Теорема Крейна - Мильмана для однородных полиномов

Классическая теорема Крейна — Мильмана утверждает, что выпуклое компактное множество в локально выпуклом пространстве совпадает с замыканием выпуклой оболочки своих крайних точек (см. [1, теоремы 3.6.5 и 10.6.5]). Однако, замкнутые выпуклые множества линейных операторов лишь в очень частных случаях оказываются

• ^# Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-71-00097, https://rscf.ru/project/22-71-00097/

  © 2023 Кусраева З. А.

• 2.    Предварительные сведения

компактными в какой-нибудь естественной топологии рассматриваемого пространства операторов, и по этой причине редко удается эффективно применить теорему Крейна — Мильмана в задаче восстановления множества операторов по крайним точкам.

В то же время, существуют некомпактные выпуклые множества, которые восстанавливаются по своим крайним точкам. Л. Нахбин обнаружил, что таковыми будут, например, замкнутые выпуклые ограниченные множества в локально выпуклом пространстве, обладающие свойством положительного бинарного пересечения (см. [2]). При этом оказалось, что каждое множество с такими свойствами является единичным шаром подходящей банаховой решетки непрерывных функций C(K ) на экстремально несвязном компактном топологическом пространстве K .

Отталкиваясь от этого результата, Д. К. Оутс [3, теорема 2.3] получил вариант теоремы Крейна — Мильмана для множества линейных операторов, действующих из произвольного векторного пространства в векторную решетку C(K ) (с экстремально несвязным компактом K ) и мажорируемых сублинейным оператором. Аналогичный результат получил А. М. Рубинов [4, теорема 5] в том случае, когда вместо C(K ) рассматривается поряково полная векторная решетка с достаточным числом o -непрерывных функционалов. Стоит отметить, что ни один из этих двух результатов не является следствием другого, но в каждом из них ключевую роль играет тот факт, что операторы действуют в пространство Канторовича, т. е. в порядково полную векторную решетку (необходимые сведения из теории векторных решеток см. в [5]).

В работе [6] С. С. Кутателадзе предложил новый подход к изучению экстремальной стурктуры выпуклых множеств операторов на основе теории пространств Канторовича. В частности, теорема Крейна — Мильмана и ее обращение установлены в общем виде, а именно, для опорных множеств сублинейных операторов, действующих из произвольного векторного пространства в пространство Канторовича. Точнее в этой статье доказано, что каждое опорное множество (т. е. множество линейных операторов, мажорируемых сублинейным оператором) восстанавливается не только по множеству своих крайних точек, но и по его (как правило, собственному) подмножеству, состоящему из так называемых o -крайних точек.

Цель настоящей заметки — распространить результаты С. С. Кутателадзе на выпуклые множества однородных полиномов, действующих из векторного пространства в порядково полную векторную решетку. Экстремальное строение однородных полиномов в бесконечномерных пространствах мало изучено. Имеющиеся работы большей частью посвящены описанию крайних точек единичного шара в пространстве однородных полиномов в разных специальных случаях, см., например, [7, 8].

Стоит отметить также, что в [9] получены результаты о внутренней характеризации и факторизации операторных шапок конуса положительных полилинейных операторов.

Напомним некоторые обозначения. Всюду ниже X — векторное пространство и Y — порядково полная векторная решетка. Л := Orth(Y) — f -алгебра всех ортоморфизмов в Y и B := B(F) — полная булева алгебра порядковых проекторов в Y (с нулем 0 и единицей 1 ), совпадающая с булевой алгеброй всех идемпотентов f -алгебры Y . Разбиением единицы в B называют семейство (п) g _e = элементов B такое, что п ^ Л П п = 0 при £ = п ^и V _{5 e} = п = 1 .

Используются обозначения и терминология из книг [10] и [11]. В частности, P(nX, Y) обозначает пространство всех n-однородных полиномов из X в Y; при этом P (1X, Y) — пространство линейных операторов, обозначаемое через L(X, Y). Векторные пространства P(nX, Y) и L(X, Y) становятся модулями над f-алгеброй Л, если умножение на элемент А € Л определить формулой AP := Л о P. Символами (^)n s X и 6n обозначаются соответственно n-кратное алгебраическое симметричное тензорное произведение векторного пространство X и n-однородный полином x н- x 0 • • • 0 x из X в (^>n s X. Любой n-однородный полином из X в Y представляет собой композицию линейного оператора из n,s X в Y и полинома δn . Точнее, имеет место утверждение.

