Теорема Гельфанда - Мазура для C*-алгебр над кольцом измеримых функций
Автор: Кудайбергенов Каримберген Кадирбергенович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.8, 2006 года.
Бесплатный доступ
Установлено, что всякая C*-алгебра классов эквивалентности измеримых сечений, элементы с единичным носителем которого обратимы, изоморфна алгебре измеримых функций.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318184
IDR: 14318184
Текст научной статьи Теорема Гельфанда - Мазура для C*-алгебр над кольцом измеримых функций
Установлено, что всякая C ∗ -алгебра классов эквивалентности измеримых сечений, элементы которого с единичным носителем обратимы, изоморфна алгебре измеримых функций.
Как известно, одним из важных результатов в теории банаховых алгебр является теорема Гельфанда — Мазура о том, что всякая банахова алгебра в которой всякий ненулевой элемент обратим, изометрически изоморфна полю комплексных чисел.
В последнее время интенсивно изучаются модули Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций (см. [1–4]). При этом основными методами исследования являются: метод булевозначного анализа и метод измеримых банаховых расслоений. Применение булевозначного анализа хорошо отражено в монографии А. Г. Кусраева [2], а метод измеримых банаховых расслоений в работе А. Е. Гутмана [1]. Исследование циклических комплексных C ∗ -алгебр, наделенных модульной структурой над алгеброй Стоуна с использованием методов булевозначного анализа предложено в работе [3] (см. также [4]). В [3] для C ∗ -алгебр, наделенных модульной структурой над алгеброй Стоуна с использованием методов булевозначного анализа были получены векторные аналоги теорем Гельфанда — Мазура и Глисона — Желязко — Кахана. А в [5], используя метод измеримых банаховых расслоений, было дано представление C ∗ -алгебр над кольцом измеримых функций в виде измеримого расслоения классических C ∗ -алгебр.
В данной работе доказывается, что всякая C ∗ -алгебра Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций, каждый элемент которой с единичным носителем обратим, изометрически ∗ -изоморфна алгебре измеримых функций.
Пусть (Q, X, ^) — пространство с полной конечной мерой, L 0 = L 0 (Q) — алгебра всех комплексных измеримых функций на (Q, X, ^) (равные почти всюду функции отождествляются).
Рассмотрим векторное пространство E над полем C комплексных чисел.
Определение 1 [4]. Отображение || • || : E —> L° называется L0-значной нормой на E , если для любых x, y ∈ E и λ ∈ C имеют место соотношения:
-
1) k x k > 0; k x k = 0 О x = 0;
-
2) k Ax k = | A |k x k ;
-
3) ll x + yk 6 k x k + kyk.
Пара (E, || • k ) называется решеточно-нормированным пространством (РНП) над L 0 . Говорят, что РНП E d-разложимо, если для любого x ∈ E и для любого разложения ||x | = e i + e 2 в сумму дизъюнктных элементов найдутся такие x i , Х 2 G E , что x = x i + X 2 и | x 1 k = e 1 , | x 2 | = e 2 . Сеть { x a } элементов из E называется (Ьо)-сходящейся к x G E ,
(c) 2006 Кудайбергенов К. К.
если k x a — x k — 0 в L 0 . Пространством Банаха — Канторовича (ПБК) над L 0 называется (Ьо)-полное d-разложимое РНП над L 0 (см. [2, 4]).
Пусть U — произвольная * -алгебра над полем C комплексных чисел и U является модулем над L 0 , причем (Au) * = Au * , (Au)v = A(uv) = u(Av) для всех A G L 0 , u, v GU . Рассмотрим на U некоторую L 0 -значную норму k · k , наделяющую U структурой пространства Банаха — Канторовича, в частности, ||Au k = | A || u | для всех A G L 0 , u G U .
Определение 2 [5]. U называется C ∗ -алгеброй над L 0 , если для всех u, v ∈ U имеют место соотношения:
-
1) k u • v k 6 HHMI;
-
2) k u * k = k u k ;
-
3) k u * • u k = k u k 2 .
Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке ш G Q некоторую C * -алгебру ( U (ш), Ц • ||ш ). Сечением X называется функция u, определенная почти всюду в Q и принимающая значение u(ш) G U (ш) для всех ш G dom u, где dom u есть область определения u.
Пусть L — некоторое множество сечений.
Определение 3 [5]. Пара (X, L) называется измеримым расслоением C * -алгебр, если
-
1) A i c i +A 2 c 2 G L для всех A 1 , A 2 G C и c 1 , c 2 G L, где A 1 c 1 +A 2 c 2 : ш G dom c 1 n dom c 2 — A i c i (w) + A 2 C 2 (ш);
-
2) функция ||c| : ш G domc — ||c(ш) k ш измерима при всех c G L;
-
3) для каждой точки ш G Q множество { c(ш) : c G L,ш G domc } плотно в U (ш).
-
4) если u G L, то u * G L, где u * : ш G domu — u(ш) * ;
-
5) если u, v G L, то u • v G L, где u • v : ш G dom u П dom v — u(ш) • v(ш).
n
Сечение s называется ступенчатым, если s(ш) = ^ X A i (ш)^(ш), где c i G L, A i G X, i =1
i = 1,..., n. Сечение u называется измеримым, если найдется такая последовательность { s n } ступенчатых сечений, что ||s n (ш) — u(ш) k ш — 0 почти для всех ш G Q.
Пусть M (Q, X) — множество всех измеримых сечений. Символом L 0 (Q, X) обозначим факторизацию M (Q, X) по отношению равенства почти всюду. Через u обозначим класс из L 0 (Q,X), содержащий сечение u. Отметим, что функция ш — || u(ш) k ш измерима для любого u G M (Q,X). Класс эквивалентности, содержащий функцию ||u(ш) k ш , обозначим через ||u|. Положим u • v = u(ш) • v(ш) и u * = u(ш) * .
В работе [5] доказано, что (L 0 (Q,X), Ц • Ц ) является C * -алгеброй над L 0 .
Пусть L “ (Q) алгебра ограниченных измеримых функций на (Q, X, ^), L “ (Q) — факторизация L “ (Q) по отношению равенства почти всюду. Положим
L ^ (Q,X) = { u G M (Q,X) : ||u(ш) k ш G L “ (Q) } .
Элементы из L “ (Q,X) называются существенно ограниченными измеримыми сечениями. Множество классов эквивалентности существенно ограниченных сечений обозначается символом L “ (Q,X).
Рассмотрим произвольный лифтинг p : L “ (Q) — L “ (Q) (см. [1]).
Определение 4 [5]. Отображение l x : L “ (Q,X) — L “ (Q, X) называет- сявекторнозначным лифтингом (ассоциированным с лифтингом p), если для всех u, v G L “ (Q, X) и A G L “ (Q) имеют место следующие соотношения:
-
1) l x (u) G u, dom l x (u) = Q;
-
2) k l x (U)(ш) k ш = p( k U k )(ш);
-
3) l x (u + v) = l x (u) + l x (v);
-
4) lx (Au) = p(A)l x (u);
-
5) lx (u * ) = lx (u) * ;
-
6) lx (uv) = lx (u)l x (v);
-
7) множество {lx (й)(ш) : u G L X (Q,X ) } плотно в U (ш) для всех ш G Q.
Пусть U и V — C * -алгебры над L 0 . Оператор Т : U ^ V называется:
-
(a) L°-линейным, если Т(ах + ву) = aT (x) + вТ (у) для всех а, в G L 0 и х,у G U ;
-
(b) изометрией, если ||Т(х) к = ||х|| для всех х G U ;
-
(c) * -гомоморфизмом, если Т (ху) = Т (х)Т(у) и Т (х * ) = Т (х) * для всех х, у G U .
Говорят, что U изометрически ∗ -изоморфно V , если существует L 0 -линейный изометрически ∗ -изоморфизм из U на V .
Известно [5, теорема 2], что для всякой C ∗ -алгебры U над L 0 существует измеримое расслоение C * -алгебр (X, L) такое, что U изометрически * -изоморфна L 0 (Q,X), и на L X (Q,X) существует лифтинг, ассоциированный с некоторым числовым лифтингом р.
