Температурные напряжения в подкрепленной цилиндрической оболочке при нагреве плоскопараллельным тепловым потоком

В авиационной технике широкое распространение получили тонкостенные элементы конструкций типа подкрепленных цилиндрических оболочек. Поэтому при проектировании летатель- ных аппаратов [1] большой практический интерес представляет разработка инженерных аналитических методик расчета несущей способности таких элементов при различных тепловых и силовых воздействиях.

В данной работе исследуется влияние нагрева тонкостенной цилиндрической оболочки плоскопараллельным импульсным лучистым тепловым потоком от бесконечно удаленного источника излучения на её термонапряженное состояние. Оболочка по торцам подкреплена шпангоутами. Тепловой поток падает на оболочку перпендикулярно её оси. В начальный момент времени температура конструкции равна температуре окружающей среды, которая в рассматриваемом временном промежутке остаётся постоянной и равной нулю. Считается, что подкрепляющие элементы имеют прямоугольное сечение. Между оболочкой и шпангоутами существует идеальный тепловой контакт. Температурное поле оболочки формируется под действием падающего на нее лучистого теплового потока, и в результате конвективного теплообмена с окружающей средой, происходящего по закону Ньютона. Во времени тепловой поток изменяется произвольно. Принято допущение о равномерном прогреве оболочки по толщине. Геометрические характеристики сечений шпангоутов малы по сравнению с радиусом оболочки.

Линейная несвязанная квазистатическая задача термоупругости решается в два этапа:

• 1)    Исследование температурного поля конструкции;

• 2)    Проведение анализа её термонапряженного состояния.

• 1.    Определение температурного поля конструкции.

• а)    Температурное поле вдали от торцов оболочки. Пусть t = t(F ₀ , p) - функция распределения температуры в средней части оболочки. Она является решением параболической начально-краевой задачи:

dt     d 2 t    q (F o )        .

5F0 = di +      (p)™(p) -B,t при начальном t|^0 = 0

и граничных

dt dFo

V = 2

dt dF o

= 0 v = - 2

условиях. Здесь введены обозначения:

t ⁰ A ⁰             а°т ⁰

t = 0^, Fo =    , qmaiL

h =

h°

R’

Bi *

^a o ^R2      ,        q ^{0 ( F} o )

■          ’ q F

/x IL                  qmax

где R - радиус оболочки h ⁰ - ее толщина, a - коэффициент теплоотдачи от оболочки в окружающую среду вследствие конвективного теплообмена, q ⁰ (F o ) - мощность лучистого теплового потока, приходящаяся на единицу площади поверхности оболочки, q _m ах ⁰ - максимальное значение мощности теплового обмена, т ⁰ - время, t ⁰ - функция распределения температуры по оболочке , p -угловая координата на торцевом сечение оболочки (так как температурное поле оболочки будет оставаться симметричным относительно плоскости, проходящей через ось оболочки параллельно направлению теплового потока, то рассматривается половина оболочки - ^/2 <= p <= ^/2, ^ (p) -функция Хевисайда, А ⁰ и а ⁰ - коэффициенты тепло- и температуропроводности материала оболочки.

Асимптотическое решение данной задачи, описывающее температурное поле оболочки во время действия импульсного теплового потока, можно представить в виде [2]

- = IX^ [^Г° q «) «. h 0

для расчетов температурных полей конструкции во время ее последующего остывания вследствие конвективного теплообмена с окружающей средой можно использовать выражение

Т ⁽ p ^)s in p Г^F0           *_F.

t = ---- ----- J   q (E) dE * e 0

где Fq = Fq|_to_=to * т 0 - длительность теплового импульса. ^               _n

• б)    Температурное поле оболочки в области подкрепляющих элементов.

Считается, что между оболочкой и шпангоутами существует идеальный тепловой контакт, гео- метрические характеристики сечения подкрепляющих элементов малы по сравнению с радиусом оболочки, процессом теплопередачи в окружном направлении по сравнению с распространением тепла в осевом направлении можно пренебречь, шпангоуты имеют прямоугольное сечение.

При таких допущениях функцию распределения температуры можно найти из решения задачи теплопроводности

1 pti _ p4i

--ту =  ^ ^{- Bi} i ^t i , a pr o px ²

pt pF

£1 -Bi-t +  r px2               - t1|Fo=O = t|Fo=O = 0,

(ti      = (t      = 0 Фх ж=-1   Фх ж^ж    ’ (t1        pt ti|a=o = tlx=o, XH --- = --- , Px ж=0   Px ж=0 X1t1          Xoto           а°т         x0 t1 = Iq°    ,   t = lq ,     0 = /2 , X = Z , L «max         «Imax           L            L Н = -1, -o h°         X0         а0       *    а11             а012 - = y,  X = X0,  а = 00,  Bi- = ХЭД■  Bi* = xo-o где t1 - функция распределения температуры по высоте ребра, -1 и I - толщина и высота сечения шпангоута, а1 и X1 - коэффициенты температуро- и теплопроводности материала шпангоута, а0-коэффициент теплоотдачи от подкрепляющего элемента в окружающую среду, х1 - криволинейная пространственная координата, проходящая от нижнего основания сечения шпангоута к верхнему и далее перпендикулярно подкрепляющему элементу в срединной поверхности оболочки. Асимптотическое решение этой задачи для случая Н = а = X = 1,^1 а 0, построенное с помощью преобразования Лапласа по времени, может быть записано в виде [3]:

Т (p)sinp F0 ,        .       *_      „ |х|        „2 — |х|\ , ti = ----г----     « (Fo — т) • e s«   er/c -Цк + er/c        dт,

- Jo                  \    27т       27т )

t = ^{Т (} i ^P 2e -=- ' F o ( [ ^F 0 q (т) dT+ - _o

+

^F o

J   q ^{( r}o ^{— т} )

_е Вг * т

f artc^^^ — erfc^ ) d^|

V     2 7 т    ^f 2 7 т)  )

Во время действия импульсного теплового потока функция распределения температуры может быть записана следующим образом:

t = Q * ! ( 2 — | ф |) cos

J q (7 d^.

где ^T = 5 0 ф p(1^E^ 2 ) ,Q * = ^ ^^т^ \' - 44- - модуль упругости, Ц- коэффициент Пуассона, a _t - коэффициент линейного температурного расширения. Далее, считается, что выполняются условия

F ° „ <  10 — 2 , < < 0,1.

Выполнение этих условий позволяет пренебречь процессом теплопроводности в срединной поверхности оболочки и конвективным теплообменом между конструкцией и окружающей средой. В случае интенсивного конвективного теплообмена (В i* > 10) температурное поле оболочки может быть представлено в виде t = О^еЧт—Ти) cos фТ (| - |ф|) .

_о*    « t ^Rq ^ _a x 1 ¹ — Ц ² f _п        _   a°R 1 ¹ — Ц ²

^Q “ =      ^"Ж ^{q     Q} =

Т „ = ^т | Т 0 = 5 0 ¹

Здесь принято, что ф = 0 на образующей, где тепловой поток падает на оболочку перпендикулярно ее поверхности. Основное уравнение теории цилиндрических оболочек в комплексной форме может быть записано следующим образом [4]

̃︀

4~ д ² т     2 д ² т

А Т + КЛ9 + i2b Я 9

дф ²        дх ²

i2b 2

( а, ;

СГ

Др

⁺ дф

даД дх ) ,

. т    д²    д²    ~   ~   ~   ~            1 1 — ц² , ,        ,

^{А       +} "рЩ, ^Т = ^{N + Е}Ф, ^N = N_x ^— гх———h (х _у ^— Хт ) .

дх ²    дф ²                                V 12

N p

= N р

Ц ²

^{h (} Х х

— х т ) ,

ГТ—'

N x_V

= N x_V

■ 1 1 — Ц² А ^гу —j^— ^hXxp

Mx = Mt + г\ Д^-? (Ж^-^{х х} V 12 h

M x_V = М хф ^— i-J     44т ,

12  2 h

Х р =  ---2 ⁽ М р ^{— цМ}х) ^{+ х},

1 — Ц

« » = М ^р + .4Д (^Г

Х х = 1 _— Ц ₂ ^{( М} х ^— Ц^М р ) ⁺ Х т ,

12                      Г⁰’⁵

Х хр = 1 _— Ц М хр , е т = у tdz

Х т = 12 / ° '⁵ txdx. ^h V- ° ' 5

/ ^q ;

h

= Qn + г

⁴    712(1 — ц ²)

( д (, х + Ц,х^ у дх

дЛ4+ дф

^Офф^

Q ; .

т       °                т

° х     ° х ^{+ г,} х . ^t   ^■t^t .   ^q p     ^q p ^{+ iq} p .

V = > ( 1 - М 2 ) ,  N * = ^ ( 1 - М 2 )     = ^ ( 1 - М 2 ) ,

N x      М  , T             N *      и2

^ x =      2 - 1----2^N* + ^t,  ^e* = 12 - 1----2^Nx ^{+ t}, ^ex* = 12

1 — М2   1 — М2               1 — М2   1 — М2              1

Эи        Эи             Эи   Эии

^ x , ^е *        + 'ш, ^e x*         + т; , ^и _о ,

Эх       др            dtp  дхR w   V0       -'       J 3(1 — М2)

^v = R’ " = R’ ^b = 4

где то ⁰ -прогиб,и ⁰ и и ⁰ -тангенциальные перемещения, N . и N * -нормальные усилия, N x* - сдвигающее усилие, M Х и М * -изгибающие моменты, М* * -крутящий момент, e _x ,e * и е * х - компоненты тангенциальной деформации, х Х , X * ,X _x р ⁰ -компоненты изгибной, q . , q * ,q® - компоненты силовой нагрузки. В данном случае (силовая нагрузка отсутствует, температура постоянна по толщине и образующей) основное уравнение принимает вид

