Теорема Боля-Перрона для гибридных линейных систем с последействием

Исследованию по устойчивости решений гибридных линейных систем с последействием (ГЛФДСП) к настоящему времени посвящено крайне мало работ.

В работе В.М. Марченко и Ж.Ж. Луазо [1] исследована задача об устойчивости решений линейных стационарных ГЛФДСП. Для систем вида

Xr (t) = A х (t) + A12x2 (t), x2 (t) = Ax (t) + Ax (t - h), x1 (0) = x10 g R^, x2 (т) = ^(t), t g [-h, 0), An g Rkxk, A g Rkx(n-k),  A g R(n-k)xk,  A22 g g ]j(n-k)x(n-k),  ^. [—h,o) ^ n—k^ — кусочно-не прерывная вектор-функция, получены необходимые и достаточное условия экспоненциальной устойчивости [1].

Предложенная статья продолжает исследование, начатое в [2–4]. Построенная в настоящее время общая теория функционально-дифференциальных уравнений [5–8] позволила дать ясное и лаконичное описание основных свойств решений, в том числе свойства устойчивости решений. В то же время

Работа выполнена при поддержке АО "ПРОГНОЗ". ^∗ Статья написана по материалам международного симпозиума "Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала". Пермь. 16–19 мая 2016.

широкие и актуальные для приложений классы систем ГЛФДСП, а именно, гибридных линейных функционально-дифференциальных уравнений с последействием (ГЛФДУП), формально не охватываются построенной теорией и во многом остаются вне поля зрения специалистов, использующих функционально-дифференциальные и разностные системы с последействием для моделирования реальных процессов. Ниже предлагаются гибридные функционально-дифференциальные аналоги основных утверждений теории функционально-дифференциальных уравнений для задач устойчивости, в частности, теорема Боля–Перрона.

Схема W-метода

Обозначим через y = {y (-1), y (0), y (1),..., y (N),..} бесконечную матрицу со столбцами y (-1), y (0), y (1),..., y (N),... размерами n, а через g = {g(0),g(1),...,g(N),..} бесконечную матрицу со столбцами g(0),g(1),...,g(N),... размерами n.

Каждой бесконечной матрице y = {y (-1), y (0), y (1),..., y (N),.} можно сопоставить вектор-функцию

y ^(t ) = y ^{( - 1)} - _{[ - 1}, ₀₎⁽ t ) ⁺ у ⁽⁰⁾ ^ _[0,1)⁽ t ) ⁺

y ⁽¹⁾ - [1,2) ^{( t} ) ⁺ ... ⁺ У ⁽ N ) - [ N , N + 1) ( t ) ⁺ -

Аналогично, каждой бесконечной матрице g = {g(0),g(1),...,g(N),...} можно сопоставить вектор-функцию g (t) = g (0)Z[0,i)(t) + g (1)Z[i,2)(t) +...

+ g ⁽ N X [ N , N + 1) ^{( t} ) +

Символом y (t ) = y [ t ] обозначим вектор-функцию y(t ) = y ([ t ]), t g [ - 1, w ). Символом g [ t ] обозначим вектор-функцию g ^{( t} ) = g ^{([ t ]}X t ^{g [0, w )}.

Множество таких вектор-функций y [ - ] обозначим символом . Множество таких вектор-функций g [ • ] обозначим символом £. Обозначим

( A y ^{)( t} ) = y^(t ) ^- y^{(t -} 1) = y^{[t ]} - y ^{[ t} - ^1] при t >  1, ( A y )( t ) = y(t ) = y [ t ] = y (0) при t g [0,1).

Запишем абстрактную гибридную функционально-дифференциальную систему в виде

1 х + £y^y = ^{x -} F 11 ^{x - F} _n ^y = f , (i) Л 1 ^{x +} A2 y = ^A у - F 21 ^x - ^F 22 y = g .