Лемма 1. Отображение Т н- Т о 5 n служит Л-линейным изоморфизмом из L ( ® n_s X,Y ) на P ( ⁿ X,Y).

• <1 Указанные модули изоморфны как векторные пространства (см. [10, предложение 1.3]). Этот изоморфизм очевидным образом сохраняет умножение на А € Л, так как по определению А(Т о d n ) = (АТ) о d n . >

Определение 1. Рассмотрим множество Q, содержащееся в P ( ⁿ X, Y). Говорят, что Q слабо (порядково) ограничено, если множество Q(x) := {P(x) : P € Q} поряд-ково ограничено в Y для всех x € X; поточечно о-замкнуто, если для любой сети (P i ) в Q и любого полинома P € P ( ⁿ X, Y) из о-сходимости сети (P i x) к Px для всех x € E следует P € Q. Если в этом определении о-сходимость заменить на r-сходимость, то говорят о поточечной r-замкнутости. Множество Q называют операторно выпуклым (или, точнее, Л-выпуклым ), если для любых а,в € Orth(Y) ₊ таких, что а + в = I y , выполняется aQ + в^ С Q, где aQ:= {а о P : P € Q}.

Определение 2. Сублинейным оператором называют отображение у : X ^ Y, если y(x + y) <  y(x) + у(у) и у(Ax) = Aу(x) для всех x, y € X и 0 <  А € R. Совокупность всех линейных операторов из X в Y , мажорируемых оператором ϕ, принято называть опорным множеством ϕ (или субдифференциалом в нуле ) и обозначать символом ∂ϕ:

ду := {Т € L(X, Y) : (Vx € X) Tx ^ y(x)}.

Нам потребуются следующие два вспомогательных результата о внутренней характеризации опорных множеств линейных операторов, полученных в [12].

Определение 3. Возьмем разбиение единицы (п ^ ) g _e = в B и семейство полиномов (P ^ ) g _e = из P ( ⁿ X, Y). Если отображение P : X ^ Y таково, что Px = о- ^2^ _е = пP ^ x для x € X, то Т называют перемешиванием (P ^ ) g _e = с весами (п ^ ) ^e s - Используется также обозначение P := mixпP ^ := mix g _e = пP ^ .

Рассмотрим непустое множество Q С P ( ⁿ X, Y). Пусть mix(Q) (соответственно, mix o (Q)) обозначает множество перемешиваний любых (соответственно, любых конечных) семейств из Q с любыми весами из B. Точнее, P € mix(Q) (соответственно, P € mix o (Q)) в том и только в том случае, когда P = mix пP ^ для любого (соответственно, любого конечного) семейства (P ^ ) из Q и любого (соответственно, любого конечного) разбиения единицы (п ^ ) в B. Скажем, что множество Q mix- замкнуто, если Q = mix(Q) и разложимо, если Q = mix o (Q).

Лемма 2. Слабо порядково ограниченное множество линейных операторов Q С L (X, Y) совпадает с опорным множеством ду некоторого сублинейного оператора у : X ^ Y в том и только в том случае, когда оно операторно выпукло и поточечно o -замкнуто.

Лемма 3. Крайние точки наименьшего операторно выпуклого и поточечно o -замкнутого множества, содержащего данное слабо порядково ограниченное множество A , представляют собой поточечные r -пределы подходящих сетей перемешиваний A .

⊳ Эти два результата анонсированы в [13, теоремы 2, 3, 4] и доказаны в [12]; см. также [11, теоремы 2.4.11, 2.4.12 и 2.4.13]. ⊲

• 3.    Вспомогательные факты

Теорема 1. Пусть E — векторное пространство, F — порядково полная векторная решетка. Множество полиномов Q С P (ⁿE,F ) допускает представление Q = (д^) о 9 _n для некоторого сублинейного оператора ^ : (^)_n s E ^ F в том и только в том случае, когда Q слабо порядково ограничено, операторно выпукло и поточечно о-замкнуто.

