Теорема Гельфанда - Мазура для C*-алгебр над кольцом измеримых функций

Установлено, что всякая C ^∗ -алгебра классов эквивалентности измеримых сечений, элементы которого с единичным носителем обратимы, изоморфна алгебре измеримых функций.

Как известно, одним из важных результатов в теории банаховых алгебр является теорема Гельфанда — Мазура о том, что всякая банахова алгебра в которой всякий ненулевой элемент обратим, изометрически изоморфна полю комплексных чисел.

В последнее время интенсивно изучаются модули Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций (см. [1–4]). При этом основными методами исследования являются: метод булевозначного анализа и метод измеримых банаховых расслоений. Применение булевозначного анализа хорошо отражено в монографии А. Г. Кусраева [2], а метод измеримых банаховых расслоений в работе А. Е. Гутмана [1]. Исследование циклических комплексных C ^∗ -алгебр, наделенных модульной структурой над алгеброй Стоуна с использованием методов булевозначного анализа предложено в работе [3] (см. также [4]). В [3] для C ^∗ -алгебр, наделенных модульной структурой над алгеброй Стоуна с использованием методов булевозначного анализа были получены векторные аналоги теорем Гельфанда — Мазура и Глисона — Желязко — Кахана. А в [5], используя метод измеримых банаховых расслоений, было дано представление C ^∗ -алгебр над кольцом измеримых функций в виде измеримого расслоения классических C ^∗ -алгебр.

В данной работе доказывается, что всякая C ^∗ -алгебра Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций, каждый элемент которой с единичным носителем обратим, изометрически ∗ -изоморфна алгебре измеримых функций.

Пусть (Q, X, ^) — пространство с полной конечной мерой, L 0 = L 0 (Q) — алгебра всех комплексных измеримых функций на (Q, X, ^) (равные почти всюду функции отождествляются).

Рассмотрим векторное пространство E над полем C комплексных чисел.

Определение 1 [4]. Отображение || • || : E —> L° называется L⁰-значной нормой на E , если для любых x, y ∈ E и λ ∈ C имеют место соотношения:

• 1)    k x k > 0; k x k = 0 О x = 0;

• 2)    k Ax k = | A |k x k ;

• ³⁾    ll x + yk 6 k x k + kyk.

Пара (E, || • k ) называется решеточно-нормированным пространством (РНП) над L 0 . Говорят, что РНП E d-разложимо, если для любого x ∈ E и для любого разложения ||x | = e i + e 2 в сумму дизъюнктных элементов найдутся такие x i , Х 2 G E , что x = x i + X 2 и | x 1 k = e 1 , | x ₂ | = e ₂ . Сеть { x _a } элементов из E называется (Ьо)-сходящейся к x G E ,

(c) 2006 Кудайбергенов К. К.

если k x _a — x k — 0 в L ⁰ . Пространством Банаха — Канторовича (ПБК) над L 0 называется (Ьо)-полное d-разложимое РНП над L 0 (см. [2, 4]).

Пусть U — произвольная * -алгебра над полем C комплексных чисел и U является модулем над L 0 , причем (Au) * = Au * , (Au)v = A(uv) = u(Av) для всех A G L 0 , u, v GU . Рассмотрим на U некоторую L ⁰ -значную норму k · k , наделяющую U структурой пространства Банаха — Канторовича, в частности, ||Au k = | A || u | для всех A G L 0 , u G U .

Определение 2 [5]. U называется C ^∗ -алгеброй над L ⁰ , если для всех u, v ∈ U имеют место соотношения:

• 1)    k u • v k 6 HHMI;

• 2)    k u * k = k u k ;

• 3)    k u * • u k = k u k ² .

Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке ш G Q некоторую C * -алгебру ( U (ш), Ц • ||_ш ). Сечением X называется функция u, определенная почти всюду в Q и принимающая значение u(ш) G U (ш) для всех ш G dom u, где dom u есть область определения u.

Пусть L — некоторое множество сечений.

Определение 3 [5]. Пара (X, L) называется измеримым расслоением C * -алгебр, если

• 1)    A i c i +A ₂ c ₂ G L для всех A 1 , A 2 G C и c 1 , c ₂ G L, где A 1 c 1 +A ₂ c ₂ : ш G dom c 1 n dom c ₂ — A i c i (w) + A 2 C 2 (ш);

• 2)    функция ||c| : ш G domc — ||c(ш) k ш измерима при всех c G L;

• 3)    для каждой точки ш G Q множество { c(ш) : c G L,ш G domc } плотно в U (ш).

• 4)    если u G L, то u * G L, где u * : ш G domu — u(ш) * ;

• 5)    если u, v G L, то u • v G L, где u • v : ш G dom u П dom v — u(ш) • v(ш).

n

Сечение s называется ступенчатым, если s(ш) = ^ X A i (ш)^(ш), где c i G L, A i G X, i =1

i = 1,..., n. Сечение u называется измеримым, если найдется такая последовательность { s n } ступенчатых сечений, что ||s _n (ш) — u(ш) k ш — 0 почти для всех ш G Q.