Далее везде L 0 (Q, X) есть C * -алгебра над L 0 с единицей е и | e | = 1 , где 1 — единица в L 0 . Заметим, что на L X (Q,X) можно ввести числовую норму, полагая
| х | - = kk x kk L - (Q) , х G У Q,X).
Так как (L ^ (Q,X), || • || ) ПБК над L X (Q), то из [4, теорема 7.1.2 (1)] следует, что (L X (Q,X), || • к ^ ) банахово пространство. Кроме того, для х,у G L X (Q,X ) имеем
IIх • у х = |||х • Уkk L-(Q) 6 |||1х1Н| у|||| ь~(П) 6 kkxkk L-(Q) kkУkk L-(Q) = INUMIx , кх* • х|х = ||х* • х|||^ ) = kkxk 2 | l- (Q) = ||||х|||^№ = IHL
Следовательно, (L X (Q,X), || • | х ) является C * -алгеброй над C.
Для х G L 0 (Q,X) положим A x = { ш G Q : || х || (ш) = 0 } . Идемпотент n x = X A x называется носителем элемента х. Если п х = 1 , то х называется элементом с единичным носителем. Отметим, что носитель элемента x это наименьший идемпотент из ∇ со свойством п х х = х, где V — полная булева алгебра всех идемпотентов из L 0 .
Следующий результат является векторным аналогом теоремы Гельфанда — Мазура.
Теорема 1. Пусть L 0 (Q, X) — C* -алгебра над L 0 . Если всякий элемент из L 0 (Q, X) с единичным носителем обратим, то L 0 (Q,X) изометрически *-изоморфно L 0 .
-
<1 Пусть х G L x (Q,X) и х = aa * > 0. Покажем, что х = | х | е. Пусть у = | х | е — х. Положим A y = { ш G Q : | у | (ш) = 0 } и П у = X A y • Элемент П у ^ е + П у у является элементом с единичным носителем. Поэтому существует z G L 0 (Q, X) такое, что е = (п у ^ е + П у y)z = z^ y ^ e + п у у). Отсюда почти для всех ш G A y имеет место y(ш)z(ш) = z(ш)y(ш) = е(ш). Следовательно, почти для всех ω ∈ A y имеем
-
( | х(ш) | ш е(ш) — x(ш))z(ш) = z(ш)( k x(ш) k ш е(ш) — х(ш)) = е(ш). (1)
Так как х = aa * > 0, то х(ш) = a(ш)a * (ш) > 0 почти для всех ш G Q. Поэтому из [6, теорема 11.28] число k x(ш) k w почти для всех ш G Q принадлежит спектру элемента х(ш) G U (ш), где U (ш) комплексная C * -алгебра, соответствующая точке ш G Q в измеримом расслоений C * -алгебр над Q. Отсюда в силу (1) вытекает, что П у = 0. Следовательно, | х | е — х = у = 0 или х = | х | е.
Всякий элемент х комплексной C*-алгебры LX(Q,X) можно представить в виде х = t1X1 + t2X2 + tзXз + t4X4, где ti G C, xi G L“(Q,X), xi > 0, i = 1,...,4. Поэтому x = tikxike + t2kx2ke + takxake + t4kx4ke. Отсюда x = Axe, где Ax = tikxik + t2kx2k + t3kx3k + t4kx4k G /?(Q).
Так как ||x k = | A x |k e k = | A x | , то x ^ A x изометрия из L “ (Q,X) на L “ (Q).
Для x,y G L ^ (Q,X) имеем xy = A x eA y e = AxAy e и x * = (A x e) * = A x e. Поэтому соответствие x ^ A x есть * -изоморфизм из L “ (Q,X) на L “ (Q).
Так как L ^ (Q, X) (Ьо)-плотно в L 0 (Q, X), то соответствие x → λ x имеет продолжение на L 0 (Q, X), которое будет изометрическим * -изоморфизмом из L 0 (Q,X) на L 0 . B
Следствие 2. Пусть L ro (Q, X) есть C * -алгебра над L ^ (Q) . Если всякий элемент из L ro (Q,X) с единичным носителем обратим в L 0 (Q,X), то L ro (Q,X) изометрически *-изоморфно L ^ (Q) .