Здесь и ниже If - пространство векторов а = col{ax,...,a"} с действительными компонентами и с нормой ||а|Rn . Пусть про- странство L f :[0, w) - Г

T

локально

с

суммируемых полунормами

II f IIL[0,T] = j||f (t)d  для всех T > 0 . Про- странство D локально абсолютно непрерывных функций х: [0, w) — ИГ с полунормами 11 х 11D[0,T] =|1 х 11 L[0,T] '+1XИд» для всех T > 0.

Пусть пространство £  бесконечных матриц g = {g(0),g(1),...,g(N),...} с полунор-

T мами || g\\tr = 2|g;||s,  для всех T > 0 . Про- i=0

странство    £^    бесконечных матриц y = {y (-1), y (0), y (1),..., y (N),...}  с полунорма-

T ми IIyIL0r = XIИк для всех T>-1. Опера-i=-1

торы      £11 , F 1 : D — L ,     Z^₂ , F ₂:£₀ — L ,

Z^, F ₂₁: D — £ , £,₂, F₂₂ :£ ₀ — £ предполагаются линейными непрерывными и вольтерровыми.

Если элементы   col{ x , y }   :[0, w ) x

[-1, w) — R” x R” образуют банахово пространство D x Mo = (B x R”)x (M )X IT) (про странство D c D, пространство пространство B c L, пространство M c £, B, M - банахо-вые пространства) обладают какими-нибудь специфическими свойствами, например sup IIx(t Л я» + sup 11 y(k Ц й» 0           R     к=-1,0,1,...            R уравнения £{x, y} = col{f, g} с линейным ограниченным оператором £: D x Mo — B x M однозначно разрешима задача Коши, то и решения этой задачи будут обладать такими же асимптотическими свойствами.

Пусть модельное уравнений [5-8] Z^j x = z и банахово пространство B с элементами из пространства L ( B c L и это вложение непрерывно) выбраны так, что решения этого уравнения обладают интересующими нас асимптотическими свойствами.

Например, sup II x ( t )II _n . Тогда, по- t >  0

def ложив x=x = x + x = z, принимаем в качестве банахова пространства B банахово пространство L измеримых и ограниченных в суще ственном функций z: [0, w) — R» с нормой vraisup II z(t) II , < w. Пространство D(/;„Lw), t > 0

порождаемое модельным уравнением, будет состоять из решений вида x (t) = (   z) (t) + (Wna)(t) =

= p ^{- (} t ^- s ) z ( s ) ds + a e ^- t 0

( a eR " , z G L w ).

Эти      решения      ограничены

(sup II x ( t ) II » < w ) и их производная x = - x + z t >  0

принадлежит пространству L . Все решения этого уравнения образуют банахово пространство с нормой

W ^x W D (A 1 , L w ) =

^vraisup11 x (t)+x (t) Wr n + wx (0) wr n< w, которое линейно изоморфно пространству С.Л. Соболева W^ 1)[0, w) с нормой

W ^{x II} W w ¹⁾[0,w) =

= sup ||| x ( t )| R » + vraisup i x ( t )| R » .

Дальше будем это пространство обозначать как W_L . При этом W_L c D , и это вложение непрерывно.

Аналогично для банахова пространства

B о L можно ввести банахово пространство D (4i, B) с нормой

II x 11 D (£_n,B)      II x + x IIb + || x ( ^{0 )} |_Rn •

Здесь вложение B c L непрерывно. Предположим, что оператор W_n непрерывно действует из пространства B в пространство B , и оператор U_n действует из пространства R " в пространство B . Это условие эквивалентно тому [5, 8], что пространство D (4i, B ) линейно изоморфно пространству С.Л. Соболева ^ _в⁽¹⁾[0, ^ ) с нормой

• ¹¹ x ¹¹ W (1) [ ₀ ,®) ^{= I1} x || B + ¹¹ x || B •

Дальше будем это пространство обозначать как WB. При этом WB о D, и это вложение непрерывно.

Будем говорить, что уравнение Х = = z с оператором 4: D (4i) ^ B D (4i, B ) -устойчиво, если для каждой правой части z g B каждое решение x g D (4i, B ) [5]. D (4J c D -область определения оператора 4i.