Пусть M (Q, X) — множество всех измеримых сечений. Символом L 0 (Q, X) обозначим факторизацию M (Q, X) по отношению равенства почти всюду. Через u обозначим класс из L 0 (Q,X), содержащий сечение u. Отметим, что функция ш — || u(ш) k ш измерима для любого u G M (Q,X). Класс эквивалентности, содержащий функцию ||u(ш) k ш , обозначим через ||u|. Положим u • v = u(ш) • v(ш) и u * = u(ш) * .

В работе [5] доказано, что (L 0 (Q,X), Ц • Ц ) является C * -алгеброй над L 0 .

Пусть L “ (Q) алгебра ограниченных измеримых функций на (Q, X, ^), L “ (Q) — факторизация L “ (Q) по отношению равенства почти всюду. Положим

L ^ (Q,X) = { u G M (Q,X) : ||u(ш) k _ш G L “ (Q) } .

Элементы из L “ (Q,X) называются существенно ограниченными измеримыми сечениями. Множество классов эквивалентности существенно ограниченных сечений обозначается символом L “ (Q,X).

Рассмотрим произвольный лифтинг p : L “ (Q) — L “ (Q) (см. [1]).

Определение 4 [5]. Отображение l x : L “ (Q,X) — L “ (Q, X) называет- сявекторнозначным лифтингом (ассоциированным с лифтингом p), если для всех u, v G L “ (Q, X) и A G L “ (Q) имеют место следующие соотношения:

• 1)    l x (u) G u, dom l x (u) = Q;

• 2)    k l x (U)(ш) k _ш = p( k U k )(ш);

• 3)    l x (u + v) = l x (u) + l x (v);

• 4)    lx (Au) = p(A)l x (u);

• 5)    lx (u * ) = lx (u) * ;

• 6)    lx (uv) = lx (u)l x (v);

• 7)    множество {lx (й)(ш) : u G L ^X (Q,X ) } плотно в U (ш) для всех ш G Q.

Пусть U и V — C * -алгебры над L 0 . Оператор Т : U ^ V называется:

• (a)    L°-линейным, если Т(ах + ву) = aT (x) + вТ (у) для всех а, в G L 0 и х,у G U ;

• (b)    изометрией, если ||Т(х) к = ||х|| для всех х G U ;

• (c)    * -гомоморфизмом, если Т (ху) = Т (х)Т(у) и Т (х * ) = Т (х) * для всех х, у G U .

Говорят, что U изометрически ∗ -изоморфно V , если существует L ⁰ -линейный изометрически ∗ -изоморфизм из U на V .

Известно [5, теорема 2], что для всякой C ^∗ -алгебры U над L ⁰ существует измеримое расслоение C * -алгебр (X, L) такое, что U изометрически * -изоморфна L 0 (Q,X), и на L ^X (Q,X) существует лифтинг, ассоциированный с некоторым числовым лифтингом р.

Далее везде L 0 (Q, X) есть C * -алгебра над L 0 с единицей е и | e | = 1 , где 1 — единица в L 0 . Заметим, что на L ^X (Q,X) можно ввести числовую норму, полагая

| х | - = kk x kk L - (Q) , х G У Q,X).

Так как (L ^ (Q,X), || • || ) ПБК над L ^X (Q), то из [4, теорема 7.1.2 (1)] следует, что (L ^X (Q,X), || • к ^ ) банахово пространство. Кроме того, для х,у G L ^X (Q,X ) имеем

II^х • у х = ||^|х • У^kk L-(Q) 6 |||1^х1Н| у|||| ь~(П) 6 ^kkxkk L-(Q) ^kkУ^kk L-(Q) = INUMIx , кх* • х|х = ||х* • х|||^ ) = kkxk ² | l- (Q) = ||||х|||^_№ = IHL

Следовательно, (L ^X (Q,X), || • | _х ) является C * -алгеброй над C.

Для х G L 0 (Q,X) положим A x = { ш G Q : || х || (ш) = 0 } . Идемпотент n _x = X A x называется носителем элемента х. Если п _х = 1 , то х называется элементом с единичным носителем. Отметим, что носитель элемента x это наименьший идемпотент из ∇ со свойством п _х х = х, где V — полная булева алгебра всех идемпотентов из L 0 .

Следующий результат является векторным аналогом теоремы Гельфанда — Мазура.

Теорема 1. Пусть L ⁰ (Q, X) — C* -алгебра над L 0 . Если всякий элемент из L 0 (Q, X) с единичным носителем обратим, то L 0 (Q,X) изометрически *-изоморфно L 0 .