~

~

^.т + д + Йь   = др2       дх2

/.     ₂ч / д ⁴ t    д ² t\

^— ( 1 ^{— М} ) W ⁺ дй2) ,

Комплексные усилия определяются через функцию Т по формулам

Z

N * = 2^ 2 ^ Т + q _n , N x =Т — N _v ,

dN x_V др

̃︀

on _x дх ’

0NxV _ ~  . дТ on дх      q* 2b2 дф   дф

Комплексные перемещения определяются через комплексные усилия с помощью соотношений закона Гука

̃︀

^e x

ди

дх

̃︀

^е *

ди

̃︀

=   +w др

̃︁

^e x*

дй

̃︁

N _x

М ²

̃︁

N *

М ²

М

̃︁

ди

др дх

М 2 ^Ж * ^{+ 1}

М

̃︁

^N *

М

̃︂

М

N x*

М

^{+ 1} Vr

¹ VI

2 НМ * + 1,

М2

М ²

НМ * + 1,

2НМ*ф,

где М * * , M Х * , М, * * -статическая система функций.

Задачу будем решать методом разделения переменных представляя все искомые функции в виде рядов Фурье по угловой координате. Функцию распределения температуры аппроксимируем формулой

_   /1

^{t   t} m I

V ^

+ - cos р + 0, 212 cos 2р^ , t _m = t| * =0

Далее для каждой гармоники из основного уравнения теории цилиндрических оболочек в комплексной форме определяем функцию Т затем находим комплексные усилия и комплексные перемещения (при этом принимаем М * = M Х = M Х * * = 0) и после отделения вещественных частей находим выражения для перемещений, куда входят неизвестные константы. Эти константы определяем из граничных условий. Выражения, описывающие напряженно-деформированное состояние защемленной по торцам х = 0,х = х 1 цилиндрической оболочки во время импульсного нагрева получены в виде:

N x

Q *

( 1 — / ² ) ^ —+ - cos p + 0, 212 cos 2ф

) E q ■

de

N _p = — Q * ( 1 — / ² ) (1 + /) • ( e ^bx (cos bx + sin bx) + e ^{b ( x} 1 ^{x )} (cos b (x 1 — x)

+ sin b (x 1

x)) • (

^ ⁺ 2

cos p + 0, 212 cos 2p

) E q ^ю

de

N _xp = 0, и = 0, x = 0

w = Q *

(1+z) Q+

- cos p + 0, 212 cos 2p^

( 1 — e ^bx (cos bx + sin bx) — e ^{b ( x} 1 ^{x )} (cos b (x 1 — x) ^T q (e) ae

+ sin b (x i — x)) /

J 0

M x

z ²

• (1 + /) ^—+ - cos p + 0, 212 cos 2p^ (( e

—bx

(cos bx — sin bx)

+e ^{—b ( x} 1 ^{—x )} (cos b (x 1

— x) — sin b (x 1

— x)))_/j q (e) ae

M _p = /M x , M _xv =0

Во время последующего остывания оболочки при интенсивном конвективном теплообмене решение задачи может быть записано следующим образом

N x

— Q * e ^—9'

( 1 ^{— / 2} ) Q ⁺

- cos p + 0, 212 cos 2p

,

Nip =  Qe "' ' ■ ( 1 — / ² ) •

• (1 + /) ^—+ - cos p + 0, 212 cos 2p^ ( e

— bx

(cos bx + sin bx)

+e ^{b ( x} 1 ^{x )} (cos b (x 1 — x) + sin b (x 1 — x)),

N _xp = 0, и = 0, x = 0,

^ = Q> ^{— e}* ^{( T}-^T - ) (1 + z) Q

+ - cos p + 0, 212 cos 2p^

( 1 — e ^bx (cos bx + sin bx) — e ^{b ( x} 1 ^{x )} (cos b (x 1 — x) +

+ sin b (x 1 — x)))

M x

EE

/

e

^— 9 * ^{( t} —’_u )

(1 + /) ^—+ - cos p + 0, 212 cos 2p^

( e ^bx (cos bx — sin bx) + e ^{b ( x} 1 ^{x )} (cos b (x 1 — x) —

— sin b (x 1 — x)))

M p = /M x , M xp =0

Заключение

При рассмотренном виде нагружения оболочка может потерять устойчивость от усилия N _x . Сравнивая напряжения ст от этого усилия с критическим сг _кр , можно получить представление о характере работы оболочки. Если с < с кр , то оболочка будет работать в докритическом состоянии.

В противном случае может произойти потеря устойчивости. Следует добавить, что геометрические характеристики оболочек, применяемых в конструкциях летательных аппаратов таковы, что полученные выше зависимости обеспечивают необходимую для практических расчетов точность.