Уравнение 4л = z с оператором 4 1 : D (41 , B ) ^ B , удовлетворяющему условию выше, D (4i,B) -устойчиво тогда и только тогда, если оно сильно B -устойчиво. Уравнение £ = = z сильно B -устойчиво, если для любого z g B каждое решение x этого уравнения обладает свойством: x g B и x g B [5, гл. IV, § 4. 6; 8].

Операторы 41 : D ^ L , 4г^: ^ о ^ L , 4i: D ^4 4^o^^ рассматриваются как приведения на пары ( W _B, B ), ( M_o , B ), ( W b , M ), ( M o , M ). Эти операторы предполагаются линейные вольтерровые и ограниченные.

Предположим, что общее решение уравнения 42 У = g для g g M принадлежит пространству M и представляется формулой Коши:

t

y[t ] = Y ₂₂[ t ] у ( - 1) ■ Z C ₂₂[ t , s ] g [ s ].

s =0

Введем пространства: для 1 <  p <  +^ обозначим пространства:

p p I n I

+”

p o =j у ^g ^0 ^:H у IL p ₀ =1 Z l^I у ⁽ k ⁾ll_]

V k =- 1

1 p p I

TO n I

I

£ p =i g ^g ^i g ^ ,=l Z ^II g ^{( k )II} _:

k =0

Для p = ад обозначим пространства:

i . 0 = ^{ У ^G ^^ У ^II _f, 0 =

= sup ^II у ^{( k )II} _R n <+» } , k =-1,0,1,---

£. = { g g^ :II g I I, =

= ^SUP ^I ^^{( k} )l ^I n <+^ ^}.

k =0,1,-

Банаховы пространства ^o и 4 - это примеры пространств типа M и M .

Г

Обозначим: 4 = v A1^22 у

Тогда (1) записывается в виде

Г^{ x , у } = col^{ 4 , g ^}.

Предположим, что для любых x(0) g К" и у(-1) g К" однозначно разрешима задача Коши для "модельной" системы x = 40 x+F0 z + z, Ду = f° z+f0 у+u, где операторы    F0: D ^ L, 42:4 ^ L,

F0 : ^ 0 ^ L, Fi1: D ^ 4 F2  о ^ ^ предпо- лагаются непрерывными и вольтерровыми.

Тогда модельную систему можно коротко записать так: 4{ x , у } = col{ z , u}.

Пусть ее решение имеет представление

Г x IJ U 11   U 12 If x (0) W W 1   W 2 If z I

V У J V U 21   U 22 Л У ( - 1) J V W 21   W к u J ■

Здесь W:Lx£^Dx£0 - непрерывный вольтерров оператор Коши для системы,

WW w =   1112

ww vr *21    22 22 J

U : R n x R n ^ D x^₀ - фунда-

ментальная матрица для системы,

Tr  f U11

U =

V ^U 21   ^U 22 J

Теоремы Боля–Перрона

Для обыкновенного дифференциального уравнения еще в монографиях [9, 10], отмечались явления, которые в терминах D(41, B) -устойчивости можно сформулировать следующим образом. При определенных условиях относительно оператора 41 из D(4i, B) -устойчивости следует более тонкое асимптотическое   свойство, а именно

D (Z^, B_t ) -устойчивость, где Bj - некоторое подпространство пространства B .

Следуя традиции Пермского семинара [5-8], соответствующие утверждения будем называть теоремами Боля–Перрона. В основе следующих доказательств таких теорем лежат свойства      подпространства      B С L, вытекающие из их порядковой структуры, которую определим следующим образом. В векторном пространстве ИГ введем частичную              упорядоченность:

а = coia,...,ап}>0,      если      а > 0, i = 1,..., n ; а > в, если, а — в > 0. Через |а| будем обозначать вектор, определяемый равенством   |а|= col {| а |,... ,| ап |} . Будем предполагать, что в пространстве   Rn зафиксирована норма || || ^n, обладающая свойством монотонности:   || а || n <|| b || n, если |a|<|b . В соответствии с порядком в пространстве Rn введем отношение порядка в пространстве L. А именно у > 0, если у(t) > 0 почти всюду на [0,т); у > z, если у — z > 0 . Через  | у |  будем обозначать функцию, почти всюду на   [0,ос)

определяемую равенством    | у | ( t ) = | у(t ) | .