• < 1 В силу леммы 2 и изоморфизма векторных пространств L ( ^)_n s X, Y) и P ( ⁿ E, Y ) (лемма 1) нужно лишь доказать, что множество полиномов Q С P ( ⁿ X, Y) операторно выпукло (слабо порядково ограничено, поточечно о-замкнуто) в том и только в том случае, когда таковым является множество линейных операторов

Q ‘ := ( t E L (® _ns X,Y ) : T ◦ 6 n E P ( n E,F ) } .

Утверждение об операторной выпуклости следует из того очевидного утверждения, что пространства L ((^)_n s X, Y) и P ( ⁿ E, F ) служат Л-модулями, а изморфизм T н- T о 5 _n — модульным гомоморфизмом.

Возьмем некоторую сеть (Т _а ) в Q ’ , линейный оператор T E L ( ^_n s X,F ) и положим P _a о 5 _n и P = T о 5 _n . Тогда (P _a ) — сеть в Q, причем произвольную сеть в Q можно представить в таком виде (Т _а ) о 5 _n . Как видно, сеть (P _a (x)) о-сходится к P (x) в том и только в том случае, когда (T _a (^ _n (x)) о-сходится к T(6 _n (x)). Последнее равносильно тому, что для произвольного элемента u E (^)_{n s} X вида u = ^/.^ i S _n ($ k ) сеть (T _a (u)), где T _a (u) = m ^^T y T _a (§ _n (x k )), о-сходится к T (u) = ^2^ =1 T(§ _n (x k )). Таким образом, множества Q и Q ‘ о-замкнуты или нет одновременно. Аналогично выводится утверждение о слабой порядковой ограниченности, так как семейство (T _a (u)) порядково ограничено тогда и только тогда, когда порядково ограничены семейства (T _a (6 _n (x k ))) для всех k = 1,..., m. >

Замечание 1. Пусть X y 0^ • ^0 X _n — алгебраическое тензорное произведение векторных пространств X y ,..., X _n , 0 — канонический n-линейный оператор из X y х • • • х X _n в X y 0 • • • 0 X _n , и обозначим символом L (X y ,..., X _n ; F ) пространство всех n-линейных операторов из X y х • • • х X _n в F . Теорема 1 остается в силе, если Q содержится в L (X y ,..., X _n ; F ), а 0_n s E и 6 _n заменить соответственно на X _y 0 • • • 0 X _n и 0 (ср. [9, теорема 4.4]).

Определение 4. Наименьшее (по включению) операторно выпуклое множество в P ( ⁿ X, Y), содержащее Q, называют операторно выпуклой оболочкой (или Л-выпуклой оболочкой) Q и обозначают символом gga(Q) . Наименьшее опорное множество, содержащее множество U С L ( X , Y ), обозначается cop( U ) и называется опорной оболочкой множества U .

Нетрудно убедиться, что coa(Q) состоит из всевозможных Л-выпуклых комбинаций, т. е. имеет место представление:

co _A (Q) =

{ m

£ X i P i :

i =y

k

P y ,...,P k е Q, X y ,...,X k е Л ₊ , ^X i = Iy , k е N i =y

Ясно также, что если U — слабо ограниченное множество в L ( X , Y ), то cop( U ) = д^, где сублинейный оператор у имеет вид ^(x) := sup{Tx : T Е U }. В случае F = R операторная выпуклость и операторно выпуклая оболочка совпадают с обычными понятиями выпуклости и выпуклой оболочки.

Лемма 4. Любое опорное множество совпадает с опорной оболочкой множества сво их крайних точек. Иными словами, для любого сублинейного оператора у : X ^ Y выполняется равенство д^ = cop(ext(d^)) .

• < 1 Это частный случай теоремы Крейна — Мильмана для опорных множеств, установленной С. С. Кутателадзе в [6]. >

Лемма 5. Если U — слабо ограниченное множество в P ( n X, Y) , то множество r- cl(mix(co( U ))) поточечно о-замкнуто.