• <1 Пусть х G L ^x (Q,X) и х = aa * >  0. Покажем, что х = | х | е. Пусть у = | х | е — х. Положим A y = { ш G Q : | у | (ш) = 0 } и П у = X A y • Элемент П у ^ е + П у у является элементом с единичным носителем. Поэтому существует z G L 0 (Q, X) такое, что е = (п у ^ е + П у y)z = z^ y ^ e + п _у у). Отсюда почти для всех ш G A y имеет место y(ш)z(ш) = z(ш)y(ш) = е(ш). Следовательно, почти для всех ω ∈ A y имеем

• ( | х(ш) | _ш е(ш) — x(ш))z(ш) = z(ш)( k x(ш) k _ш е(ш) — х(ш)) = е(ш).             (1)

Так как х = aa * > 0, то х(ш) = a(ш)a * (ш) > 0 почти для всех ш G Q. Поэтому из [6, теорема 11.28] число k x(ш) k w почти для всех ш G Q принадлежит спектру элемента х(ш) G U (ш), где U (ш) комплексная C * -алгебра, соответствующая точке ш G Q в измеримом расслоений C * -алгебр над Q. Отсюда в силу (1) вытекает, что П у = 0. Следовательно, | х | е — х = у = 0 или х = | х | е.

Всякий элемент х комплексной C*-алгебры LX(Q,X) можно представить в виде х = t1X1 + t2X2 + tзXз + t4X4, где ti G C, xi G L“(Q,X), xi > 0, i = 1,...,4. Поэтому x = tikxike + t2kx2ke + takxake + t4kx4ke. Отсюда x = Axe, где Ax = tikxik + t2kx2k + t3kx3k + t4kx4k G /?(Q).

Так как ||x k = | A _x |k e k = | A x | , то x ^ A x изометрия из L “ (Q,X) на L “ (Q).

Для x,y G L ^ (Q,X) имеем xy = A x eA y e = AxAy e и x * = (A x e) * = A x e. Поэтому соответствие x ^ A x есть * -изоморфизм из L “ (Q,X) на L “ (Q).

Так как L ^ (Q, X) (Ьо)-плотно в L 0 (Q, X), то соответствие x → λ _x имеет продолжение на L 0 (Q, X), которое будет изометрическим * -изоморфизмом из L 0 (Q,X) на L 0 . B

Следствие 2. Пусть L ^ro (Q, X) есть C * -алгебра над L ^ (Q) . Если всякий элемент из L ^ro (Q,X) с единичным носителем обратим в L 0 (Q,X), то L ^ro (Q,X) изометрически *-изоморфно L ^ (Q) .

Приведем еще один векторный аналог характеризации поля C в классе банаховых алгебр (ср. с [6, теорема 10.19]).

Теорема 3. Пусть L 0 (Q, X) есть C * -алгебра над L 0 и существует M G L 0 такое, что для всех x,y G L 0 (Q,X) имеет место неравенство | x |k y k 6 M k xy k - Тогда L 0 (Q,X) изометрически ∗ -изоморфно L ⁰ .

C Случай 1. M G L“(Q). Тогда существует c G R, c > 0 такое, что M 6 cl. Отсюда для всех x,y G L“(Q, X) имеет место неравенство kxkkyk 6 ckxyk.

Пусть ш G Q. Применяя числовой лифтинг p на L “ (Q) к (2), имеем

p(k(x)k)(ш)p(kyk)(ш) 6 cp(kxyk)(^)-

Используя свойства 2) и 6) векторнозначного лифтинга lx на L“(Q,X), из (3) получим klx(x)(^)k.klx(у)(ш)k^ 6 cklx(x)(^)lx(y)(^)k..

Из свойства 7) лифтинга lx множество F^ = {lx(x)(ш) : x G Lro(Q, X)} плотно в U(ш). Так как s^($ш, уш) = ||жш||ш||уш||ш -c|xwуш||ш непрерывная функция на U(ш) xU(ш), а из (4) следует, что s^ 6 0 на F^ x F^, то s^ 6 0 на U(ш) x U(ш). Это показывает, что для всех x^ ,уш G U (ш) верно kxω kω kyω kω 6 ckxωyω kω .

Поэтому из [6, теорема 10.19] следует, что U (ш) изоморфно C. Теперь из [7, теорема 1] вытекает, что L 0 (Q,X) изоморфно L 0 . Отсюда для каждого x G L 0 (Q,X) найдется такое A x G L 0 , что x = A x e. Как и в теореме 1 показывается, что соответствие x ^ A x является изометрическим * -изоморфизмом из L 0 (Q,X) на L 0 .

Случай 2. M G L 0 \ L “ (Q). При x = y = e из неравенства k x kk y k 6 M k xy k вытекает M >  1 . Для каждого n ∈ N положим

Qn = { ш G Q : n 6 M(ш) < n + 1 } , П п = X Q n •

Тогда V“i nn = 1 и nnM 6 nn(n + 1) для каждого n G N. Отсюда для всех x,y G L0(Q, X), n G N имеет место nnkxkkyk 6 Пп(п + 1)kxyk.

Из случая 1 вытекает, что n _n L 0 (Q,X) изометрически * -изоморфно n _n L 0 , а так как по построению Vn =i п _п = 1 и ninj = 0 при i = j, то L 0 (Q,X) изометрически ^изоморфна L 0 . >

Следствие 4. Пусть L ^ (Q, X) — C * -алгебра над L ^ (Q) и существует M Е L⁰ такое, что для всех x,y Е L ^ (Q, X ) имеет место неравенство k x kk y k 6 M ||xy|| - Тогда L ^ (Q, X) изометрически *-изоморфно L ^ (Ql).

Автор благодарен профессору В. И. Чилину за полезное обсуждение результатов.