Относительно банахова пространства Be L будем предполагать, что норма в пространстве B согласована с порядком через условие идеальности : если zEL , у е B ^{и |} z^у ^| , то ^z eB и ^|| Z ^|| b ^1 у || _в .

Среди прочих свойств пространств, удовлетворяющих этому условию  (банаховых идеальных пространств [11]), отметим следующие:

• 1) норма в таком пространстве B

обладает свойством монотонности;

• 2)    любое ограниченное по порядку подмножество пространства B имеет точные грани ( B - K -пространство );

• 3)    в пространстве B определены "срезки" - операторы умножения на характеристические функции х измеримого множества M С [0,оо); 4) вложение B С L непрерывно.

Экспоненциальная устойчивость

Всюду ниже через B обозначим " весовое пространство", элементы которого у связаны с элементами z пространства B соотношением у = z^ , где z. (t) = e~gtz(t), z eB, причем || у ||b =|| z ||b .

g

Всюду будем предполагать, что для пространства B и модельного уравнения 0X j x = z  выполнены условия: существует число такое в >0, что

• а) оператор Коши W_n   модельного

уравнения действует из пространства B в пространство Ср и ограничен; б) столбцы фундаментальной матрицы Un модельного уравнения принадлежат пространству C . Здесь и ниже С - пространство непрерывных и ограниченных функций x: [0.^) ^ R” с нормой || x ||C =sup| x(t)|, С.   - весовое t> 0

пространство функций y , представимых в виде у ( t ) = up , где U p ( t ) = e ^{— e} t u ( t ) , u e C , || у ||^=|| u ||_c . Приведенные условия гарантируют непрерывное вложение D (£°_р B^ ) с С р .

Таким образом, в частности, модельное уравнение экспоненциально устойчиво : U (t ) <  Ne^{- p t} при всех t >  0 для некоторого положительного N .

Сформулируем распространение теоремы Боля-Перрона на уравнение £=х = f [6-9].

Теорема 1. Пусть уравнение Z^ x = f D (С B ) устойчиво,     а     оператор

Z^: D(PJ ^ L действует из пространства D (4, B а )   в пространство   B    при некотором а e (0, в], причем оператор ^ ^: Ba   B а регулярен. Тогда существует такое число y e (0, а], что уравнение £цх = f будет D(^,B^)— устойчивым для всех у e (0, Y ).

Оператор Q: B B    называется регулярным, если равен разности двух положительных операторов.

Введем F - весовое пространство, элементы которого у связаны с элементами z пространства Г соотношением у = z , где pγ zg(t) = e gtz(t), zcy, причем ||у ;gg =||zЩg.

Сформулируем      распространение теоремы Боля–Перрона на уравнение £{x, y} ={f, g}.

Теорема 2. Операторы £_li : D (Z^J^ L , 4 ₂: D (C^       L, Ъ: D (CJ       Г,

£,₂ : D(£₂₂)^£ действует из пространств D (4,B_a) и D (&,е ° ) в пространства B и £ a при некотором a 6(0, b ] для некоторого 1 <  p <  +^ . Пусть, уравнение    £ =x = f

D (С, B ) — устойчиво и уравнение y> ₂y = g D (Z^₂ ,£ ) — устойчиво, причем операторы 4 1W11 ^{: B} a ^^B a и 41^W22 ^: 4^ a" регулярны. Пусть,           далее,           уравнение

A x = (£11- 4 C^ x = fl      D (41, B) - устойчиво и оператор W^: B^B регулярен. Тогда существует такое число g0 6(0, a], что уравнение £{x, y} = col{f, g} будет D(£, Bx Zg ) — устойчивым для всех g F<0,go).