравномерному распределению перед последующим прессованием слитка:

• (48)    I* = max Q)(x_Dx2,T,и, 1 (t),u,2(t),и,i_max,u,2_max)-Q**(x_vx2) ^min .

• X1, X 2^[0,1]l                                                                                                          I        uv, g

**

Требования к градиентному характеру нагрева слитка приводят к заданию Q (x1, x2) в форме кусочно-линейной функции продольной координаты

Q*⁽¹⁾, 0 < x2 < x2;

Q **( x1, x 2) = <

Q*⁽¹⁾

₊Q*⁽²⁾- Q*⁽¹⁾

1 - x 2

(x₂

*. *

- x2 ), x2 < x2 < 1

с известными постоянными Q*¹), Q*²⁾, x2 .

Проблема теперь сводится к совместному поиску оптимальных управлений u,1(t), u,₂(t) , стесненных ограничениями (46) и проектных решений u,_1max,u,_2maxв (47), обеспечивающих в совокупности достижение минимального значения критерия оптимальности (48).

Данная задача является частным случаем общей детерминированной задачи (31) оптимального проектирования СРП с целевой функцией вида (11).

Известные условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина заведомо определяют u,1(t) и u,₂(t) в виде кусочно-постоянных функций времени, попеременно принимающих только свои предельно допустимые значения согласно (46) [1, 8, 9]. Тем самым обеспечивается А⁽N) -параметризация искомых УВ с точностью до числа N и длительностей А⁽"), i = 1, N, интервалов их постоянства на протяжении процесса управления в условиях свободы выбора Т из условий достижения минимальной величины критерия оптимальности (48). В наиболее просто реализуемых режимах работы ИНУ с синхронным управлением во времени обеими секциями один и тот же вектор А⁽N) характеризует одновременно оба воздействия и,1 и и,₂.

N

При T = ^А⁽") для простейшего по условиям технической реализации изначально зада-i=1

ваемого режима работы ИНУ с неизменной во времени максимальной мощностью обеих секций будем иметь Nо = 1, и вектор А⁽N⁰) = А¹-¹тем самым определён с точностью до длительности T = А^¹ процесса управления.

А⁽"^до)-параметризация искомых проектных решений g(X) в данном случае непосредственно описывается их заданием в форме (47) при Ng0 = 2 :

• (50)     А"⁰⁾= А® = (А^, Ад2); А® = и, 1„; Ад2 = и,,„„.

(N_o + N„ _о)

В итоге получаем для совместного вектора искомых параметров А_Е^{0 g0}:

• (51)       N0 + Ng0 = 3; А"^{0 +}Ng⁰⁾= А¹^) = (А^,и, 1,„,и,2max).

Интегрирование (в аналитической или численной форме) уравнений модели при параметризованных управлениях u_V(t,А^¹)),g(X) = (u_{V 1max},u_V2max) с последующей подстановкой результатов в (48) обеспечивают редукцию к задаче вида (32) без ограничений с целевой функцией, подобной (25) и (30):

I*(А”^{0 +}Ng⁰)) = max Q(xi,x2,А^^{0 +}Ng⁰))-Q**(Xi,x2) =

X1, X 2^[0,1]

= max .IQ⁽xi, x 2, ^А(1¹⁾’ uVimax, uV 2max ) ^-Q ^АX1,^X 2 )| ^ ₍₁₎^min• ^x1,^x2^e[0,^{1]                                                                            А}1 , uv 1max, uV 2 max

Альтернансные свойства искомых решений A^{N0 +}Ng⁰⁾= (А1¹), u_{V 1max}, u_V2max), определяемые в рассматриваемом случае подобно задаче (25) базовыми соотношениями (22), (24) (где надо заменить АN⁰⁾на A^N0+Ng⁰⁾), приводят с использованием известных закономерностей конечного пространственного температурного распределения [8, 9, 16] к следующей системе шести уравнений альтернансного метода, разрешаемой известными способами относительно всех шести искомых параметров оптимального процесса нагрева А1¹), u_{v 1max}, UV_2max sm^n= min I*, X0 = (x0e, x 0 e) включая выступающие в роли промежуточных неизвестных координаты точки экстремума X4:

⁰дО)                            ** о ⁽³⁾ .

Q⁽X1 , ^А1 , uv 1max, uv2max) Q⁽X 1 )    ^min ;

0 T(l)                              ** 0(3)

Q⁽X 2, ^А1 , uV 1max , uV2max ) Q⁽X 2)    ⁶min ;

0 T(1)                            ** 0(3)

Q(X 3, А| , uV 1max, uV 2max ) Q (X 3)

0 T(1)                            ** 0(3)

Q⁽X 4, ^А1 , uV 1max, uV 2max) Q⁽X 4) ⁶ min;

d 0 дС1)**

• ⁽⁵³⁾_n⁽Q⁽X 4, ^А1 , uV 1max , uV2max) Q⁽X 4 )) ⁰ ox1

d 0 T(1)

_ ⁽Q⁽X 4, ^А1 , uV 1max, uV2max) Q⁽X 4 )) ⁰ dx₂

X⁰= (x.°,x,°.), j = 1,4; x,⁰,. e {x. :0 < x. < 1};x0, e {x, :0 < x, < 1};

J          1 j 2 j                       1 j         1             1             2 j         22

X0 = (0,0); X2⁰= (0,1); X3 = (1,1); X₄⁰= (x^, x0_e);

0 < x0e< 1; 0 < x0_e< 1.

Некоторые расчётные результаты, полученные при нагреве цилиндрических слитков из алюминиевых сплавов Д16 (АА2024) в ИНУ двухсекционного исполнения при Т=215°С, приведены на рисунке 2.

Заключение

Предлагается технология построения программной стратегии принятия решений применительно к широкому кругу задач оптимального проектирования сложноструктурированных систем с распределёнными параметрами, трактуемых как комплексная проблема поиска проектных решений и последующих режимов функционирования объекта, которые обеспечивают в совокупности достижение экстремальных значений совместного критерия качества.

Развиваемая в статье методология базируется на предварительных процедурах параметризации УВ, операции точной редукции исходной задачи к специальным задачам математического программирования и конструктивных способах их последующего решения с исполь- зованием альтернансных свойств искомых экстремалей и фундаментальных закономерностей конкретной ПрО.

а

в

Рисунок 2 – Заданное (1) и полученное (2) температурные распределения по объёму заготовки в процессе нагрева в ИНУ (а), отклонение полученного температурного распределения от заданного по объему (в), радиусу (г) и длине (б) заготовки для

I * = 60 с : д^ = 184.3 c; UV_1max = 2.881 ■ 106 Вт I м³; uV_2max = 4.424-106 Вт I м³; x^ = 0.675; x 0 _e = 0.853