Теорема о представлении субгармонических функций

Рассматрим функцию такую : ^ ( x ) =

<

|x|² m , m >  3

In , m = 2 ^x

Легко проверим, что при   |x | ^ 0   ^ ( x )

гармоническая функция.

Действительно,

при m >  3, | x|²"

2- m                                         - m

E ^{x :} 4" l ^x l²^ ^m =^{(2- m} ) ^x /E j , j=¹,",m

V j ¹ J       ° ^x j                     Vm J

^4 x i dXj ^{;l 1}

2- m

^^^^^B

■ m (2 - m ) x ; | £ x j

V j =1

- m -2

^    2

J

m

+ ⁽² - m ) e x j

V j =1     J

- m

.Получаем

A X m

m ^2 e!t x j =1 о x j

2- m

= 0

11        d 1

При m=2, Inn = --ln(x2 + x22): —In = — x  2      оxxx j + x 2

, j=1,2

2      2                           22

о ,   1       x, - x₉     5,1       x₉ - x,

—- In — = —r--^-; —- In — = —2.

5 x ²     x|    ( x ² + x ² )    d x ²     x|    ( x ² + x ² )

1    8 2

Получаем A ln-- = —- + —- = 0. x   dx 2

Обозначим

6 =^

m

2 n , m = 2

(m - 2) ^ m , m >  3 ^,

где ст_т -площадь поверхности единичной

сферы.

Утверждение.

Функция sm (x - y) удовлетворяет в D'(Rm) уравнению Axem (x - y) = -0m5(_x - y), где 5(x) - 5 -функция Дирака.

Доказательство. Докажем равенство при y = 0. пусть основная функция фе D(Rm )

и

supp Ф c K cc R m .

Имеем

( A s m , ф ) = [ s _m ( x ) А ф ( x ) dx = lim f s _m ( x ) А ф ( x ) dx .

s ^ 0

I x >^s

Используя формула Грина, получим :

J s _m ( x ) А ф ( x ) dx

I x > ^s

5ф          5s,

= ^{A s} m ^{( x} ) ф ( ^x ) ^dx +      ^ds +      -Ф ^ds •

|x |> s                          |x |= s ⁵ n            |x |= s  ⁵ n

Используем гармоничность s • Тогда первый интеграл обращается в нуль.

Поскольку

5 ф

-ограничен, 5 n

^То J I rs m ds । ।    5 n

| x = s

<1

2-m mi--1    \ о j s s , m > 3

C s In s , m = 2

f C s

¹      ^ 0 ,

C₂ s ln s ^s ^ ⁰

где С1,С2-константы. Далее

I" 5s_m

—-фз ^ { i i     5 n

I x | = s

| (2 - m ) s^ ^m + 0(1) I J ф ds = (2 - m ) ^ _m ф (0) + 0(1)

^V                             V| x | = ^s

( 1    - I                      -

I + 0(1) I   ф ds = 2 пф (0) + 0(1)

I P            V

V             2| x | = ^s

Поэтому     ( A s_m , ф ) = - ф (0) ^ , что и доказывает утверждение при у=0.

очевидно, при замене ф ( x ) на ф ( x - у ) получим соотношение в общем случае.

Пусть G ( x , у , Q ) - функция Грина для области Q с гладкой границей.

Функция Грина, как известно, обладает свойствами:

• 1)    G ( x , у , Q ) >  0,( x , у ) е QxQ ; G ( x , у , Q ) = 0,( x , у ) е 5QxQ.

• 2)    G ( x , у ) = G ( у , x ) .

• 3)    G ( x , у ) = s ( x - у ) + H_m ( x , у ) , где H_m ( x , у ) - гармоническая в Q по x и по у .

Из 3) следует, что верно соотношение А^ G ( x , у ) = -^б (x - у )

Рассмотрим последовательность H(x, un) функций, гармонических в K c G и таких, что они совпадают с семейством непрерывных на 5К функций un, которое монотоно убывая, сходится к u. Такое семейство un существует вследствие полунепрерывности u.

Последовательность  H (x, u„)  сходится монотоно к гармонической функции H(x) = H(x,u,K), которая зависит только от u.

Утверждение. H(x,u,K) – является наилучшей гармонической мажорантой субгармонической функции u(x) .