• <    Обозначим Q := r- cl(mix(co( U ))) и возьмем сеть (P _a ) из ^ поточечно о-сходящуюся к P Е P ( n X, Y). Для любого x Е X положим w(x) := sup{|Q(x)| : Q Е U } + |P(x)| и отметим, что P (x) и сеть (P _a (x)) содержатся в порядковом идеале, порожденном элементом w(x). Воспользуемся критерием порядковой сходимости из [14, теорема 8.1.8]: для любых m Е N и конечного набора {x i ,... , x k } в X существует разбиение единицы (п _а ) в B такое, что

• Па|Р(xi) - Pa(xi)| С 2m^(xi) (i :=!,---, k)-
• Далее, для каждого а подберем разбиение (па^) элемента па и семейство (Qa^) в mix(co(U)) такие, что выполняются неравенства

• 4.    Основные результаты

П а^ |P a (x i ) - Q a^ (x i )| С 2mw(x i ) (i := 1, - - - , k)-

Положим Q _a : = mix ^ n _a^ Q _a ^ и заметим, что Q _a Е mix(co(n _a U )). Из последних двух неравенств следует, что п _а ^ |P(x i ) — Q _a ^ (x i )| С (m)w(x i ) и суммирование по £ приводит к оценке n _a |P(x i ) — Q _a (x i )| С (mm )w(x i ). Рассмотрим теперь упорядоченное множество (Г, С ), где Г := 0 х N и 0 — множество всех конечных подмножеств E, а С — покоординатное упорядочение, т. е. Y 1 = (9 i n i ) С Y 2 = №,n) означает, что 9 i С 9 2 и n С П 2 . Доказанное выше теперь можно сформулировать так: для любого y = (9, m) Е Г существует Q _y := mix _a Q _a такой, что |P(x) — Q _Y (x)| С (mm)^ (x) для всех x Е 9. При этом Q y Е mix(co( n_a U )) и Г направленно вверх. Это означает, что сеть ( Q y ^е г сходится к P с регулятором, следовательно, P Е Q. Таким образом, множество r- cl(mix(co(Q))) поточечно о-замкнуто. >

Лемма 6. Для слабо ограниченного множества Q С P(nX, Y) выполняется cop(Q) = о- cl(coл(^)) = о- cl(mixo(co(Q))) = r- cl(mix(co(Q)))-

< Сначала проверим включения справа налево. Поскольку mix( U ) С о- cl(mix o ( U )) для любого множества U С P ( ⁿ X, Y), то r- cl(mix(co(Q)) содержится в о- cl(mix o (co(Q))). Далее, операторно выпуклое множество, очевидно, выпукло и разложимо, поэтому co(Q)) С coa(^)) и mix o (co л (^)) С co л (^)), значит, верно также включение mix o (co(Q)) С coa(^)) , следовательно, о-cl(mix o (co(Q))) С о- cl(co л (^)). Наконец, включение о- cl(co л (Ю)) С cop(Q) следует из леммы 2. Остается заметить, что о- cl(co л (^)) содержится в r-cl(mix(co(Q))) в силу леммы 5. >

Теперь все готово, чтобы сформулировать основные результаты настоящей заметки. Сначала сформулируем и докажем теорему Крейна –– Мильмана для однородных полиномов: слабо порядково ограниченное, операторно выпуклое и поточечно порядково замкнутое множество однородных полиномов, действующих из векторного пространства в пространство Канторовича, является замыканием относительно поточечной порядковой сходимости операторно выпуклой оболочки своих крайних точек.

Теорема 2 (Крейна — Мильмана для однородных полиномов) . Пусть X — векторное пространство, F — порядково полная векторная решетка и Л:= Orth(F) . Предположим, что множество Q С P ( n X, F ) слабо порядково ограничено, операторно выпукло и поточечно o -замкнуто. Тогда имеет место представление

Q = о- cl(co л (ext(Q))).

• <1 Если множество Q С P ( n X, F) удовлетворяет указанным условиям, то по теореме 1 имеем представление Q = (ду) о 5 n для некоторого сублинейного оператора у : ^n s E ^ F .В ходе доказательства теоремы 1 было установлено, что для произвольного множества U С L ((^)_n s X, Y ) выполняется

о- cl( U о 5 n ) = о- cl( U ) о 5 n .

Изоморфизм из леммы 1 является аффинной биекцией из ду на Q, сохраняющие Л-вы-пуклые комбинации, следовательно, верны также равенства ext(Q) = ext(ду) о о5п, сол (ext ^) = (coл(ext ду)) о 5n.