Приведем еще один векторный аналог характеризации поля C в классе банаховых алгебр (ср. с [6, теорема 10.19]).
Теорема 3. Пусть L 0 (Q, X) есть C * -алгебра над L 0 и существует M G L 0 такое, что для всех x,y G L 0 (Q,X) имеет место неравенство | x |k y k 6 M k xy k - Тогда L 0 (Q,X) изометрически ∗ -изоморфно L 0 .
C Случай 1. M G L“(Q). Тогда существует c G R, c > 0 такое, что M 6 cl. Отсюда для всех x,y G L“(Q, X) имеет место неравенство kxkkyk 6 ckxyk.
Пусть ш G Q. Применяя числовой лифтинг p на L “ (Q) к (2), имеем
p(k(x)k)(ш)p(kyk)(ш) 6 cp(kxyk)(^)-
Используя свойства 2) и 6) векторнозначного лифтинга lx на L“(Q,X), из (3) получим klx(x)(^)k.klx(у)(ш)k^ 6 cklx(x)(^)lx(y)(^)k..
Из свойства 7) лифтинга lx множество F^ = {lx(x)(ш) : x G Lro(Q, X)} плотно в U(ш). Так как s^($ш, уш) = ||жш||ш||уш||ш -c|xwуш||ш непрерывная функция на U(ш) xU(ш), а из (4) следует, что s^ 6 0 на F^ x F^, то s^ 6 0 на U(ш) x U(ш). Это показывает, что для всех x^ ,уш G U (ш) верно kxω kω kyω kω 6 ckxωyω kω .
Поэтому из [6, теорема 10.19] следует, что U (ш) изоморфно C. Теперь из [7, теорема 1] вытекает, что L 0 (Q,X) изоморфно L 0 . Отсюда для каждого x G L 0 (Q,X) найдется такое A x G L 0 , что x = A x e. Как и в теореме 1 показывается, что соответствие x ^ A x является изометрическим * -изоморфизмом из L 0 (Q,X) на L 0 .
Случай 2. M G L 0 \ L “ (Q). При x = y = e из неравенства k x kk y k 6 M k xy k вытекает M > 1 . Для каждого n ∈ N положим
Qn = { ш G Q : n 6 M(ш) < n + 1 } , П п = X Q n •
Тогда V“i nn = 1 и nnM 6 nn(n + 1) для каждого n G N. Отсюда для всех x,y G L0(Q, X), n G N имеет место nnkxkkyk 6 Пп(п + 1)kxyk.
Из случая 1 вытекает, что n n L 0 (Q,X) изометрически * -изоморфно n n L 0 , а так как по построению Vn =i п п = 1 и ninj = 0 при i = j, то L 0 (Q,X) изометрически ^изоморфна L 0 . >
Следствие 4. Пусть L ^ (Q, X) — C * -алгебра над L ^ (Q) и существует M Е L0 такое, что для всех x,y Е L ^ (Q, X ) имеет место неравенство k x kk y k 6 M ||xy|| - Тогда L ^ (Q, X) изометрически *-изоморфно L ^ (Ql).
Автор благодарен профессору В. И. Чилину за полезное обсуждение результатов.
Список литературы Теорема Гельфанда - Мазура для C*-алгебр над кольцом измеримых функций
- Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств//Линейные операторы, согласованные с порядком.-Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.-Т. 29.-С. 63-211.
- Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.-Новосибирск: Наука, 1985.-256 с.
- Кусраев А. Г. Булевозначный анализ инволютивных банаховых алгебр.-Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1996.-96 с.
- Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.-М.: Наука, 2003.-619 с.
- Ганиев И. Г., Чилин В. И. Измеримые расслоения C*-алгебр//Владикавк. мат. журн.-2003.-Т. 5, вып. 1.-С. 35-38.
- Рудин У. Функциональный анализ.-М.: Мир, 1977.-442 с.
- Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К. Конечномерные модули над кольцом измеримых функций//Узб. мат. журн.-2004.-№ 4.-С. 3-9.