- 1

Пусть функция m ( t ) = <

C m e 1t , t ^е С ^{- 1},¹)   причем

. 0, 1 £ ( - 1,1)

Сm выбрано так, чтобы

выполнялось условие J t m ^{- 1} т (t ) dt = 0

—. Обозначим т ^ т

у

= £ m m

V

x

£

X

У

.

Рассмотрим функцию

u _£ ( x ) = и * ю_£ = J u ( x + y) т_£ ( y ) dy ,     u(x)

–

Rm субгармоническая в области G функция.

Утверждение. Верно соотношение u_E ( x ) Ф и ( x ) .

Пусть д - распределение масс, такое что supp ц с К . Функция

П ( x , ц , K ) = J G ( x , y , K ) 1 ц называется потенциалом Грина распределения масс K

Ц .

Справедливо равенство А П = -О_тц в D ' ( K ) . Так как для фе D ( K ) имеем

( а п , ф ) = ( П , А ф ) = J J G ( x , y ) d Ц y А ф ( x ) dx = J ( J G ( x , y ) А ф ( x ) dxd /y = J ( А x G , ф dl^ =

У

K

K

- J ф ( y ) ^ 1 ц =-0_m ( ц , ф ) .       Т.К по свойству функции Грина

^(А x ^{G ( x} , y ), ф ) = ^-е т ^{( А ( x -} y ), ф ) = ^- ^ т ф ⁽ y ) .

Утверждение. Пусть обобщенная функция ц положительна в D '( G ) . Тогда существует единственная мера ц такая, что ( д *, ф ) = J ф ( x ) 1 ц (мера ц и обобщенная функция ц * называется эквивалентными).

Пусть u(x) - субгармоническая в области G функция, обозначим через ц обобщенную функцию ц = — А и > 0 и эквивалентное ей распределение масс. u   От

Теорема (Рисс Ф.). Пусть u(x) - субгармоническая в области G функция, K с G , б K гладкая поверхность. Тогда u ( x ) = H ( x , и , K ) - П ( x , ц , K ) ,где H(x,u,K) - наилучшая гармоническая мажоранта u(x) в К.

Доказательство . Применяя оператор Лапласа в D ' ( G ) к функции

H ( x ) = u ( x ) + П ( x , ц , K ) (*)

получаем по свойству потенциала A H = А и - 0_тц_и = А и - А и = 0 .

Значит, она почти всюду совпадает с бесконечно диференцируемой, гармонической функцией. Но так как справа стоит функция, однозначно определяемая своими значениям почти всюду( если u(x) = v(x) почти всюду то u(x) = v(x)), то H(x) всюду совпадает с бесконечно диференцируемой, гармонической функцией в обычном смысле.

Покажем, что H(x) - наилучшая гармоническая мажоранта. Заметим, что если ц ^ ц в D'(G), то lim JG(x,y,K)d^n >JG(x,y,K)d^ (1). Действительно, n ^to пусть

GN

= s

G ( x , y , K ), ecnuG ( x , y , K ) <  N

N , ecnuG ( x , y , K ) >  N

непрерывна в К. Тогда

lim f G n ^ = I" G N d ц n ^ro

и

значит lim J Gdn n ^to

> lim J Gd ^ = J G_Nd ^ переходя к пределу при N > ro , получим (1).

Запишем представление иЕ - усреднения u по формуле иЕ (x) = H(x, иЕ, K) - П(x, Ц, K). При e Ф 0 получаем и(x) = H(x, и, K) - lim П(x, Ц, K) причем предел потенциала существует , т.к существуют остальных слагаемых.

Заметим, что H ( x , и , K ) - наилучшая гармоническая мажоранта u(x) в К. Так как семейство H ( x , и_ь ., K ) функций, гармонических в К и таких, что на д К они совпадают с семейством и_ь ( x ) , которое монотоно убывая, сходится к u(x).

Так как по (1) lim П ( x , Ц , K ) >  П ( x , ц _и , K ) , то H ( x ) <  H ( x , и , K ) .

С другой стороны, из равенства (*) следует,что u ( x ) <  H ( x ) и, значит,

H ( x ) >  H (x , u, K ) .

Получаем H(x ) = H(x, u, K ) . Теорема доказана.