Применив теперь операцию о- cl(-) к последнему равенству, а затем воспользовавшись последовательно формулой о- cl(- о 5n) = о- cl(-) о Sn, леммой 6 и леммой 4, выводим о- cl(coл(ext Q)) = о- cl((coл(ext ду)) о 5n) = cop(ext ду)) о 5n = ду о 5n = Q, что и требовалось. ⊲

Замечание 2. Согласно лемме 6 для слабо ограниченного поточечно o-замкнутого операторно выпуклого множества Q верны также представления

Q = о- cl(mix o (ext(co(Q)))),  Q = r- cl(mix(ext(co(Q)))).

Замечание 3. Обозначим символом ext o (ду) множество о-крайних точек опорного множества ду и пусть ext o (Q) — множество элементов Q, соответствующее ext o (ду) в силу представления Q = (ду) о 5 n и изоморфизма из леммы 1. Теорема С. С. Кутателадзе из [6] утверждает, что ду = cop(ext o (ду)) (ср. с леммой 4). Таким образом, теорему 2 можно усилить, если в ней ext o (ду) заменить на ext o (ду). Однако, неясно, как определить элементы ext o (ду)), не прибегая к представлению Q = (ду) о 5 n .

Далее сформулируем и докажем мильмановское обращение теоремы Крейна — Миль-мана: Крайние точки наименьшего операторно выпуклого поточечно порядково замкнутого множества, содержащего данное множество A однородных полиномов, представляют собой поточечные равномерные пределы подходящей сети перемешиваний элементов A.

Теорема 3 (Теорема Мильмана для однородных полиномов). Пусть A С P(nX, F) — слабо порядково ограниченное множество, а Q — наименьшее операторно выпуклое поточечно o-замкнутое множество, содержащее A. Тогда крайние точки множества Q представляют собой поточечные r-пределы подходящей сети перемешиваний элементов A; символически, ext(Q) С o- cl(mix(A)) = r-cl(mix(A)).

• <1 Пусть A , Q С P ( ⁿ X, F) удовлетворяют условиям теоремы. Тогда в соответствие с теоремой 2 имеем Q = (d^)o6 _n для некоторого сублинейного оператора у : (^)_n s E ^ F . Обозначим A ’ := {T G L ((^)_n s E,F ) : T о 6 _n G A } и заметим, что A ’ — слабо порядково ограниченное множество в L (®_{n s} E,F ). Отсюда следует, что соотношение

ф(u):=sup { Tu : T G A ’ } (u G 0 n s e)

корректно определяет сублинейный оператор ф : (^)_{n s} E ^ F , причем A ‘ С дф. Заметим далее, что ∂ϕ — наименьшее операторно выпуклое поточечно o-замкнутое множество в L ( On s E,F ), содержащее A ‘ , ввиду определяющего свойства множества Q. Тем самым ду С дф или, равносильно, у ^ ф, т. е. ^(u) ^ ф(u) для всех u G (^)_{n s} E . В то же время, непосредственно из определений у и ф вытекает ф ^ у, значит, у = ф. Как видно, ду — наименьшее операторно выпуклое и поточечное o -замкнутое множество, содержащее A ^′ , следовательно, по теореме 1 будет ext(dy) С o- cl(mix( A )). Так как изоморфизм между пространствами L ( §§n _s X, F) и P ( n E,F ) сохраняет перемещивания и поточечные порядковые пределы, то приходим к требуемому включению ext(Q) С o-cl(mix( A )). >

Замечание 4. В соответствии с замечанием 1, результаты, аналогичные теоремам 2 и 3, имеют место и для выпуклых множеств n -линейных операторов. В то же время, результаты о факторизации операторных шапок конуса положительных n -линейных операторов из [9, § 5] не допускают прямого переноса на конус положительных n -однородных полиномов ввиду существенно разного строения n -кратного фремлиновского тензорного произведения и n -кратного симметричного фремлиновского тензорного произведения векторной решетки. Операторные шапки конуса линейных положительных операторов между векторными решетками ввел и изучил С. С. Кутателадзе [15].

Замечание 5. Стоит отметить, что основное отличие этих результатов от классической теоремы Крейна — Мильмана и еe мильмановского обращения состоит в том, что, во-первых, вместо выпуклой оболочки нужно использовать операторно выпуклую оболочку, и, во-вторых, на роль топологического замыкания нужно брать смешанное порядково-топологическое замыкание.

Автор выражает благодарность рецензенту за полезные замечания, способствовавшие существенному улучшению текста.